Niedziela, 31.5.20

Niedziela, 31.5.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-05-31

Rozwiązanie zadania: uzupełnijmy trójkąt ABC poprzez dodanie trójkąta ACD, identycznego z trójkątem ABC, o wspólnym boku AC tak, że AD jest równoległe do BC, zaś DC równoległe do AB. Podział tak powstałego równoległoboku na 3 równe części prostymi równoległymi do CB i przechodzącymi przez P i Q prowadzi do podziału na 3 jednakowe romby. W środkowym rombie, odcinki PM i QM są połowami przekątnych. Wiadomo, że w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym, co dowodzi tezy zadania.

Zadanie (trudne):. czy istnieje taki wielościan wypukły, ze każdy kąt wewnętrzny jego każdej ściany jest prosty lub rozwarty i który ma dokładnie 100 krawędzi? Odpowiedź uzasadnij.

Zapraszam Cię na Psalm 104  https://www.youtube.com/watch?v=785-SkucUts&feature=emb_logo Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

Piątek, 29.5.20

Piątek, 29.5.20

Kochana Irenko, czy ludzie wrócą na Księżyc? Dowiesz się z najnowszego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=A7GUtDfhRvA&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=98.

Rozwiązanie zadania: jakie mogą być dwie pierwsze cyfry liczby 3*n? Niech liczba n rozpoczyna się, wg warunków zadania,  tj. od jednej z cyfr k=3, 4, 5, 6, 7, 8 (zero wykluczamy). Wówczas dwie cyfry początkowe liczby 3*n  mogą być równe (iloczyn 3*k + wartość z przeniesienia, równa jednej z możliwości:  0, 1, 2):

dla  k=3 -> 9…, 10…, 11…,

dla k=4 ->  12…, 13…, 14…,

dla k=5 -> 15…, 16…, 17…,

dla k=6 -> 18…, 19…, 20…,

dla k=7 ->  21…, 22…, 23…,

dla k=8 -> 24…, 25…, 26…,

czyli kolejne liczby od 9 do 26! Zobacz, że pierwszą cyfrą liczby 3*n  jest jedna z cyfr  1, 2, 9. Z powyższego widać, że innych możliwości nie ma, co dowodzi tezy zadania.

Zadanie: dany jest trójkąt ABC, w którym AB=3·BC. Punkty P i Q leżą na boku AB i spełniają warunek AP =PQ=QB. Punkt M jest środkiem boku AC. Wykaż, że kąt <)PMQ=90 stopni.

 „Sen końca …” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=3xF5bTPMN70&list=RDmkI_gpdrpfw&index=10 Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Wtorek, 26.5.20

 Wtorek, 26.5.20

Kochana Irenko, czym są wiroidy? To twory znacznie prostsze od wirusa. Zapytasz

- Czy mogą istnieć twory zbudowane tylko z RNA?

-Tak. Istnieją bardzo proste, samoreplikujące się cząsteczki DNA lub RNA.

Za Wiki: „Wiroidy – najmniejsze znane czynniki zakaźne roślin. Składają się z jednej zamkniętej, kolistej nici RNA, zbudowanej z 240–399 zasad.” https://en.wikipedia.org/wiki/Viroid

Rozwiązanie zadania: ilość wszystkich przekątnych w 101 kacie foremnym wynosi

(101-3)*101/2=49*101 (dlaczego?). Niech prosta rozcina 101-kąt foremny na dwie części z ilością wierzchołków N i (101-N), gdzie N zmienia się od 1 do 100. Wówczas wszystkie przekątne możemy podzielić na trzy zbiory:

leżące w N-kącie,

leżące w (101-N)-kącie,

 leżące pomiędzy tymi dwoma wielokątami. Prosta przecina tylko przekątne leżące pomiędzy dwoma wielokątami, których ilość jest równa iloczynowi wierzchołków w tych wielokątach N*(101-N) pomniejszonemu o 2 krawędzie łączące te wielokąty, nie będące przekątnymi, ale bokami 101-kąta (dlaczego?). Zatem ilość przekątnych przcinanych przez prostą wynosi N*(101-N)-2.

Dla N parzystego, iloczyn N*(101-N)  jest liczbą parzysta, a dla N nieparzystego liczba 101-N jest liczbą parzystą. Stąd wynika, że iloczyn ten jest zawsze liczbą parzystą. Wniosek: ilość przekątnych, które przecina prosta jest równa N*(101-N)-2 i  jako różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej n nie występuje żadna z cyfr 1, 2, 9. Udowodnij, że w zapisie dziesiętnym liczby 3n występuje co najmniej jedna z cyfr 1, 2, 9.

„Marionetki” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=HyrhZXdJ27c&list=RDmkI_gpdrpfw&index=25 Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 24.5.20

Niedziela, 24.5.20

Kochana Irenko,  dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-05-24

Rozwiązanie zadania: zauważ, że z nierówności x*x+x=<y wynika ciąg nierówności x<=y-x*x<=y<=y+y*y dowodzących prawdziwość tezy zadania.

Zadanie (trudne): dany jest 101-kąt foremny. Prosta ` leży w płaszczyźnie tego wielokąta, przecina ten wielokąt  i nie przechodzi przez żaden z jego wierzchołków. Udowodnij, że prosta ` przecina parzystą liczbę przekątnych danego wielokąta.

Zapraszam Cię na Psalm 46 https://www.youtube.com/watch?v=uZ6edYQxENc&feature=emb_logo.

Życzę Ci pogodnej niedzieli, Tata

Czwartek, 21.5.20

Czwartek, 21.5.20

Kochana Irenko,  popatrz jakie nieprawdopodobne bogactwo zabaw osiągnęły elektrony bawiąc się tylko wokół pięciu atomów: węgla C, tlenu  O, azotu N, wodoru H i czasami siarki S   https://www.youtube.com/watch?v=wvTv8TqWC48. Tych bawiących się elektronów są tysiące, czasami nawet miliony. Z wcześniejszych listów dowiedziałaś się o prostych zabawach 2- lub 3-atomowych. Te olbrzymie bale są naprawdę imponujące – czasami podobne do poloneza, gdzie tańczący przebiegają całe miasto. To tak, jakby na jednym balu bawiło się całe miasto, albo nawet połowa Polski. Niestety reguły tych olbrzymich zabaw są wciąż słabo zbadane.

Rozwiązanie zadania: załóżmy, że nie istnieją dwie liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Pokażę, że założenie to prowadzi do sprzeczności. 

Wezmę dowolną liczbę naturalną n. Niech liczby będą pomalowane na zielono (Z), czerwono(C) i  niebiesko (N). Wówczas  liczby:

n i n+25 mają różne kolory, np. (Z i C),

n i n+16 też mają różne kolory, np. (Z i N),

n i n+9 też mają różne kolory, np. (Z i N).

Ponieważ liczby zostały pomalowane trzema kolorami, a kolor Z  jest zajęty dla n, to trzy liczby n+25, n+16 i n+9 są pomalowane tylko dwoma kolorami, tak jak powyżej. Pary liczb (n+25 i n+16) oraz (n+25 i n+9) nie mogą być pomalowane tym samym kolorem, gdyż ich różnice  są kwadratami i wynoszą odpowiednio:  9=3*3 i 16=4*4. Wynika stąd, że para liczb n+16 i n+9 jest pomalowana tym samym kolorem np. N. Zauważ, że liczby te różnią się o 7. Ponieważ n jest dowolne, więc dowolne liczby różniące się o 7 są pomalowane tym samym kolorem  np. liczby  30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79. Jednak  różnica dwóch z nich 79-30=49=7*7 jest kwadratem 7, co dowodzi, że liczby te nie mogą być pomalowane tym samym kolorem i jednocześnie pokazuje, że przyjęte na początku założenie jest fałszywe. Odpowiedź: istnieją dwie rożne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): liczby rzeczywiste x oraz y spełniają nierówność x*x+x=<y. Udowodnij, że y*y+y=>­x. Oznaczenia: znak =< oznacza mniejsze lub równe, => oznacza większe lub równe.

„Nigdy się nie dowiesz” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=UN5zOr5tW8Y&list=RD61iBRYalwi4&index=11 Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata

Środa, 20.5.20

Środa, 20.5.20

Kochana Irenko,  zapraszam Cię na film opowiadający o zabawie milionów elektronów https://www.youtube.com/watch?v=gG7uCskUOrA. Zobaczysz, w jaki sposób z informacji zapisanej na DNA, informacja odczytywana jest i przepisywana na mRNA. Następnie poza jądrem komórkowym na podstawie informacji mRNA tworzone jest białko.

Rozwiązanie zadania: podnosząc obie strony układu równań 

x−yz =1,

xz+y =2,

do kwadratu dostaję

x^2-2*x*y*z+(yz)^2=1,

(xz)^2+2*x*y*z+y^2=4.

Następnie dodając je stronami

x^2+y^2+z^2*( x^2+y^2)=

=( x^2+y^2)*(1+z^2)=5.

Jak widzisz, iloczyn dwóch wyrażeń jest równy 5, liczbie pierwszej. Mogą zachodzić dwie równości:

x^2+y^2=1 i 1+z^2=5, z rozwiązaniami (0,1,2) lub (1,0,2), lub

x^2+y^2=5 i 1+z^2=1, z rozwiązaniami  (2,1,0) lub (1,2,0).

Ponieważ powyższe równania uzyskaliśmy podnosząc pierwotne równania

x−yz =1,

xz+y=2,

do kwadratu, należy podstawić kolejne rozwiązania do powyższego układu równań i sprawdzić, czy jest spełniony. Odpowiedź: układ równań  spełniają   tylko dwa rozwiązania: (1,0,2) oraz (1,2,0) z powyższych czterech.

Zadanie (trudne): każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.

„Jednego serca” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=IJmg5_ROsJE&list=RD61iBRYalwi4&index=12 Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 17.5.20

Niedziela, 17.5.20

Kochana Irenko,  usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-05-17

Rozwiązanie zadania: dla dodatnich liczb a, b, c można skonstruować trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a  i b, i przeciwprostokątnej c. Jeśli przyprostokątne przedłużyć o x, to różnica kwadratów  (z prawa Pitagorasa) długości przeciwprostokątnych, po wydłużeniu i przed,  wynosi

(a+x)^2+(b+x)^2-a*a-b*b=2*x(a+b)+2*x*x. 

Z drugiej strony podobna różnica kwadratów jest równa

(c+x)^2-c*c=2*c*x+x*x.

Jeśli istniałoby x spełniające warunki zadania, to te dwie wielkości powinny być sobie równe, czyli ich różnica powinna być rowna zero

2*x*(a+b)+2*x*x-2*x*c-x*x=x*[2*(a+b)-2*c-x]=0.

Aby ostatnie równanie miało rozwiązanie może być

x=0 lub x=2*(c-a-b).

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, gdyż wg warunków zadania x>0. Zauważ, że na mocy nierówności trójkąta zachodzi c-a-b<0, a wówczas x<0. Dlatego drugie rozwiązanie także odrzucamy. Odpowiedź: nie istnieją a, b, c,  x>0 spełniające równania a^2+b^2 =c^2 oraz (a+x)^2+(b+x)^2 =(c+x)^2.

Zadanie (trudne): Wyznacz wszystkie trójki (x,y,z) liczb całkowitych spełniające układ równań

x−yz =1,

xz+y =2.

Psalm 66 https://www.youtube.com/watch?v=nBFV8l1_jwM&feature=emb_logo Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 16.5.20

Sobota, 16.5.20

Kochana Irenko, wybuch różnorodności pierwotnych form, może jeszcze nie życia, nastąpił wtedy, gdy elektrony odkryły kilka  zabaw. W jednej potrafiły formować długie łańcuchy par CG (cytozyna-guanina) oraz AT (adenina-tymina) – potrafiły nie tylko łączyć dwie zasady w pary, ale także łączyć te pary, formując z nich długie ciągi. Kolejną przepiękną zabawą było wiązanie przez trzy pary zasad jednego aminokwasu – fragmentu białka.  Następnie przy pomocy wiązań peptydowych, niczym klocki lego, aminokwasy są łączone (zatrzaskiwane), tworząc długie białka.  

   

Rozwiązanie zadania: trójkąty DEC AEB sa podobne, więc CE/EA=DC/AB=FD/AF. Ponieważ FD+AF=DC+AB, to stąd wynika, że AF=AB i FD=DC. Zatem trójkąty AFB i FDC są równoramienne o równych kątach odpowiednio f i g. Zauważ, że kąt BFC=f+g, oraz 180=2*(f+g), skąd f+g=90, co było do okazania.

Zadanie (trudne):  czy istnieją cztery dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c, x o tej własności, że

a^2+b^2 =c^2 oraz (a+x)^2+(b+x)^2 =(c+x)^2? Odpowiedź uzasadnij.

„Coś co kocham …” Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=gN5Ib0LS6aY&list=RD61iBRYalwi4&index=18 Życzę Ci pięknej soboty, Tata

Piątek, 15.5.20

Piątek, 15.5.20

Kochana Irenko, z poprzednich listów dowiedziałaś się, że proste molekuły powstały dzięki zabawom elektronów. Gdyby nie ich chęć bycia razem w ściśle określonych grupach, nie istniałaby woda, amoniak, guanina czy aminokwasy. Niedługo będziemy świętować setną rocznicę powstania mechaniki kwantowej. Zapytasz, czy teoria ta pozwala zrozumieć zabawy elektronów? Tak, ale w najprostszych molekułach – w wodzie, w amoniaku, może jeszcze w paru innych. Kiedy ilość atomów biorących udział w zabawie (co za tym idzie, ilość elektronów) jest duża, równania tej teorii tak się komplikują, że nikt nie jest w stanie ich rozwiązać. Ale po utworzeniu najprostszych molekuł, zaczęła się jedna z najbardziej wyrafinowanych gier w przyrodzie z udziałem tysięcy elektronów -  tworzenie molekuł DNA oraz tworzenie białek.   

    

Rozwiązanie zadania: niech bok trójkąta równobocznego ma długość 1. Zauważ, że trójkąty ADM i MBE są podobne (dlaczego?). Oznaczę długość AD=x. Wówczas z relacji podobieństwa dla tych trójkątów (AM=MB=1/2) dostaję

x/(1/2)=1/2/BE, skąd BE=1/(4*x). 

Muszę wyrazić długość DE w funkcji x.

Dla trójkąta DEC można napisać uogólnione prawo Pitagorasa

(DC=1-x, CE=1-1/(4x),

DE^2=DC^2+CE^2-2*Cos(60)*DC*CE= DC^2+CE^2-DC*CE, gdyż Cos(60)=1/2):

(1-x)^2+(1-1/(4x))^2-2*1/2(1-x)*(1-1/(4x)=[-1/2+x+1/(4x)]^2 (sprawdź ostatnią równość).

Stąd  DE=x+1/(4x)-1/2=AD+BE-1/2*AB, co było do okazania.

Zadanie (trudne): Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym AB+CD = AD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Prosta przechodząca przez punkt E i równoległa do podstaw trapezu przecina ramię AD w punkcie F. Udowodnij, że kąt <)BFC=90 stopni.

„Dzwoneczek” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=rcG3CFTAAao&list=RD61iBRYalwi4&index=13  Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata

Czwartek, 14.5.20

Czwartek, 14.5.20

Kochana Irenko,  polecam Ci jeden z ostatnich odcinków astronarium https://www.youtube.com/watch?v=Iwx4dEHCIfw&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=93. Obserwacja promieni X może pomóc zbadać wnętrza galaktyk. Pamietasz, że promienie X to promieniowanie elektromagnetyczne o długości fali kilku nanometrów (światło widzialne ma długość fal od 300 do 800 nanometrów). Na początku roku pisałem Ci o wykorzystaniu promieni X do wyznaczania struktury białek.

Rozwiązanie zadania: dodając stronami trzy równania z zadania dostaję

a*a+b*b+c*c+a+b+c =a*a+b*b+c*c, skąd a+b+c=0.

Trzy równania można przepisać w postaci:

a=(b-a)*(b+a),

b=(c-b)*(c+b),

c=(a-c)*(c+a).

Podstawiając do powyższych 3 równań (tylko) z lewej strony

a=-(b+c), b=-(a+c),  c=-(b+a) i mnożąc równania stronami dostaję

-[(b+a)(c+b)*(c+a)]=(b-a)(c-b)*(a-c)*[(b+a)*(c+b)*(c+a)].

Ponieważ liczby a, b, c są różne od zera, to ich iloczyn -(b+a)(c+b)*(c+a) też jest różny od zera. Dzieląc stronami powyższe równanie przez -(b+a)(c+b)*(c+a) dostaję

1=(b-a)*(c-b)*(c-a), co należało okazać.

Zadanie (trudne): punkt M jest środkiem boku AB trójkąta równobocznego ABC. Punkty D i E leżą odpowiednio na odcinkach AC i BC, przy czym kąt <)DME=60 stopni. 

Wykaż, że AD+BE = DE+AB/2.

 „Brodjaga” (Włóczęga) i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=8jenOn-exNk&list=RD61iBRYalwi4&index=2 „Wędrował zgarbiony włóczęga, dźwigając przeklęty swój los …” Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Wtorek, 12.5.20

Wtorek, 12.5.20

Kochana Irenko, kilka dni temu pytałem Cię, kim byli przodkowie Polaków sprzed 200 lat. Pokazałem Ci zdjęcia folwarku najbliższej okolicy. Wtedy Rzeczpospolita składała się ze stanów – duchowieństwa, szlachty, mieszczan  i chłopów. O tych stanach przeczytasz w Konstytucji 3 maja 1791 roku, rocznicę której niedawno świętowaliśmy. Za Wiki: w 1791 roku Rzeczpospolitą zamieszkiwało 7 890 000 ludzi:   „6 360 000 chłopów (stanowili 81% mieszkańców), w tym olędrów było ok. 10 000, pewna liczba budników i rudników, znaczna liczba posiadaczy tzw. dzierżawy wieczystej, okupników, kolonistów, zagrodników, włościan nie przypisanych do ziemi, parobków, 190 000 poddanych dóbr stołowych, 840 000 poddanych w królewszczyznach, 921 300 poddanych w dobrach duchownych. 3,5 mln chłopów, wyjętych spod opieki praw i władzy rządu krajowego, obciążonych podatkami, było poddanymi dóbr dziedzicznych szlachty.

Przywiązanie do ziemi i całkowite podporządkowanie szlachcie upodobniło sytuację chłopów do niewolnictwa.”

Widzisz więc, że 200 lat temu Rzeczpospolita Obojga Narodów była w 81%  państwem niewolników.

Rozwiązanie zadania: weźmy pewną liczbę naturalną k. Wówczas wszystkie liczby ciągu

1, k, k*k, k^3, k^4, …k^i, gdzie k^i<1001,

powinny być pomalowane, wg warunków zadania,  różnymi kolorami. Jakie n jest najmniejsze? Wystarczy wziąć najmniejszą liczbę k, czyli 2. Wówczas liczby 1,2,4,8,16,   ,2^9=512  tworzą ciąg, z którego każde dwie spełniają warunek, że każda z liczb jest dzielnikiem dowolnej, większej liczby. Odpowiedź: najmniejsza liczba kolorów n wynosi 10, tyle ile jest liczb w ciągu 2^0, 2^1, …2^9=512.

Zadanie (trudne): liczby rzeczywiste a, b, c są różne od zera i spełniają układ równań

a*a+a =b*b,

b*b+b =c*c,

c*c+c =a*a.

Udowodnij, że (a−b)*(b−c)*(c−a) = 1.

 „Chciałbym cofnąć czas …” i  Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=61iBRYalwi4  Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 10.5.20

Niedziela, 10.5.20

Kochana Irenko,  dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-05-10

Rozwiązanie zadania: niech w rozkładzie na liczby pierwsze, pewna liczba pierwsza p występuje w rozkładzie a i b w potęgach n i m, odpowiednio. W liczbie a^b*b^a liczba p występuje, zatem w potędze p^(n*a+m*b). Zauważ, że liczba b*a+m*b musi być parzysta, skoro liczba a^b*b^a jest kwadratem pewnej liczby. Jeśli a i b są liczbami nieparzystymi, to liczba b*a+m*b  tylko wtedy jest parzysta, gdy n i m są jednocześnie parzyste lub jednocześnie nieparzyste. Oznacza to, że suma n+m jest zawsze liczbą parzystą. Udowodniliśmy, że dla dowolnej liczby liczby pierwszej, występującej w rozkładzie iloczynu a*b, dowolna liczba pierwsza p występuje w parzystej potędze, co dowodzi, że a*b rozkłada się na iloczyn dwu identycznych liczb lub, że jest kwadratem pewnej liczby naturalnej, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Każdą z liczb 1,2,3,...,1000 pomalowano jednym z n kolorów. Okazało się, że każde dwie liczby, z których jedna jest dzielnikiem drugiej są pomalowane różnymi kolorami. Wyznacz najmniejszą liczbę n, dla której taka sytuacja jest możliwa.

  Psalm 33 https://www.youtube.com/watch?time_continue=6&v=LZSycKuPV_o&feature=emb_logo Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 9.05.20

Sobota, 9.05.20

Kochana Irenko,  zanim przyjrzymy się bliżej białkom, popatrzmy na

--- kwasy karboksylowe https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwasy_karboksylowe Tym razem gospodarzem zabawy elektronów są tlen i węgiel – nasi starzy znajomi. Wiesz doskonale, że zabawa wokół węgla i tlenu przebiega w rytm sp2, stąd kąty pomiędzy wiązaniami wynoszą po ok. 120 stopni,  

--- grupa aminowa https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_aminowa , gdzie gospodarzem jest atom azotu z towarzyszącymi dwoma atomami wodoru. 

Co się stanie po połączeniu?

  https://en.wikipedia.org/wiki/Peptide_bond Utworzy się bardzo trwałe wiązanie atomu węgla i azotu, natomiast tlen, największy miłośnik zabaw 8-elektronowych, odłączy się, tworząc  cząsteczkę wody. Warto dodać, że wiązanie peptydowe (tak się je nazywa) w temp. 25 stopni  rozpada się (połowa próbki) w czasie ok. 600 lat. Oznacza to, że białka się rozpadają i powinien istnieć  mechanizm naprawczy.

Przyglądasz się jednemu z najbardziej interesujących zjawisk we Wszechświecie, jakie zaczęło zachodzić ok. 4 miliardy lat temu,  molekularnym podstawom  powstawania życia na Ziemi.

Rozwiązanie zadania: mamy dwie możliwości:

-I-) a/b= (a−1)/(b−1)+1. Mnożąc obie strony przez b*(b-1) dostaję

a*(b-1)=(a-1)*b+b*(b-1), skąd –a=-b-b+b*b lub

a=(2-b)*b.

Podstawiając za a można obliczyć ilorazy:

 a/b=(2-b)*b/b=2-b jest liczba całkowitą. Zaś

(a-1)/(b-1)=(2*b-b*b-1)/(b-1)=-(b-1)^2/(b-1)=-(b-1) też jest liczbą całkowitą.

W drugim przypadku

-II-) a/b= (a−1)/(b−1)-1, skąd a=b*b. Mamy

a/b=(b*b)/b=b oraz

(a-1)/(b-1)=(b*b-1)/(b-1)=b+1. W obu przypadkach ilorazy są liczbami całkowitym, jeśli a i b są całkowite, co należało dowieść.

Zadanie: dodatnie liczby nieparzyste a, b mają tę własność, że liczba (a^b)*(b^a) jest kwadratem liczby naturalnej. Wykaż, że liczba a*b jest także kwadratem liczby naturalnej.

 Polecam Ci kolejny utwór i  Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=rln4N8JPpKE   Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Czwartek, 7.05.20

Czwartek, 7.05.20

Kochana Irenko,  wiele  zachowań  dziedziczymy po przodkach. To reguła, ale od niej są nieliczne wyjątki.  Kim byli nasi przodkowie? Zanim przejdziemy do odpowiedzi na pytanie,  popatrz, jak wyglądał folwark w naszej najbliższej okolicy http://polskawzdluzszosy.blogspot.com/2018/11/pecice-i-komorow.html.

Rozwiązanie zadania: ile jest wszystkich kwadratów 2x2 na tablicy 5x5? Każdemu kwadratowi 2x2 można przyporządkować górne lewe pole. Stąd łatwo widzisz, że rożnych kwadratów 2x2 na polu 5x5 jest tyle, ile pól w kwadracie 4x4, czyli 16.

Ponieważ każdy kwadrat 2x2 po wpisaniu w pola liczb -1, 0, ,1 tak aby suma trzech jego pól  wynosiła 0, ma co najwyżej sumę liczb równą 1, zatem suma wszystkich jego pól, przy spełnieniu warunków zadania, nie może przekraczać liczby kwadratów 2x2, czyli 16. Ale takie oszacowanie jest zawyżone, wymagałoby wypełnienia kwadratu 4x4 samymi 1 w górnym lewym rogu 4x4 tablicy 5x5.

Spróbujmy policzyć, ile jedynek trzeba usunąć, aby spełnić warunki zadania. Niech w pierwszej kolumnie, z lewej strony tablicy, będą wpisane same jedynki (1,1,1,1,1).  Wówczas następna kolumna wygląda (0,-1,0,-1,0).  Zauważ, że wszystkie kwadraty 2x2 zbudowane z pierwszych dwóch kolumn spełniają warunki. Jeśli na przemian umieścimy te dwie kolumny, to otrzymamy 15 jedynek, 6 zer i 4 wartości  -1. Suma wartości pól wynosi 15-4=11. Odpowiedź: maksymalna suma wszystkich liczb w kwadracie 5x5 wynosi 11.

Zadanie: liczby całkowite a i b są większe od 1. Udowodnij, że jeżeli jedna z liczb a/b, (a−1)/(b−1) jest o 1 większa od drugiej, to obie są liczbami całkowitymi.

Lady Pank https://www.youtube.com/watch?v=fyoCXePXQF0&list=RDZeE3wjUbiaA&index=15  Życzę Ci pięknego i odważnego dnia,  bez zbędnego lęku, Tata

Środa, 6.05.20

Środa, 6.05.20

Kochana Irenko,  guanina, cytozyna, amina i tymina służą do przekazu informacji o budowie białek. Popatrzmy, jak wyglądają  cegiełki, z których bialka są zbudowane oraz jak są łączone. Popatrz na dwa aminokwasy https://en.wikipedia.org/wiki/Peptide_bond łaczące się poprzez tzw. wiązanie peptydowe. W następnym liście popatrzymy dokładniej na to wiązanie i przemyślną zabawę elektronów.

Rozwiązanie zadania: zrób staranny rysunek. Przedłużę prostą AB i przetnę ją w punkcie N z prostą równoległą do odcinka AC i przechodzącą przez punkt D. Powstał trapez równoramienny NBCD. Łatwo pokazać, że trójkąty DBC i ACN są podobne gdyż:  CB=AC, DB=NC, NA=DC. Zatem odpowiednie kąty w tych trójkątach są równe

<)ACM =<)CBD, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): w każde pole tablicy o wymiarach 5×5 wpisano jedną z liczb −1, 0 lub 1. Okazało się, że w każdym kwadracie 2×2 złożonym z pól tablicy suma pewnych trzech spośród czterech wpisanych liczb jest równa zero. Jaka jest największa możliwa suma wszystkich liczb wpisanych w pola tablicy? Odpowiedz uzasadnij.

„Szczęśliwej drogi ….” https://www.youtube.com/watch?v=fX_rpjz2o5w&list=RDZeE3wjUbiaA&index=20  Życzę Ci pięknego, a  przede wszystkim odważnego dnia,  bez zbędnego lęku, Tata

Wtorek, 5.05.20

Wtorek, 5.05.20

Kochana Irenko, z wczorajszego listu dowiedziałaś się, że dużo istotnych dla biologii wiązań jest typu sp2. Pamiętasz, że zabawa elektronów odbywa się wówczas  na płaszczyźnie, w narożach trójkąta równoramiennego, z atomem w środku tego trójkąta.  Popatrz raz jeszcze na trzy wiązania wodorowe  cytozyny z guaniną, szczególnie uważnie przypatrz się kątom pomiędzy atomami https://pl.wikipedia.org/wiki/Cytozyna#/media/Plik:Base_pair_GC.svg (z artykułu https://pl.wikipedia.org/wiki/Cytozyna). Warto podkreślić, że ani cytozyny, ani guaniny nie odkryto w meteorytach. Związki te powstały zatem na Ziemi. Patrząc na różnorodnośc otaczającego nas świata organicznego, można śmiało postwić hipotezę - nie było najmniejszych kłopotów z powstaniem tych związków. Połaczenia A-T, G-C służą do przekazywania informacji. W grze zwanej życiem biorą udział nie mniej ważni gracze – białka. Jutro parę słów o nich.   

Rozwiązanie zadania:  z warunku x+y+z =0 wynika, że np. z=-(x+y). Oznaczę przez P dwa wyrażenia o tej samej wartości

P= x/y+y/z+z/x  oraz

P= x/z+z/y+y/x+1.

Zauważ, że suma

P+P=(x+y)/z+(z+y)/x+(z+x)/y+1=-z/z-x/x-y/y+1=-2=2*P,

skąd P=-1. Odpowiedź: wartość wyrażenia P wynosi -1.

Zadanie (trudne): dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym  AC =BC. Punkt M jest środkiem ramienia AD. Wykaż, że kąty <)ACM =<)CBD.

Lombard i bardzo aktualne „Przeżyj to sam” https://www.youtube.com/watch?v=ZeE3wjUbiaA Pozdrawia Cię także nasza Fizia. Imię ma po słynnej Pipi, córce kapitana Pończochy. Mając 9 lat była bardziej odważna od niejednej 2*9=18-latki. Życzę Ci pięknego, zdrowego i przede wszystkim odważnego dnia, Tata

Poniedziałek, 4.05.20

Poniedziałek, 4.05.20

Kochana Irenko, cytozyna, sześciokątny pierścień,  to pierwszy przykład subtelnej zabawy elektronów budujących życie.  Popatrz na budowę wiązania pomiędzy cytozyną a guaniną https://pl.wikipedia.org/wiki/Cytozyna#/media/Plik:Base_pair_GC.svg (z artykułu https://pl.wikipedia.org/wiki/Cytozyna). Tym wiązaniem są dwa sześciokąty (nieforemne, 120 w każdym narożniku, sp2), a  połączenie tworzą trzy wiązania wodoru: dwa z tlenem, jedno z azotem. Tak powstało pierwsza litera kodu życia. Popatrz na wiązania adeniny z tyminą. Za pomocą tych dwóch par jest zapisana informacja o każdym organizmie.

Rozwiązanie zadania: dla trzech  kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejsza jest nieparzysta,  a+b, b+c, c+a można policzyć sumę (podzielną przez 2) i podzielić przez dwa:  2*(a+b+c)/2=a+b+c. (np. dla kolejnych trzech liczb, z których najmniejsza jest nieparzysta  3,4,5, ich suma dzielona przez dwa  (3+4+5)/2=6 jest liczbą całkowitą. Zauważ, że dla liczb 4,5,6 ich suma 4+5+6=15 nie dzieli się przez 2!!!). Liczby a, b, c możemy otrzymać jak różnice:

a=(a+b+c)-(b+c),

b=(a+b+c)-(a+c),

c=(a+b+c)-(b+a).

Odejmując od pewnej liczby całkowitej trzy kolejne liczby całkowite, dostajemy różnice, które także są kolejnymi liczbami, co dowodzi, że liczby a, b, c są kolejnymi, w pewnej kolejności,  liczbami całkowitymi.

Zadanie (trudne): dane sa liczby rzeczywiste x, y, z, różne od zera, dla których  x+y+z =0. Wiedząc, że liczby  x/y+y/z+z/x  oraz x/z+z/y+y/x+1 są równe, wyznacz ich wspólną wartość.

Perfect  i  „Niepokonani” https://www.youtube.com/watch?v=3auuPmGm2nA&list=RD1qeMxFRD100&index=3 Życzę Ci pięknego, zdrowego i odważnego dnia, Tata