Środa, 1.01.20

Środa, 1.01.20

Kochana Irenko, usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-01-01 Polecam Ci Psalm.

Rozwiązanie zadania: na początek  zauważamy, że 2*2*2*2*2=2^5=32=33-1. Oznaczając reszty z dzielenia przez 11 symbolem [] mamy, [32]=-1. Oczywiście -1 odpowiada reszcie 10, jeśli rozpatrywać reszty ze zbioru {0, 1, …, 9, 10}. Ale na chwilę przyjmijmy, że reszty mogą być ujemne. Stąd [2^1005]=[([2^5]^201]=-1, gdyż -1 mnożone nieparzystą ilość razy przez siebie jest równe -1 . Zbadam resztę z dzielenia [3^5]=[243]=1.

Stąd [3^1005]=[[3^5]^201]=1. Zatem [2^1005+3^1005]=-1+1=0, co świadczy, że liczba 2^1005+3^1005 dzieli się przez 11.

Uwaga ogólna: jeśli liczbę k*11-1 podnosimy do kolejnych potęg,  np.  (k*11-1)^2=K2*11+1, gdzie K2 jest liczbą naturalną, zaś (k*11-1)^3=K3*11-1, gdzie K3 pewna inna liczba naturalna, to mamy

[(k*11-1)^2m]=1,  gdzie m liczba naturalna,

[(k*11-1)^(2m+1)]=-1.

Zadanie: w kwadracie ABCD z wierzchołka A poprowadzono odcinki do środków boków BC i CD. Pokaż, że te odcinki dzielą przekątną BD na trzy równe części.

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=Q9N7HCTQJ20&feature=emb_logo Odważnego i szczęśliwego Nowego Roku 2020. Pogodnego dnia, Tata

Wtorek, 31.12.19

Wtorek, 31.12.19

Kochana Irenko, jak mogła wyglądać Ziemia 4 miliardy lat temu https://www.youtube.com/watch?v=0_Ax8VvVPxo ? Jak wyglądał wówczas Księżyc?

Rozwiązanie zadania: pole trójkąta można podzielić na trójkąty mające wspólny wierzchołek w środku wpisanego okręgu. Wszystkie trójkąty mają wysokość równą promieniowi wpsianego okręgu. Zatem stosunek pól, na które prosta podzieliła trójkąt jest równy stosunkowi sum podstaw lub stosunkowi obwodów trójkąta. Zrób rysunek.

Zadanie: Udowodnij, że liczba 2¹⁰⁰⁵+3¹⁰⁰⁵ jest podzielna przez 11.

Zapraszam Cię na 21 Koncert Fortepianowy W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=i2uYb6bMKyI Pogodnego ostatniego dnia roku, Tata

Poniedziałek, 30.12.19

Poniedziałek, 30.12.19

Kochana Irenko, kim by James Clerk Maxwell https://www.youtube.com/watch?v=TfKBKb7Uc9s ? Połączył elektryczność i magnetyzm w jedną teorię, pisząc 4 równania, zwane dzisiaj równaniami Maxwella.

Rozwiązanie zadania: zakładając, że tarcza podzielona jest na 60 części (minut), wskazowka duża porusza się z prędkością 60/h, mała z prędkością 5/h (dlaczego?). Duża startuje z pozycji 0, mała z pozycji 15 (to 3 godzina). Czas, po którym się spotkają można otrzymać z równania (położenie dużej wskazówki=położenie małej, droga=prędkość*czas)

0+60*t=15+5*t.

Czas można wyliczyć z równania  

55*t=15 lub 11*t=3. Stąd

t=3/11 (oczywiście czas mierzony jest w godzinach). Czas w minutach (mnożymy przez 60)

t=3/11*60=180/11=16 i 4/11 minut.

Zadanie: W trójkąt wpisano okrąg. Pokaż, że dowolna prosta przechodząca przez środek tego okręgu dzieli zarówno pole, jak i  obwód  tego trójkąta w tym samym stosunku.

Zapraszam Cię na 11 Sonatę K. 331 Wolfganga Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=XXIu0MRuIQU&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=31 Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 29.12.19

Niedziela, 29.12.19

Kochana Irenko,  usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-12-29

Rozwiązanie zadania: trójkąt ABC dopełniamy do równoległoboku ABCD, tak że środkowa BF, gdzie F jest środkiem AC,  jest połową przekątnej BD w powstałym równoległoboku. Z nierówności trójkąta dla trójkąta BDC mamy |DC|+|BC|>|BD|, czyli |AB|+|BC|>2|BF|, gdyż |BD|=2*|BF|. Dzieląc obie strony tej nierówności przez 2, otrzymujemy odpowiedź na postawioną w zadaniu tezę.  

Zadanie: na zegarze ściennym jest godzina 3. Po jakim czasie wskazówka minutowa pokryje się z godzinową, jeśli wskazówki tego zegara poruszają się ruchem ciągłym?

Zapraszam Cię na Psalm 128  https://www.youtube.com/watch?v=PsR0RlFrJ2g&feature=emb_logo Pogodnej niedzieli, Tata

Piątek, 27.12.19

Piątek, 27.12.19

Kochana Irenko, zapraszam Cię na pierwszy  odcinek o historii mechaniki kwantowej https://www.youtube.com/watch?v=zBTbqOgdfEY Odsłuchaj kilka razy.

Rozwiązanie zadania: niech a₁=1. Załóżmy, że nie istnieje 10 identycznych różnic pomiędzy sąsiednimi wyrazami ciągu o 44 różnych wyrazach, z których wszystkie są mniejsze lub równe od 125. Przy takim założeniu istnieje co najwyżej 9 identycznych różnic. Niech różnice te wynoszą 1, 2, 3, 4, tzn. będą najmniejsze z możliwych. Wówczas wyraz a₃₇, przy takim założeniu, ma wartość 1+9*(1+2+3+4)=1+90=91 (dlaczego?). Następne różnice powinny mieć wartość większą od 4 i przy optymalnym wyborze, powinny być równe 5. Do końca ciągu różnic jest 44-37=7. Zatem ostatni wyraz tego ciągu, konstruowanego w sposób najbardziej oszczędny, powinien być  większy od wyrazu o numerze 37 o 5*7=35. Ponieważ wyraz o numerze 37 ma wartość 91, więc ostatni 44 wyraz powinien mieć wartość nie mniejszą niż 91+35=126. Jednak to przeczy tezie, że wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze lub równe od 125 i pokazuje, że założenie o co najwyżej 9 jednakowych różnicach jest fałszywe. Zatem przynajmniej w jednym przypadku jednakowych różnic powinno być o jeden więcej niż 9, czyli 10.

Zadanie: Wykaż, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej opuszczonej na trzeci bok. Zrób rysunek.

Zapraszam Cię na koncert (K. 488) Wolfganga Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=BMYjGkgzinU Pogodnego dnia, Tata

Czwartek, 26.12.19

Czwartek, 26.12.19

Kochana Irenko, popatrz na trzeci odcinek filmu o Einsteinie, o jego teorii względności  https://www.youtube.com/watch?v=BQWoxccaXvM. Odsłuchaj kilka razy.

Rozwiązanie zadania: oznaczę przez z=x^3. Jeśli x należy do zbioru liczb rzeczywistych (dodatnich i ujemnych) R, to z także należy do R. Uwaga: przy przekształceniu z=x^2 już tak nie jest (dlaczego?). Gdyż z jest teraz dodatnie, nigdy nie jest ujemne!!! Należy, zatem zbadać wartości funkcji z^2+z. Jak w ogólności badamy zachowanie funkcji kwadratowych? Staramy się tak przekształcić wyrażenie, aby otrzymać wyrażenie typu a*y^2+b, gdzie y jest funkcją liniową z, a i b to stałe. Spróbuję podstawić

 y=z+1/2. Wówczas

z^2+z=(z+1/2)^2-1/4 (sprawdź).

Ale wyrażenie (z+1/2)^2 jest zawsze dodatnie lub równe zeru i przyjmuje najmniejszą wartość zero. Najmniejszą wartością wyrażenia z^2+z jest  -1/4.

Rozważania ogólne: jak wyznaczyć wartość minimalną (maksymalną)  funkcji f(x)=a*x*x+b*x+c, gdzie a, b, c to liczby (w naszym przypadku a=1, b=1, c=0)?

Sztuczka polega na przepisaniu tej funkcji w postaci

f(x)= a*x*x+b*x+c =a*(x+b/(2*a))^2-b*b/(4*a)+c.

Widzisz, że (x+b/(2*a))^2 ma najmniejszą wartość równą zero. Jeśli a>0 to funkcja przyjmuje minimum w punkcie –b/(2*a), jeśli a<0, to w tym punkcie jest  maksimum, których wartości wynoszą c-b*b/(4*a). 

Zadanie (trudne): dodatnie liczby całkowite  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₄₄  nie przekraczają 125.
Udowodnij, że wśród różnic  a_k – a_k-1  (k=2, 3, ..., 44) pewna wartość występuje co najmniej 10 razy.

Zapraszam Cię na muzykę Chopina w wykonaniu Kate Liu https://www.youtube.com/watch?v=rs8rrW4s_rs Pogodnego świątecznego  dnia, Tata

Środa, Boże Narodzenie, 25.12.19

Środa, Boże Narodzenie, 25.12.19

Kochana Irenko, zapraszam Cię na pierwszy  odcinek filmu o Galileuszu https://www.youtube.com/watch?v=F8ZCXYnKQiM  Kiedy żył i jakie przeprowadzał doświadczenia?

Rozwiązanie zadania: koniecznie zrób rysunek. Oznaczę w prostokącie PION przez x bok IO, przez y bok PI. Wiemy, że przekątna IN prostokąta PION ma długość 1/2, więc zachodzi (Pitagoras)

x^2+y^2=(1/2)^2=1/4.

Ponadto wiadomo, że punkt N jest odległy od wierzchołka Ć o 1 i ĆN tworzy przekątną w prostokącie o bokach 1-x i 1-y. Zachodzi zatem

(1-x)^2+(1-y)^2=1

lub

x^2+y^2-2*(x+y)+1+1=1.

Podstawiając za x^2+y^2=1/4

1/4-2*(x+y)=-1 lub x+y=5/8. Podnosząc obie strony do kwadratu

x^2+y^2+2*x*y=1/4+2*x*y=25/64 skąd

 2*x*y=(25-16)/64=9/64 i ostatecznie

x*y=9/128. Zauważ, że x*y jest polem prostokąta PION. Odp.: pole prostokąta PION wynosi 9/128.

Zadanie: jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia  x^6+x^3?

Zapraszam Cię na Ave Maria https://www.youtube.com/watch?v=tDQj7j-xogM&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=40 Pięknych Świąt, Tata

Wtorek, 24.12.19

Wtorek, 24.12.19

Kochana Irenko, zapraszam Cię na drugi odcinek filmu o Isaaku Newtonie https://www.youtube.com/watch?v=oP4DblAQ7H0 Tak jak Ci pisałem wczoraj, nie zniechęcaj się, jeśli czegoś nie rozumiesz. Odsłuchaj kilka razy.

Rozwiązanie zadania: spośród 4 liczb a, b, c, d, zawsze znajdą się dwie pary o tej samej parzystości. Wówczas ich różnice są liczbami parzystymi, a iloczyn tych różnic dzieli się przez 2*2=4. Istnieją tylko trzy reszty z dzielenia przez 3: 0,1,2. Ponieważ rozważamy 4 liczby, znajdą się zawsze przynajmniej dwie liczby z tymi samymi resztami, a ich różnica da liczbę podzielną przez 3. Oznacza to, że liczba

(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) dzieli się przez 4*3=12.

Zadanie: Czworokąt LIŚĆ jest kwadratem o polu 1. W jego wnętrzu, na okręgu o środku Ć i promieniu 1, w odległości 0,5 od I leży punkt N. Oblicz pole prostokąta PION, jeśli O i P leżą na brzegu kwadratu LIŚĆ. Zrób rysunek.

 

Zapraszam Cię na 16 Sonatę Wolfganga Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=XXIu0MRuIQU&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=31 Pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 23.12.19

Poniedziałek, 23.12.19

Kochana Irenko, w czasie ferii zapraszam Cię na historyczny film o Isaaku Newtonie https://www.youtube.com/watch?v=1_m9X7Kruv0 Nie zniechęcaj się, jeśli czegoś nie rozumiesz. Staraj się zrozumieć najważniejsze myśli. Odsłuchaj kilka razy.

Rozwiązanie zadania: pamiętasz, że dla dwóch figur podobnych – gdy jedna figura powstaje z drugiej przez zmianę skali s, pole figury  przeskalowanej należy pomnożyć przez s*s (dlaczego?). Niech dany będzie sześciokąt. Podzielmy go na 6 równych trójkąktów równobocznych. Niech wysokość w tym trójkącie ma wartość h. Zrób rysunek. Zauważ, ze wysokość w trójkącie równobocznym o boku h wynosi sqrt(3)/2*h. Oznacza to, że stosunek wysokości w obu sześciokątach wynosi sqrt(3)/2. Zatem pola sześciokątów są w stosunku ¾. Pole początkowego składa się z 6 trójkątów o boku 1 i jego pole wynosi

6*(1/2*sqrt(3)/2)=3*sqrt(3)/2.

Zadanie: udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, d liczba (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) dzieli się przez 12.

Zapraszam Cię na progu zimy na Zimę A. Vivaldiego https://www.youtube.com/watch?v=Pgs_zB6Et2Q&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=5 Pięknego dnia, Tata

 

Niedziela, 22.12.19

Niedziela, 22.12.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-12-22

Rozwiązanie zadania: zadanie sprowadza się do pytania, czy istnieją liczby naturalne k, l, m takie, że zachodzi równość

k*13+l*15+m*17=94.

Zadanie można rozwiązać badając podzielność stron przez 13. Niech nawias [] oznacza resztę z dzielenia przez 13. Pamiętasz, że zachodzą równości

[a*b]=[a]*[b] oraz [a+b]=[a]+[b].

Reszta z dzielenia 15 przez 13 wynosi 2, reszta z dzielenia 94 przez 13 wynosi 3.

Zachodzi więc równość

[2*l+4*m]=3. Rozwiązaniem tego równania jest 2*(l+2*m)=16 lub

l+2*m=8.

Zbadam kolejne rozwiązania

l=0, m=4. Zauważ, że zachodzi 2*13+4*17=94.

l=2, m=3. Zachodzi 1*13+2*15+3*17=94.

l=4, m=2. Zachodzi  0*13+4*15+2*17=94

l=6, m=1 nie jest rozwiązaniem, gdyż 6*15+17=107>94.

Odpowiedź: Piotrek mógł kupić: (2 książki po 13 i 4 po 17) lub (jedna książkę za 13, 2 po 15 i 3 po 17) lub (4 książki po 15 i 2 po 17). Czy istnieją jeszcze inne rozwiązania? Badanie reszt to potężne matematyczne narzędzie!!!

Zadanie: sześciokąt SZKOŁA powstał przez połączenie środków kolejnych boków sześciokąta foremnego o boku 1. Jakie pole ma SZKOŁA?

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=N8msDIVFZuE&feature=emb_logo Pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 21.12.19

Sobota, 21.12.19

Kochana Irenko, obejrzałaś film o drugiej Ziemi, ale trzy lata temu pokazywali https://www.youtube.com/watch?v=6zwK2MXUGvg

Rozwiązanie zadania: zauważ, że

n^4+4=(n^2+4)^2-4*x^2=(n^2+4-2*n)*(n^2+4+2*n). Jeśli liczba n^4+4 ma być liczbą pierwszą, to mniejszy z czynników musi równać się 1

n^2+4-2*n=1, stąd (n-1)^2=0, czyli n=1. Rzeczywiście liczba 1+4=5 jest liczbą pierwszą.

Zadanie: na kiermaszu wszystkie pozycje można kupić za 13 zł, 15 zł lub 17 zł. Piotrek wydał  94 zł. Ile kupił  książek w każdej cenie?

Zapraszam Cię na kolejny koncert Rudego Księdza https://www.youtube.com/watch?v=QPba-i26YNA&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=21  Pogodnej soboty, Tata

Czwartek, 19.12.19

Czwartek, 19.12.19

Kochana Irenko, nastąpiło małe nieporozumienie. Wczoraj opublikowałem rozwiązanie zadania, które podaję poniżej, a rozwiązanie zadania z wtorku też poniżej.

Rozwiązanie zadania: środki 3 jednakowych okręgów o promieniu r, stycznych parami utworzą trójkąt równoboczny (zrób rysunek) o boku 2r. Pomiędzy tymi trzema okręgami, stycznie do każdego znajduje się mały okrag, którego promień nalez obliczyć. Środkiem tego małego okręgu jest punkt przecięcia się wysokości w trójkącie o boku 2*r (dlaczego?). Jak pamiętasz, wysokość trójkąta ma długość

wysokość=2*r*sqrt(3)/2=r*sqrt(3).

Rysując wszystkie wysokości zauważysz, że tworzą trójkąty prostokątne o kątach 30 i 60 stopni. Łatwo zauważyć, że wysokość jest dzielona punktem przecięcia inną wysokością na dwie części w stosunku 2:1. Zatem odległość od wierzchołka do punktu przecięcia wysokości wynosi 2/3*wysokość=2*r*sqrt(3)/3. Ale do punktu styczności małym okręgiem z tego samego wierzchołka  jest tyle ile ma promień, czyli r. Stąd natychmiast znajdujesz promień małego okręgu, jako różnicę [2/3*sqrt(3)-1]*r. Stosunek małego promienia do dużego wynosi

[2/3*sqrt(3)-1]=0.1547005……(sprawdź)!

 Zadanie: W pewnej loterii losy wygrywające mają numery, których cyfry można podzielić na dwie grupy tak, aby sumy cyfr w każdej z grup były jednakowe. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną a taką, że losy o numerach a i a+1 są wygrywające.

Zapraszam Cię na koncert Rudego Księdza https://www.youtube.com/watch?v=7E-RTI-H2oI Pogodnego wieczoru, Tata

Środa, 18.12.19

Środa, 18.12.19

Kochana Irenko, czy istnieją planety podobne do Ziemi? https://www.youtube.com/watch?v=9WbQoJpKyvA

Rozwiązanie zadania: suma cyfr liczby wygrywającej, składająca się z dwóch jednakowych sum,  jest liczbą parzystą. Kiedy dwie kolejne liczby a i a+1 mają parzystą sumę cyfr?

 Dla liczby kończącej się cyframi od 0 do 8, po dodaniu 1, następuje zmiana parzystości sumy cyfr – takie liczby nie mogą spełniać warunków zadania. Jedynie dla liczby zakończonej  9 i o cyfrze  dziesiątek różnej od 9, po dodaniu 1,  suma cyfr maleje o liczbę parzystą 9-1=8. Zatem najmniejszą liczbą, spełniającą warunki zadania może być liczba zakończona 9 i o sumie cyfr 2*9=18. Takimi liczbami mogą być 189, 279, 369, 459, 549,…, 189. Dodatkowym warunkiem jest, aby liczba a+1, czyli 190, 280, 370, 460, 550, …, 190 miała dwie grupy cyfr o takiej samej sumie. Jedyną taką parą liczb jest: 549, 550. Odpowiedź: najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 449.

 Zadanie (trudne): Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n^4+4 jest pierwsza.

Zapraszam Cię na koncert fortepianowy (16) W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=XXIu0MRuIQU&list=RD7lC1lRz5Z_s&index=13 Pogodnego, grudniowego dnia, Tata

Wtorek, 17.12.19

Wtorek, 17.12.19

Kochana Irenko, popatrz, co robią studenci w kosmosie https://www.youtube.com/watch?v=KxoG2KQ5hHE&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=87

Rozwiązanie zadania: liczb 1 cyfrowych jest 9, 2 cyfrowych od 10 do 99 jest 90, 3 cyfrowych od 100 do 999 jest 900. Jeżeli  wypisalibyśmy wszystkie liczby od 1 do 999, to ciag miałby długość 9*1+90*2+900*3=2889, co jest większe od 2019. Wypisanie wszystkich liczb od 1 do 99 da ciąg o długości 9+180=189 cyfr. Zauważ, że cyfry od 190-tego miejsca włącznie należą do liczb 3-cyfrowych, i do miejsca 2019 zajmą miejsc:  2019-189=1830. Zauważ, że ciąg ten (1830 cyfr) zawiera 610 liczb 3-cyfrowych, gdyż 189+610*3=189+1830=2019.  Liczbą 610 po 100 włącznie jest 709, gdyż  

709-100+1=610. Czyli ostatnią liczbą 3-cyfrową zapisaną w ciągu  jest 709 i na 2019 miejscu znajduje się jej ostatnia cyfra, czyli 9.

 Zadanie: dane są trzy jednakowe okręgi parami styczne. Pomiędzy nimi znajduje się mniejszy okrąg styczny do każdego z nich. Jaki jest stosunek promieni mniejszego do większego okręgu?

Zapraszam Cię na 25 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=7lC1lRz5Z_s Pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 16.12.19

Poniedziałek, 16.12.19

Kochana Irenko, dwa lata temu zaczęły pracować detektory fal grawitacyjnych: jeden w USA (LIGO) drugi we Włoszech (VIRGO). Zderzające się dwie czarne dziury wytwarzają bardzo silną falę - zmarszczkę czasoprzestrzeni https://www.youtube.com/watch?v=j_jqmhvJ5XE.

Rozwiązanie zadania: strategia Arka jest prosta: aby nie powstały 2  trójkąty  z 6 odcinków, z których 3 pochodzą z podziału odcinka o długości a należącego do Arka, 3 odcinki z podziału odcinka b należącego do Beaty, przy czym a>b polega na takim podziale odcinka a na trzy odcinki a1, a2, a3, że spełniają warunki

a1>b, a2+a3<a1.

Zauważ, ze nie uda się wówczas zbudować trójkąta z bokiem a1, gdyż a1 jest większe od dowolnej sumy par istniejących odcinków.

 Zadanie: Wypisujemy kolejne liczby naturalne, otrzymując ciąg cyfr 123456789101112131415... Jaka cyfra znajduje się na 2019 miejscu tego ciągu?

Zapraszam Cię na 40 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=JTc1mDieQI8 Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 15.12.19

Niedziela, 15.12.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-12-15.

Rozwiązanie zadania: jeśli wyjmujemy 25 piłeczek z 30, to w pudełku pozostaje 5. Warunki zadania będą spełnione, jeśli dla każdego koloru zrealizuje się scenariusz najmniej korzystny – wszystkie piłeczki, które pozostaną w pudełku będą miały ten sam kolor. Wówczas musi być 5+3=8 białych piłeczek, 5+5=10 niebieskich pileczek i 7+5=12 zielonych piłeczek. Razem jest 8+10+12=30 piłeczek.  

 Zadanie (ciekawe): Arek narysował odcinek długości a cm, a Beata - odcinek długości b cm, przy czym a > b. Oboje podzielili swoje odcinki na 3 części. Najpierw zrobił to Arek, a potem Beata. Jeżeli z tych sześciu odcinków można zbudować 2 trójkąty, to Beata wygrywa, a jeżeli nie, to wygrywa Arek. Czy Arek może tak podzielić swój odcinek, aby zapewnić sobie zwycięstwo? Odpowiedź uzasadnij.

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=JsO4lG1tqU0&feature=emb_logo Pogodnej niedzieli, Tata

Sobota, 14.12.19

Sobota, 14.12.19

Kochana Irenko, polecam Ci bardzo interesujący  esej o fizyce ze „Świata Nauki” https://www.swiatnauki.pl/8,1823.html

Rozwiązanie zadania: sześciokąt foremny można podzielić na trójkąty równoboczne. Wówczas okrąg opisany na sześciokącie ma promień rowny bokowi tego trójkąta (dlaczego?), a promień okręgu wpisanego wysokości w tym trójkącie. Jeśli zadany jest bok o długości r, to z prawa Pitagorasa doskona;le wiesz, że wysokość ma wartość h=sqrt(r*r-r*r/4)=r*sqrt(3)/2. Z zadania wiemy, że różnica promieni tych okręgów wynosi x, czyli

r-sqrt(3)/2*r=r*(1-sqrt(3)/2)=x.

Stąd widzisz, że bok trójkąta, będący jednocześnie bokiem sześciokąta ma wartość

r=x/(1-sqrt(3)/2)=2*x/(2-sqrt(3))=2*(2+sqrt(3))*r. Dlaczego zachodzi 1/(2-sqrt(3))= 2+sqrt(3)?

 Zadanie (ciekawe): W pudełku jest 30 piłeczek ping-pongowych, każda w jednym z trzech kolorów. Jeżeli z pudełka wyjmiemy jakiekolwiek 25 piłeczek, to wśród nich będą zawsze co najmniej 3 białe, będzie co najmniej 5 niebieskich i co najmniej 7 zielonych. Ile jest w pudełku piłeczek każdego z kolorów?

Zapraszam Cię na muzykę Williamsa https://www.youtube.com/watch?v=ZR2JlDnT2l8. Pogodnego i odważnego dnia, Tata

Poniedziałek, 2.12.19

Poniedziałek, 2.12.19

Kochana Irenko, polecam Ci artykuł ze „Świata Nauki” https://www.swiatnauki.pl/8,1836.html o pewnym robocie.

Rozwiązanie zadania: oznaczę przez x i y dwie liczby dodatnie, dla których x+y=1. Jaka jest minimalna wartość x*x+y*y? Zauważ, że maksymalna wartość tego wyrażenia wynosi 1, gdy jedna z liczb jest równa  1, druga 0. Ponieważ y=1-x i wyrażenie można przepisać w postaci

x*x+y*y=x*x+(1-x)*(1-x)=2*x*x-2*x+1=2*(x-1/2)*(x-1/2)+1/2. Zauważ, że kwadrat wyrażenia

(x-1/2)^2 jest dodatni i przyjmuje najmniejszą wartość równą 0 (mniej niż 0 nie może być) wtedy, gdy x=1/2 . Zatem nasze wyrażenie przyjmuje najmniejszą wartość dla x=y=1/2 i wartość ta wynosi ½.

Zadanie: W sześciokąt foremny wpisano okrąg oraz opisano na nim okrąg. Różnica długości promieni tych okręgów wynosi x. Oblicz długość boku tego sześciokąta.

Zapraszam Cię na Benjamina Brittena https://www.youtube.com/watch?v=VTd2aXLTA84. Pogodnego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 1.12.19

Niedziela, 1.12.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-12-01.

Rozwiązanie zadania: jeśli zadany jest ostrosłup o podstawie wielokąta (koła), objętość możemy policzyć rozcinając ostrosłup na N plastrów płaszczyznami równoległymi  do podstawy i jednakowo od siebie oddalonymi. Wówczas odległość pomiędzy plastrami wynosi h/N, gdzie h wysokość ostrosłupa. Każdą warstwę możemy ponumerować numerem k, zmieniającym się od 1 do N. Zauważ, że każda warstwa jest w przybliżeniu graniastosłupem, którego pole podstawy jest zmniejszone w stosunku (k/N)*(k/N) do podstawy ostrosłupa przez jednokładność i wynosi S*(k/N)^2, zaś wysokość h/N.

Zatem objętość warstwy wynosi  S*(k/N)^2*h/N.

Objętość ostrosłupa wynosi jest sumą warstw i wynosi

V=[(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+…+(N/N)^2]*S*h/N. Widzisz, że ogólny wzór na objętość ostrosłupa

V=a(N)*S*h, gdzie współczynnik a(N) jest stały dla wszystkich ostrosłupów i wynosi

a(N)= [(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+…+(N/N)^2]/N=[(1*1+2*2+3*3+…N*N]/N^3, przy czym sumę tę należy policzyć dla bardzo, bardzo dużych N. Na początek podzielmy na 4 warstwy wówczas

a(4)=(1*1+2*2+3*3+4*4)/64=30/64=0.46. Policzę dla 6:

a(6)=(1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6)/216=91/216=0.42.

Czy można znaleźć wzór na sumę kwadratów N kolejnych liczb naturalnych? Tak i nie jest to zadanie trudne. Założę, że suma ta wynosi ((a1*N+a)*(b1*N+b)*(c1*N+c))/d, gdzie a, b, c, a1, b1, c1, d to 9 stałych i niewielkich liczb. Dla kolejnych N powinno  zachodzić

1*1=(a1*1+a)*(b1*1+b)*(c1*1+c)/d=1

1*1+2*2=(a1*2+a)*(b1*2+b)*(c1*2+c)/d=5

1*1+2*2+3*3=(a1*3+a)*(b1*3+b)*(c1*3+c)/d=14=2*7

1*1+2*2+3*3+4*4=(a1*4+a)*(b1*4+b)*(c1*4+c)/d=30=3*2*5

Zauważ, że z pierwszego równania d=(a1+a)*(b1+b)*(c1+c).

 Z drugiego 5*d=(2*a1+a)*(2*b1+b)*(2*c1+c). Będę zgadywał. Położę d=6, wtedy a1=2, a=1, b1=1,b=3, c1=1, c=0.

Wzór powinien mieć postać (2*N+1)*(N+1)*N/6. Możesz sprawdzić wzór dla kilku N i zobaczyć, że jest poprawny.

Można wówczas wyrazić a(N)=(2*N+1)*(N+1)*N/N^3 tylko przez N. Zauważ, że dla dużych N można pominąć jedynki i dostaje się a(N)=2*N^3/6/N^3=2/6=1/3.

Po dosyć skomplikowanych, jak na 8 klasę, przekształceniach znaleźliśmy wzor na objętość ostrosłupa (stożka) V=1/3*S*h.

Zadanie: Udowodnij, że jeśli suma dwóch liczb dodatnich jest równa 1, to suma ich kwadratów jest równa co najmniej ¹/₂.

Zapraszam Cię na Psalm 122 https://www.youtube.com/watch?v=CHZEVx60txQ&feature=emb_logo . Pięknej niedzieli, Tata

Piątek, 29.11.19

Piątek, 29.11.19

Kochana Irenko, polecam Ci https://www.swiatnauki.pl/8,1834.html konkurs dla uczniów.

Rozwiązanie zadania: jeśli wielokąt wypukły ma n boków, ma także n wierzchołków. Z każdego wierzchołka można poprowadzić n-1 przekątnych, zatem liczba przekątnych P wynosi P=n*(n-1)/2, gdyż każda przekątna w powyższym wzorze liczona jest podwójnie. Zatem P/n=(n-1)/2 powinno być równe k. Stąd n-1=2*k lub n=2*k+1. Odpowiedź: liczba wierzchołków jest liczbą nieparzystą i wyraża się przez k wzorem n=2*k+1.

Zadanie: jak uzasadnisz wzór na objętość V ostrosłupa (lub stożka) V=1/3*h*S, gdzie h – wysokość, S - pole podstawy?

Zapraszam Cię na Benjamina Brittena https://www.youtube.com/watch?v=jFeRels8AyY . Pogodnego dnia, Tata

Środa, 27.11.19

Środa, 27.11.19

Kochana Irenko, w jaki sposób dwutlenek węgla przekształcany jest z pomocą światła w cukry i tlen dowiesz się z krótkiego filmu https://www.youtube.com/watch?v=eOPEn2qYff4. Ten cykl jest arcydziełem natury.

Rozwiązanie zadania: niech reszty z dzielenia dwóch liczb przez 3 wynoszą r1 i r2 (reszty te są równe 1 lub 2). Zauważ, że z wszelkich kombinacji tych reszt, różnica kwadratów wynosi 3 lub 0: 2*2-1*1=3, 2*2-2*2=0, 1*1-1*1=0. Zatem różnica kwadratów tych liczb zawsze dzieli się przez 3.

Zadanie: ile boków musi mieć wielokąt, aby liczba jego przekątnych była k razy większa od liczby boków, gdzie k jest liczbą naturalną?

Zapraszam Cię na utwór Benjamina Brittena  https://www.youtube.com/watch?v=4vbvhU22uAM . Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 24.11.19

Niedziela, 24.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-24

Rozwiązanie zadania: wystarczy wybrać boki 1,1,2,3. Z boków tych można zbudować czworokąt, zaś z żadnych nie można zbudować trójkąta.

Zadanie: Pokaż, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=622Qgzoa3cY&feature=emb_logo. Pogodnej niedzieli, Tata

Czwartek, 21.11.19

Czwartek, 21.11.19

Kochana Irenko, na filmie zobaczysz, w jaki sposób w komórce powstają białka, których struktura zapisana jest w genach przy pomocy  DNA https://www.youtube.com/watch?v=gG7uCskUOrA. Żeby to opowiedzieć, ilu to ludzi ciężko pracowało przez prawie 20 lat.

Rozwiązanie zadania: reszta z dzielenia liczby postaci (3*k+1) (np. 4, 10) podniesionej do potęgi n (3*k+1) ^n wynosi 1 (dlaczego?). Zatem reszta z dzielenia  liczb 10^n+4^n wynosi 2, po odjęciu 2, reszta wynosi 0. Wniosek: 10^n+4^n–2 jest podzielna przez 3.

Zadanie: Czy w każdym czworokącie można wybrać trzy boki, z których da się zbudować trójkąt? Uzasadnij odpowiedź.

Zapraszam Cię https://www.youtube.com/watch?v=hbKlDCKJtqE&list=RDPT_8pqwwOqY&index=5 na przygody Abramka w wykonaniu Olgi M. Pogodnego i radosnego dnia, Tata

 

Wtorek, 19.11.19

Wtorek, 19.11.19

Kochana Irenko, popatrz na dochody na osobe (w doloarach) w poszczególnych państwach https://pl.wikipedia.org/wiki/Lista_pa%C5%84stw_%C5%9Bwiata_wed%C5%82ug_PKB_nominalnego_per_capita. Na którym miejscu jest Polska?

Rozwiązanie zadania: oznaczę wierzchołki trapezu przez ABCD, gdzie długość podstawy AB wynosi a, CD  zaś b. Oznaczę punkt przecięcia przekątnych trapezu przez N. Wówczas pole trójkąta ANB wynosi S1=a*h1/2, DNC zaś S2=b*h2/2. Wysokość trapezu wynosi h=h1+h2, a jego pole (sprawdź)

S=(a+b)*(h1+h2)/2=a*h1/2+b*h2/2+(a*h2/2+b*h1/2)=S1+S2+b*h2/2*[ a/b+h1/h2]

Trójkąty ANB i DNC są podobne, więc stosunki podstaw są równe stosunkowi wysokości

a/b=h1/h2. Mnożąc ostatnią równość przez a/b stronami dostajemy

a*a/b*b=a*h1/(b*h2)=S1/S2, skąd po wyciągnięciu pierwiastka a/b=sqrt(S1)/sqrt(S2)=h1/h2, gdzie sqrt oznacza pierwiastek.

Przekształcę wzór na S

S=S1+S2+S2*[a/b+h1/h2]=S1+S2+S2*2*sqrt(S1)/sqrt(S2)=
=S1+S2+2*sqrt(S1)*sqrt(S2)=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2.

Wniosek: jeśli znane są pola trójkątów ANB  i DNC  w trapezie ABCD, to pole trapezu S jest równe sumie pierwiastków tych pól podniesionej do kwadratu

S=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2.

Zadanie: Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n+4^n–2 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię Tango w wykonaniu Olgi M. Ktoś napisał „Wunderschön , unvergesslich ! Eine Stimme aus einer singulären Zeit begleitet von einer verbleibenden Melodie”  https://www.youtube.com/watch?v=1L2oGYNwJoA&list=RDPT_8pqwwOqY&index=12 Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 17.11.19

Niedziela, 17.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-17.

Rozwiązanie zadania: oznaczę szukane liczby pierwsze przez p1, p2, p3. Zachodzi

p1*p2*p3=5*(p1+p2+p3). Z równania tego wynika, że jedna z liczb jest równa 5, załóżmy p1=5. Wówczas równanie na pozostałe dwie liczby ma postać

p2*p3=5+p2+p3. Co można przepisać

(p2*p3-p2-p3+1)-1=(p2-1)*(p3-1)-1=5 lub

(p2-1)*(p3-1)=6 (sprawdź).

Równanie to ma następujące rozwiązania w liczbach naturalnych

p2=2 i p3=7 lub p2=3 i p3=4. Ponieważ p2 i p3 mają być liczbami pierwszymi, to tylko p2=2 i p3=7 są rozwiązaniem zadania.

Odpowiedź: trzema szukanymi  liczbami pierwszymi są (2,5,7).

Zadanie (trudne): oblicz pole trapezu, znając pola dwóch trójkątów opartych na podstawach trapezu i o wspólnym wierzchołku w punkcie przecięcia przekątnych trapezu.

Zapraszam Cię na Psalm 98 https://www.youtube.com/watch?v=d9dYmMmreyE&feature=emb_logo. Pogodnej i radosnej niedzieli, Tata

Piątek, 15.11.19

Piątek, 15.11.19

Kochana Irenko, popatrz, jak Merkury przelatuje na tle tarczy Słońca https://apod.nasa.gov/apod/ap191114.html.

Rozwiązanie zadania: oznaczmy kwadrat o boku r przez ABCD (zrób rysunek). Poprowadźmy koła z wierzchołków A i B o promieniu r, przecinające się w punkcie S wewnątrz tego kwadratu. Wówczas trójkąt ABS jest równoboczny o boku r i wysokości równej sqrt(3)/2*r (dlaczego?). Z rysunku widzisz, że długość przekątnej kwadratu wyznaczonego przez 4 punkty przecięcia kół wynosi

r-2*[ r-sqrt(3)/2*r]=(sqrt(3)-1)*r. Jeśli znamy długość przekątnej d kwadratu, to jego pole wynosi d*d/2 (dlaczego?). Zatem pole kwadratu z zadania jest równe

(sqrt(3)-1)^2*r*r/2

Zadanie: Iloczyn trzech liczb pierwszych równa się pięciokrotności ich sumy. Jakie to liczby?

Zapraszam Cię na „Śpij kochanie” w wykonaniu Olgi Mieleszczuk https://www.youtube.com/watch?v=PT_8pqwwOqY. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata