Czwartek, 21.5.20

Czwartek, 21.5.20

Kochana Irenko,  popatrz jakie nieprawdopodobne bogactwo zabaw osiągnęły elektrony bawiąc się tylko wokół pięciu atomów: węgla C, tlenu  O, azotu N, wodoru H i czasami siarki S   https://www.youtube.com/watch?v=wvTv8TqWC48. Tych bawiących się elektronów są tysiące, czasami nawet miliony. Z wcześniejszych listów dowiedziałaś się o prostych zabawach 2- lub 3-atomowych. Te olbrzymie bale są naprawdę imponujące – czasami podobne do poloneza, gdzie tańczący przebiegają całe miasto. To tak, jakby na jednym balu bawiło się całe miasto, albo nawet połowa Polski. Niestety reguły tych olbrzymich zabaw są wciąż słabo zbadane.

Rozwiązanie zadania: załóżmy, że nie istnieją dwie liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Pokażę, że założenie to prowadzi do sprzeczności. 

Wezmę dowolną liczbę naturalną n. Niech liczby będą pomalowane na zielono (Z), czerwono(C) i  niebiesko (N). Wówczas  liczby:

n i n+25 mają różne kolory, np. (Z i C),

n i n+16 też mają różne kolory, np. (Z i N),

n i n+9 też mają różne kolory, np. (Z i N).

Ponieważ liczby zostały pomalowane trzema kolorami, a kolor Z  jest zajęty dla n, to trzy liczby n+25, n+16 i n+9 są pomalowane tylko dwoma kolorami, tak jak powyżej. Pary liczb (n+25 i n+16) oraz (n+25 i n+9) nie mogą być pomalowane tym samym kolorem, gdyż ich różnice  są kwadratami i wynoszą odpowiednio:  9=3*3 i 16=4*4. Wynika stąd, że para liczb n+16 i n+9 jest pomalowana tym samym kolorem np. N. Zauważ, że liczby te różnią się o 7. Ponieważ n jest dowolne, więc dowolne liczby różniące się o 7 są pomalowane tym samym kolorem  np. liczby  30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79. Jednak  różnica dwóch z nich 79-30=49=7*7 jest kwadratem 7, co dowodzi, że liczby te nie mogą być pomalowane tym samym kolorem i jednocześnie pokazuje, że przyjęte na początku założenie jest fałszywe. Odpowiedź: istnieją dwie rożne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): liczby rzeczywiste x oraz y spełniają nierówność x*x+x=<y. Udowodnij, że y*y+y=>­x. Oznaczenia: znak =< oznacza mniejsze lub równe, => oznacza większe lub równe.

„Nigdy się nie dowiesz” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=UN5zOr5tW8Y&list=RD61iBRYalwi4&index=11 Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata