Kochana Irenko, popatrz na trzeci odcinek filmu o Einsteinie, o jego
teorii względności https://www.youtube.com/watch?v=BQWoxccaXvM.
Odsłuchaj kilka razy.
Rozwiązanie zadania: oznaczę przez
z=x^3. Jeśli x należy do zbioru liczb rzeczywistych (dodatnich i ujemnych) R,
to z także należy do R. Uwaga: przy przekształceniu z=x^2 już tak nie jest
(dlaczego?). Gdyż z jest teraz dodatnie, nigdy nie jest ujemne!!! Należy, zatem
zbadać wartości funkcji z^2+z. Jak w ogólności badamy zachowanie funkcji
kwadratowych? Staramy się tak przekształcić wyrażenie, aby otrzymać wyrażenie
typu a*y^2+b, gdzie y jest funkcją liniową z, a i b to stałe. Spróbuję
podstawić
y=z+1/2. Wówczas
z^2+z=(z+1/2)^2-1/4 (sprawdź).
Ale wyrażenie (z+1/2)^2 jest zawsze dodatnie lub równe zeru i
przyjmuje najmniejszą wartość zero. Najmniejszą wartością wyrażenia z^2+z
jest -1/4.
Rozważania ogólne: jak wyznaczyć
wartość minimalną (maksymalną) funkcji
f(x)=a*x*x+b*x+c, gdzie a, b, c to liczby (w naszym przypadku a=1, b=1, c=0)?
Sztuczka polega na przepisaniu tej funkcji w postaci
f(x)= a*x*x+b*x+c =a*(x+b/(2*a))^2-b*b/(4*a)+c.
Widzisz, że (x+b/(2*a))^2 ma najmniejszą wartość równą zero.
Jeśli a>0 to funkcja przyjmuje minimum w punkcie –b/(2*a), jeśli a<0, to
w tym punkcie jest maksimum, których
wartości wynoszą c-b*b/(4*a).
Zadanie (trudne): dodatnie liczby całkowite a1
< a2 < a3 < ... < a44
nie przekraczają 125.
Udowodnij, że wśród różnic ak – ak-1 (k=2, 3, ..., 44) pewna wartość występuje co najmniej 10 razy.
Udowodnij, że wśród różnic ak – ak-1 (k=2, 3, ..., 44) pewna wartość występuje co najmniej 10 razy.
Zapraszam
Cię na muzykę Chopina w wykonaniu Kate Liu https://www.youtube.com/watch?v=rs8rrW4s_rs
Pogodnego świątecznego dnia, Tata
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz