Piątek, 4.12.20

 Piątek, 4.12.20

Kochana Irenko, co dzieje się na Wenus możesz dowiedzieć się z dwóch ostatnich filmów https://www.youtube.com/watch?v=TBonOq_PyxA&list=PLLsqK861VNKBx_C9FetIlrdDr8VdXlMZX i https://www.youtube.com/watch?v=aUK4pnM3mlQ&t=3s

Pogodnego dnia, Tata

Czwartek, 19.11.20

 Czwartek, 19.11.20

Kochana Irenko, bardzo interesującą dyskusję o sytuacji Kościoła w dzisiejszym świecie możesz usłyszeć w wykładzie prof. Wolniewicza (zmarł niedawno) https://www.youtube.com/watch?v=LYIKmvPwQgY&t=2009s. Po 15:20 Wolniewicz opowiada o 3 rewolucjach w XX wieku: mechanika kwantowa, genetyka i informatyczna. Dodałbym, że dwie ostatnie rewolucje mają głębokie  korzenie w tej pierwszej. Pięknego dnia, Tata

Wtorek, 17.11.20

 Kochana Irenko, polecam Ci serię wypraw do świata komórki. Skąd komórka bierze energię? Dowiesz się z https://www.youtube.com/watch?v=LQmTKxI4Wn4

Niedziela, 15.11.20

 Kochana Irenko, co to jest messenger RNA (mRNA) możesz zobaczyć na krótkim filmie https://www.youtube.com/watch?v=gG7uCskUOrA Jeśli film obejrzysz ze 3 razy, zrozumiesz, jak komórka wytwarza mRNA (rodzaj kodu komputerowego) i jak, na jego podstawie, wytwarzane jest białko.

O próbach opracowania szczepionki przeczytasz na stronie

https://www.onet.pl/sport/onetsport/firma-wlasciciela-tsg-hoffenheim-bliska-wynalezienia-szczepionki/w6l1nb1,d87b6cc4

Hopp może pierwszy wyprodukować szczepionkę przeciw koronie. W lutym było głośno o nim i o jego firmie CureVac.

Hopp chce podawać w "szczepionce" do komórek czyste mRNA. Wtedy maszyneria komórkowa wyprodukuje takie białko, jakiego sobie życzy. To technologia XXI wieku

Sobota, 26.9.20

 Sobota, 26.9.20

Kochana Irenko, okazało się, że Arystoteles się mylił. Z jego teorii wynikało, że poruszające się ciało, na które nie działa żadna siła, z czasem zwalnia i zatrzymuje się. Jednak na podstawie przeprowadzonych eksperymentow Galileusz dowiódł, że eliminując siły hamujące związane z  tarciem, ciało wprowadzone raz w ruch, mogłoby poruszać się nieskończenie długo ze stałą prędkością. Ponieważ na Ziemię i Księżyc nie działają siły tarcia, dawno temu wprawione w ruch, będą poruszać się nieskończenie długo.

Spostrzeżenia Galileusza rozwinął angielski fizyk Izaak Newton formułując trzy proste zasady dynamiki.

Zanim przejdziemy do zasad dynamiki Newtona, warto opowiedzieć o kolejnym gigancie matematyki i filozofii, Kartezjuszu.

Rozwiązanie zadania:  szachownica o wymiarach 15x15 ma pole 225 i pokrycie jej (bez zachodzenia płytek na siebie) płytkami o bokach 2 i 3 prowadzi do prostego równania:

225=i*4+j*9, gdzie i i j to odpowiednio ilość płytek o boku 2 i 3.

W zadaniu pytają, dla jakiej najmniejszej liczby j można pokryć szachownicę płytkami bez zachodzenia płytek na siebie. Na początku zastanówmy się, dla jakich j zachodzi powyższa równość.  

Jeżeli j jest liczbą parzystą, to  225-j*9,  jako różnica liczby nieparzystej i parzystej, nie dzieli się przez 4. Dla j=1 wyrażenie 225-j*9 dzieli się  przez 4. Podobnie dla kolejnych liczb większych od 1 o wielokrotność 4, czyli dla j=1+4=5 i dla  j=1+8=9. Natomiast dla  j=3 liczba 225-3*9=198 nie dzieli się przez 4. Podobnie dla j=7.

Zauważ, że jeśli obrzeże szachownicy przy dwóch  sąsiadujących bokach szachownicy wyłożymy 9 płytkami o rozmiarach 3x3, pozostanie do wyłożenia kwadrat o boku 15-3=12, który można wyłożyć płytkami o boku 2. Pozostaje wykazać, że dla ilości płytek 3x3  j =1 i j=5  jest to niemożliwe.

Jeśli położymy tylko jedną płytkę  3x3, wówczas pewien rząd lub pewn kolumna, mające długość 15 nie będzie można zapełmić, bez przykrywania, płytkami o długości 2.

Jeśli położymy 5 płytek 3x3, to mogą dwie z nich być w jednym wierszu lub jednej kolumnie. Wówczas jedna kolumna lub jeden wiersz o szerokości 2 pozostaje do wyłożenia płytkami 2x2, co jest niemożliwe. Pozostaje zbadać, kiedy 5 płytek leży na jednej z dwóch diagonali. Wówczas nie można pozostałej powierzchni wyłożyć płytakmi 2x2, co kończy dowód, że 9 jest najmniejszą liczbą płytek 3x3.

Zadanie: dane są dodatnie liczby całkowite n i k. Na przyjęciu spotkało się n gości, spośród których niektórzy się znają. Okazało się, że każdy gość zna co najwyżej 2k innych gości, ale każdych dwóch nieznających się gości ma co najmniej k wspólnych znajomych na przyjęciu. Udowodnić, że n<=6*k. Uwaga: Jeśli gość A zna gościa B, to gość B zna gościa A.

„Jednego serca” https://www.youtube.com/watch?v=IJmg5_ROsJE Pięknej, jesiennej soboty, Tata

Wtorek, 22.9.20

 Wtorek, 22.9.20

Kochana Irenko, czy zastanawiałaś się, co porusza Księżyc, że wciąż, od kilku miliardów lat, krąży wokół Ziemi. Co porusza Ziemię, że wciąż krąży wokół Słońca? Popatrz na  kamień toczący się z wysokiej góry - zatrzyma się u jej podnóża.

Te pytania postawiano w Starożytności.  Jak na nie odpowiedział Arystoteles (384-322 p.n.e.)?

Wg Arystotelesa „Wszystkie ruchy potrzebują przyczyny. Jeśli przyczyna ruchu ustanie, ustanie ruch”. Skoro Księżyc wciąż obiega Ziemię, to wg Arystotelesa coś wciąż go porusza.

Co?

Rozwiązanie zadania:  jeśli a, b są liczbami rzeczywistymi i dla każdego x, y zachodzi nierówność 

(ax + by)(ay + bx)<= x^2 + y^2, to zachodzi ona także dla x=y. Wówczas mamy

x*x*(a+b)<=2*x^2 lub (a+b)^2<=2.

Nierówność ta zachodzi także dla y=-x i podobnie otrzymujemy nierówność

(a-b)^2<=2. Dodając dwie ostanie nierówności stronami dostaję 2*a*a+2*b*b<=4 lub 

a^2 + b^2 <=2, co było do okazania.

Zadanie: szachownicę o wymiarach 15×15 przykryto przy pomocy płytek o wymiarach 2×2 i 3×3 w taki sposób, że płytki nie wystają poza szachownicę i nie nachodzą na siebie oraz każde pole szachownicy jest przykryte. Wyznaczyć najmniejszą liczbę użytych płytek 3×3, dla której jest to możliwe.

„Wspomnienie” https://www.youtube.com/watch?v=gYJix_D1qjM” Pięknego jesiennego  dnia, Tata

Czwartek, 17.9.20

 Czwartek, 17.9.20

Kochana Irenko, na czym polega misja Gaia https://www.youtube.com/watch?v=4d-tzG7aX5c&t=248s. Co można wywnioskować z położenia miliarda gwiazd naszej galaktyki.

Rozwiązanie zadania:  wiadomo, że iloczyn, suma, różnica i iloraz dwóch liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Z założenia zadania

1) a*a+b*b,

2) a*a*a,

3) b*b*b,

są wymierne.Należy pokazać, że a i b są wymierne.

Z powyższego wynika, że liczbą wymierną jest sześcian pierwszego wyrażenia:  (a*a+b*b)^3=(a*a*a)^2+(b*b*b)^2+3*(a*a)*(b*b*b*b)+3*(b*b)*(a*a*a*a). Ale kwadraty drugiego i trzecieg wyrażenia (a*a*a)^2, (b*b*b)^2 sąliczbami wymiernymi. Stąd wnioskujemy, że wyrażenie

3*(a*a)*(b*b*b*b)+3*(b*b)*(a*a*a*a)=3*(a*b)^2*(a*a+b*b*) jest liczbą wymierną. Skoro a*a+b*b jest liczba wymierną, to (a*b)^2 jest liczbą wymierną.

Zauważ, że iloczyn drugiego i trzeciego wyrażenia a*a*a*b*b*b=(a*b)^3=(a*b)^2*(a*b) jest liczbą wymierną. Ponieważ, (a*b)^3 jest liczbą wymierną, ponadto (a*b)^2 jest liczbą wymierną, to a*b=(a*b)^3/(a*b)^2  jest liczbą wymierną.

Zbadajmy kwadraty sumy a+b  i różnicy a-b.

(a+b)^2=a*a+b*b+2*a*b jako suma liczb wymiernych, to (a+b)^2 jest liczbą wymierną.

Podnosząc a+b to 3 potęgi

(a+b)^3=a^3+b^3+3*a*b*(a+b) możemy wyrażenie przekształcić do postaci

(a+b)*[(a+b)^2-3*a*b]=a^3+b^3, skąd wynika, że a+b jest wymierne.

Podobnie można wykazać, że a-b jest wymierna. Ale suma wyrażeń a+b+a-b=2*b jest wymierna, co dowodzi, że liczba b jest wymierna. Podobnie można pokazać, ża a jest wymierna, co kończy dowód.

Zadanie: niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Załóżmy, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność (ax + by)(ay + bx)<= x^2 + y^2. Udowodnić, że a^2 + b^2 <=2.

„Dziwny jest ten świat” https://www.youtube.com/watch?v=wTjLZwpmufw  Pięknego dnia, Tata

Środa, 9.09.20

 Środa, 9.09.20

Kochana Irenko, czy pamiętasz jaki był stan wiedzy o kosmosie 100 lat temu? Czy wiedziano, że istnieją inne galaktyki poza naszą? https://www.youtube.com/watch?v=HHOEFhrsmVc&t=1201s

Rozwiązanie zadania:  zauważ, że na mocy warunków zadania  (a+1)*(b+1)=a*b+(a+b)+1=a*b+c*d+1, gdzie skorzystałem z założenia, że a+b=c*d . Podobnie rozumując zachodzi (c+1)*(d+1)=c*d+c+d+1=c*d+a*b+1. Mnożąc stronami dwie powyższe równości zachodzi nierówność (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)= (c*d+a*b+1)*(c*d+a*b+1) >=­ 0, gdyż kwadrat liczby rzeczywistej jest większy lub równy zeru, co było do okazania.

Zadanie: Udowodnij, że jeśli  a*a+b*b, a*a*a i b*b*b są wymierne, to a i b są wymierne.

Pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 7.09.20

 Poniedziałek, 7.09.20

Kochana Irenko, po przerwie wakacyjnej wracamy do rozważań, ale  już licealnych.

Rozwiązanie zadania:  liczba będąca sumą dodatnich liczb całkowitych a+b+c musi być wieksza od 2, zatem będąc liczbą pierwszą jest nieparzysta. Aby tak było, trzy liczby a, b, c muszą być nieparzyste lub dwie parzyste i jedna nieparzysta. Jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma (np. a+b) jest większa od 2, a parzysta liczba pierwsza większa od 2  nie istnieje. Wynika stąd, że liczby a, b, c muszą być nieparzyste. Ale sumy dwóch liczb nieparzystych są liczbą parzystą. Jedyną liczbą pierwszą, parzystą jest 2. Zatem istnieje tylko jedno rozwiązanie wśród liczb całkowitych dodatnich: a=1, b=1, c=1.

Zadanie: Liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają równości a+b = cd oraz c+d = ab. Wykaż, że 

(a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)(d+ 1) >=­ 0.

SP zakończyliśmy „Jednego serca” Czesława Niemena, to LO też warto zacząć podobnie https://www.youtube.com/watch?v=Fq7Zo3guNJs&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=7  Pięknego i odważnego licealnego dnia, Tata

Niedziela, 28.6.20

Niedziela, 28.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-28

Rozwiązanie zadania:  metoda wektorów jest bardzo silnym narzędziem w geometrii. Metodę tę krótko przedyskutuję.

Wektorem nazywamy kilka liczb, w zależności od wymiaru przestrzeni. Na płaszczyźnie jest to para liczb rzeczywistych (ax, ay), w przestrzeni trójka liczb rzeczywistych (ax, ay, az).

Wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste w ten sposób, że mnożymy każdą składową wektora.

Wektory można dodawać, dodając każdą składową. Np.

(ax, ay)+(bx, by)=(ax+bx, ay+by). Analogicznie można je odejmować.

Wektory można mnożyć przez siebie. Np. dwa wektory a=(ax,ay) i  b=(bx, by),  

a*b=(ax, ay)*(bx, by)=ax*bx+ay*by. Iloczyn skalrany wektorów prostopadłych jest równy zero. Np. a=(1,0) i b=(0,1) ich iloczyn a*b=1*0+0*1=0

Rozważę wektory na płaszczyźnie. Przez O oznaczę środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC. Wówczas każdy wierzchołek można oznaczyć wektorami a, b, c, których początki leżą w punkcie O, końce odpowiednio w punktach A, B, C. Zauważ, że dla trójkąta równobocznego zachodzi

a+b+c=(0,0). Oznaczę przez d wektor o początku w punkcie o O i końcu P. Punkt M jako środek odcinka AC ma koniec, rerprezentowany przez wektor

(a+c)/2.

Wektor PM=(a+c)/2-d. Wektor OQ=(a+c)/2+PM=a+c-d.

Wektor PB=b-d. Pomnożę skalarnie dwa wektory

OQ*PB=(a+c-d)*(b-d)=-(a+c)*d+(a+c)*b-d*b+d*d=-(a+b+c)*d-b*b+d*d. Ale d*d=1, b*b=1, a+b+c=0, więc OQ*PB=0. Wniosek: wektory te są prostopadłe.

Zauważ, że PB jest wysokością w trójkącie PQB, zaś OQ łączy środek O z wierzchołkiem Q. Ponadto OQ+d+b=a+c-d+d+b=0. Oznacza to, że O jest środkiem ciężkości trójkąta PQB oraz prosta prostopadła do podstawy przechodzi przez środek ciężkości. Stąd wniosek, że trójkąt PQB jest trójkątem równoramiennym PQ=QB. 

Zadanie: wyznacz wszystkie takie trójki (a, b, c) dodatnich liczb całkowitych, że każda z liczb a+b, b+c, c+a oraz a+b+c jest pierwsza.

Psalm 89 https://www.youtube.com/watch?v=l3ey7QwYE6k&feature=emb_logo  Pięknej i odważnej niedzieli, Tata

Wtorek, 23.6.20

Wtorek, 23.6.20

Kochana Irenko, jako dobre ćwiczenie w niemieckim proponuję Ci przeczytać kilka razy artykuł https://www.hna.de/netzwelt/multimedia/goettingen-zweite-erde-planet-lebensbedingungen-forscher-zr-13802884.html?fbclid=IwAR3egwLWTJ6z9oariZcCy2eMHiZ96pxTVETOLZyJLkqxhHbAXgyCAFZDkC0

Satelitę Kepler wysłano w 2009 roku do obserwacji jasności ok. 100 000 gwiazd naszej galaktyki. Jeśli na linii gwiazda-Ziemia przechodzi planeta okrążająca tę gwiazdę, jasność gwiazdy wzrasta. Zaraz, zaraz powiesz, jeśli Księżyc przysłania Słońce, to jest zaćmienie i jasność Słońca drastycznie maleje. To prawda, ale jeśli zaćmienie oglądalibyśmy z olbrzymiej odległości, to Księżyc działa jak soczewka i obserwujemy efekt odwrotny, Słońce jest jaśniejsze. Satelita ten odkrył kilka tysięcy planet, w większości podobnych do Jowisza https://pl.wikipedia.org/wiki/Kosmiczny_Teleskop_Keplera Bardzo lubiłaś opowieści o odkryciach Keplerzyny, jak nazywałaś teleskop. Satelita zbierał dane do 2018 roku. To właśnie z analizy archiwalnych danych Keplera odkryto planetę, o której napisali w powyższym artykule. Pewne kolory światła gwiazdy przechodzące przez atmosferę planety są pochłaniane. Stąd wiadomo, z czego zbudowana jest atmosfera drugiej Ziemi.

Rozwiązanie zadania:  taki wielościan istnieje, choć nie jest prosto podać przykład. Przykładem może być sześcian, w którym każde naroże, prócz dwóch będących końcami najdłuższej przekątnej, zostało nieznacznie ścięte, a w miejscu ścięcia powstał trójkąt. Wówczas każdy kwadrat zostaje zamieniony na 7-kąt i każda krawędź należy do siedmiokąta.

Zadanie (trudne): Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Punkt P leży na krótszym łuku AB okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt M jest środkiem odcinka AC. Punkt Q jest symetryczny do punktu P względem punktu M. Wykaż, że BQ = PQ.

„Jednego serca” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=Fq7Zo3guNJs&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=7  Pięknego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 21.6.20

Niedziela, 21.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-21

Rozwiązanie zadania:  objętość 32 klocków wynosi 32x2x3x3=64x9 i jest taka sama, jak prostopadłościanu o wymiarach  8x8x9=64x9.

Rozpatrzę możliwości zbudowania boku o długości 8 i 9 z odcinków  o rozmiarach  2 i 3 (boków małych prostopadłościanów):

8=3+3+2=2+2+2+2,

9=3+3+3=2+2+2+3.

Z powyższego wynika, że w jednym rzędzie muszą być  3 lub 4 klocki.

Powstaje pytanie,

- czy 32 klocki można ustawić w rzędy po 3 lub  4 klocki?

Liczby 32 nie można zapisać w postaci iloczynu złożonego z 3, gdyż 32 nie  dzieli się przez 3. Także nie można zapisać jako iloczynu tylko 4, gdyż 4*4*4=64.

Rozumowanie powyższe  pokazuje, że nie można z 32 klocków ułożyć prostopadłościanu o bokach 8x8x9.

Zadanie (trudne): Czy istnieje taki wielościan wypukły, w którym każda krawędź jest bokiem pewnej ściany siedmiokątnej tego wielościanu? Odpowiedź uzasadnij.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=QWu9vXhfMYk&feature=emb_logo Pogodnej niedzieli, Tata

Piątek, 19.6.20

Piątek, 19.6.20

Kochana Irenko, jak wygląda centrum naszej Galaktyki https://www.youtube.com/watch?v=4CUT20iRGQI

Rozwiązanie zadania:  jeśli m+n*n dzieli się  przez m+n, to przez m+n dzielą się także kombinacje tych dwóch wyrażeń, np. ich rożnica (m+n*n)-(m+n)=n*(n-1) też dzieli się przez m+n. Rozważę wyrażenie dzielące się przez m+n:

(m+n)*n*(n-1)+(m+n*n)=m*n*(n-1)+n*n*n-n*n+m+n*n=

=[m*n*(n-1)]+[m+n*n*n].

Ponieważ całe wyrażenie (m+n)*n*(n-1)+(m+n*n), jako kombinacja m+n*n i m+n,  dzieli się przez m+n, wyrażenie n*(n-1) dzieli się przez m+n, więc m+n*n*n także dzieli się przez m+n, co było do okazania.

Zadanie (trudne): Czy z 32 prostopadłościennych klocków o wymiarach 2×3×3 można ułożyć prostopadłościan o wymiarach 8×8×9? Odpowiedź uzasadnij.

„Stoję w oknie” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=En8BRs7NI9I&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=6  Pięknego i odważnego dnia, Tata

Wtorek, 16.6.20

Wtorek, 16.6.20

Kochana Irenko, czym jest czaso-przestrzeń? Dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=DmcIjwb5ues

Rozwiązanie zadania:  jeśli a, b, c, są dodatnimi liczbami, nie większymi od 2, to dla każdej z nich zachodzi

1/a>=1/2 (dlaczego?), lub dla dwóch liczb

1/a+1/b>=1, a po sprowadzeniu do wspólnego mianownika (a+b)/(a*b)>=1 lub a+b>=a*b (dlaczego?).

Podobnie 1/a+1/b+1/c>=3/2. Po sprowadzeniu ostatniej nierówności do wspólnego mianownika

(a*b+b*c+c*a)/(a*b*c)>=3/2 lub

(a*b+b*c+c*a) >=3/2*(a*b*c).

Za każdy iloczyn np. a*b podstawimy jego sumę a+b czyli

2*(a+b+c)>=a*b+b*c+c*a>=3/2*a*b*c.  Ostatnia nierówność ma postać

a+b+c>=3/4*a*b*c

Wiadomo też, że 8>=a*b*c lub

2>=1/4*a*b*c. Dodając stronami dwie ostatnie nierówności mamy

a+b+c+2>=a*b*c, co było do okazania.

Zadanie (trudne): Dane są takie dodatnie liczby całkowite m i n, że liczba m+n*n jest podzielna przez m+n. Wykaż, że liczba m+n*n*n jest podzielna przez m+n.

„Czas jak rzeka” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=9HdR6d2KO4o&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=5 Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 14.6.20

Niedziela, 14.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-14

Rozwiązanie zadania:  równanie (a+b+c)(a+b−c)=c*c można przepisać w postaci

(a+b)^2-c*c=c*c lub

(a+b)^2=2*c*c. Wyciagając pierwiastek z obu stron równania, dostajemy dwa rozwiazania

a+b=sqrt(2)*c lub

a+b=-sqrt(2)*c.

Ponieważ prawa strona jest mnożona przez sqrt(2), liczbę niewymierną, to żadne z równań nie może być spełnione w zbiorze liczb wymiernych dla a+b i c różnych od zera. Jedynym rozwiązaniem jest a+b=c=0, co było do okazania.

Zadanie (trudne): dodatnie liczby a, b, c są nie większe od 2. Udowodnij, że a+b+c+2>=­ abc.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=rLY2ZRUGHhw&feature=emb_logo. Bardzo mocno Cię kocham i dużo, dużo odwagi na niedzielę Ci życzę, Tata

Poniedziałek, 8.6.20

Poniedziałek, 8.6.20

Kochana Irenko, o  przyszłości Chrześcijaństwa polecam Ci bardzo ciekawy wykład (po 11 minucie) zmarłego niedawno prof. Wolniewicza https://www.youtube.com/watch?v=LYIKmvPwQgY.

Rozwiązanie zadania: w trapezie ABCD, o podstawach AB i CD umieszczę dwa punkty E i F w środkach boków AD i BC, odpowiednio. Ponieważ przekątne przecinają się pod katem prostym w punkcie P, to dla trójkąta EFP zachodzi nierówność

EP+PF>EF. Zauważ, że w trójkąctach prostokątnych ADP i BCP zachodzi:

EP=AB/2 i PF=CD/2, zaś AB+CD=1/2*AF.

Podstawiając

AB+CD>AB+CD, co należało okazać. 

Zadanie: Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie (a+b+c)(a+b−c)=c*c. Wykaż, że a+b=c=0.

„Głosy Syren” i Alma Deutscher  https://www.youtube.com/watch?v=W0xMpLXQNvM Bardzo mocno Cię kocham i dużo, dużo odwagi Ci życzę, Tata

Niedziela, 7.6.20

Niedziela, 7.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-07

Rozwiązanie zadania: jeśli a+b dzieli się przez d, to (a+b)*(a+b) dzieli się przez d*d. Stąd wynika, że

(a+b)*(a+b)-4*a*b=(a-b)*(a-b) też dzieli się przez d*d. Stąd wynika, że a-b i a+b dzielą się przez d, co dowodzi, że a i b, każde z osobna dzieli się przez d.

Zadanie: wykaż, że jeżeli przekątne pewnego trapezu są prostopadłe, to suma długości podstaw tego trapezu jest nie większa od sumy długości ramion tego trapezu.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=Ef9y98GLJ8M&feature=emb_logo . Bardyo mocno Cię kocham i odwagi życzę, Tata

Piątek, 5.6.20

Piątek, 5.6.20

Kochana Irenko, z artykułu Karla Zimmera dowiedziałaś się, że wiroidy mogą zawierać ok 400 zasad RNA. Spakowanie mają rozmiar kilku nm. Mogą stanowić pozostałość sprzed co najmniej 3 miliardów lat, kiedy to elektrony uczyły się bawić w wielkie, stadne zabawy dające początek życiu. 

Rozwiązanie zadania: iloczyn dwóch liczb typu sqrt(2)+1 lub sqrt(2)−1 jest równy

(sqrt(2)+1)^2=3+2*sqrt(2),

(sqrt(2)-1)^2=3-2*sqrt(2) lub

(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)=1.

Zauważ, że iloczynów pierwszego typu musi być tyle samo co drugiego typu, gdyż w sumie S

S=x1*x2 +x2*x3 +x3*x4 +...+x98*x99 +x99*x1=199  nie występuje sqrt(2), czyli muszą się wyzerować. Wyrażeń do zsumowania jest 99. Muszą zachodzić dwa równania na ilość N wyrażeń typu 1 i 2, oraz L ilość wyrażeń typu trzeciego

2*N+L=99,

2*N*3+L=199.

Po odjęciu stronami wynika, że

4*N=100, stąd N=25. Oznacza to, że w sumie S wyrażeń pierwszego i drugiego typu jest po 25, zaś 3 typu jest 49.

Czy istnieje ciąg  x1,x2,…,x99, którego iloczyny sąsiednich wyrazów oraz iloczyn pierwszego z ostatnim, spełniałyby powyższy warunek?

Oznaczę przez + wyraz ciągu typu sqrt(2)+1 i założę, że jest tych wyrazów Np, przez – wyraz ciągu typu sqrt(2)-1 i podobnie założę, że jest ich Nm. Zachodzi Np+Nm=99 i jedna z tych liczb jest parzysta, druga nieparzysta.

Z drugiej strony jeśli istnieje 25 iloczynów pierwszego typu, to w każdym iloczynie występują po dwie liczby z ciągu typu + i po jednej w iloczynie trzeciego typu, czyli razem Np=(2*25+49)/2=99/2. Dzielimy przez 2, gdyż każdy wyraz ciągu występuje w dwóch iloczynach. Ale liczba Np nie jest liczbą całkowitą. Dowodzi to, że doszliśmy do sprzeczności i ciąg, o który pytają w zadaniu, nie istnieje.

Zadanie (trudne): dane są dodatnie liczby całkowite a, b, d. Wiadomo, że liczba a+b jest podzielna przez d, a liczba a·b jest podzielna przez d*d. Udowodnij, że każda z liczb a i b jest podzielna przez d.

„Dziwny jest ten świat” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=wTjLZwpmufw&list=RDmkI_gpdrpfw&index=21 Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Środa, 3.6.20

Środa, 3.6.20

Kochana Irenko, w 1914 roku Karl Zimmer napisał prosty i bardzo ciekawy artykuł o wiroidach atakujących między innymi ziemniaki https://www.nytimes.com/2014/09/25/science/a-tiny-emissary-from-the-ancient-past.html. Jak duży był wiroid w porównaniu z wirusem? Czy wiroidy mogą być cząsteczkami-reliktami  z czasów powstawania życia na Ziemi?

Rozwiązanie zadania: suma kątów wewnętrznych w wierzchołku wielościanu wypukłego jest mniejsza od 360 stopni (nie może być równa 360 stopni – dlaczego?). Jeśli każdy kąt wewnętrzny jego ściany jest większy lub równy od 90 stopni, to w każdym wierzchołku wielościanu zbiegają się dokładnie 3 krawędzie (2 nie mogą – dlaczego?). Oznaczę przez N ilość wierzchołków wielościanu. Wtedy ilość krawędzi wynosi 3*N/2=100 lub 3*N=200. Widzisz, że nie istnieje takie N, gdyż 200 nie dzieli się przez  3, co dowodzi, że nie istnieje wielościan, o który pytają w zadaniu i kończy dowód.

 Zadanie (trudne): . czy istnieją liczby x1,x2,...,x99, z których każda jest równa sqrt(2)+1 lub sqrt(2)−1 i które spełniają równość x1*x2 +x2*x3 +x3*x4 +...+x98*x99 +x99*x1 = 199? Sqrt(2) to pierwiastek kwadratowy z jedynki, sqrt(2)*sqrt(2)=2. Uzasadnij odpowiedź.

„Pod papugami” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=ePwwMgrPMW8&list=RDmkI_gpdrpfw&index=14 Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Niedziela, 31.5.20

Niedziela, 31.5.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-05-31

Rozwiązanie zadania: uzupełnijmy trójkąt ABC poprzez dodanie trójkąta ACD, identycznego z trójkątem ABC, o wspólnym boku AC tak, że AD jest równoległe do BC, zaś DC równoległe do AB. Podział tak powstałego równoległoboku na 3 równe części prostymi równoległymi do CB i przechodzącymi przez P i Q prowadzi do podziału na 3 jednakowe romby. W środkowym rombie, odcinki PM i QM są połowami przekątnych. Wiadomo, że w rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym, co dowodzi tezy zadania.

Zadanie (trudne):. czy istnieje taki wielościan wypukły, ze każdy kąt wewnętrzny jego każdej ściany jest prosty lub rozwarty i który ma dokładnie 100 krawędzi? Odpowiedź uzasadnij.

Zapraszam Cię na Psalm 104  https://www.youtube.com/watch?v=785-SkucUts&feature=emb_logo Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

Piątek, 29.5.20

Piątek, 29.5.20

Kochana Irenko, czy ludzie wrócą na Księżyc? Dowiesz się z najnowszego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=A7GUtDfhRvA&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=98.

Rozwiązanie zadania: jakie mogą być dwie pierwsze cyfry liczby 3*n? Niech liczba n rozpoczyna się, wg warunków zadania,  tj. od jednej z cyfr k=3, 4, 5, 6, 7, 8 (zero wykluczamy). Wówczas dwie cyfry początkowe liczby 3*n  mogą być równe (iloczyn 3*k + wartość z przeniesienia, równa jednej z możliwości:  0, 1, 2):

dla  k=3 -> 9…, 10…, 11…,

dla k=4 ->  12…, 13…, 14…,

dla k=5 -> 15…, 16…, 17…,

dla k=6 -> 18…, 19…, 20…,

dla k=7 ->  21…, 22…, 23…,

dla k=8 -> 24…, 25…, 26…,

czyli kolejne liczby od 9 do 26! Zobacz, że pierwszą cyfrą liczby 3*n  jest jedna z cyfr  1, 2, 9. Z powyższego widać, że innych możliwości nie ma, co dowodzi tezy zadania.

Zadanie: dany jest trójkąt ABC, w którym AB=3·BC. Punkty P i Q leżą na boku AB i spełniają warunek AP =PQ=QB. Punkt M jest środkiem boku AC. Wykaż, że kąt <)PMQ=90 stopni.

 „Sen końca …” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=3xF5bTPMN70&list=RDmkI_gpdrpfw&index=10 Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Wtorek, 26.5.20

 Wtorek, 26.5.20

Kochana Irenko, czym są wiroidy? To twory znacznie prostsze od wirusa. Zapytasz

- Czy mogą istnieć twory zbudowane tylko z RNA?

-Tak. Istnieją bardzo proste, samoreplikujące się cząsteczki DNA lub RNA.

Za Wiki: „Wiroidy – najmniejsze znane czynniki zakaźne roślin. Składają się z jednej zamkniętej, kolistej nici RNA, zbudowanej z 240–399 zasad.” https://en.wikipedia.org/wiki/Viroid

Rozwiązanie zadania: ilość wszystkich przekątnych w 101 kacie foremnym wynosi

(101-3)*101/2=49*101 (dlaczego?). Niech prosta rozcina 101-kąt foremny na dwie części z ilością wierzchołków N i (101-N), gdzie N zmienia się od 1 do 100. Wówczas wszystkie przekątne możemy podzielić na trzy zbiory:

leżące w N-kącie,

leżące w (101-N)-kącie,

 leżące pomiędzy tymi dwoma wielokątami. Prosta przecina tylko przekątne leżące pomiędzy dwoma wielokątami, których ilość jest równa iloczynowi wierzchołków w tych wielokątach N*(101-N) pomniejszonemu o 2 krawędzie łączące te wielokąty, nie będące przekątnymi, ale bokami 101-kąta (dlaczego?). Zatem ilość przekątnych przcinanych przez prostą wynosi N*(101-N)-2.

Dla N parzystego, iloczyn N*(101-N)  jest liczbą parzysta, a dla N nieparzystego liczba 101-N jest liczbą parzystą. Stąd wynika, że iloczyn ten jest zawsze liczbą parzystą. Wniosek: ilość przekątnych, które przecina prosta jest równa N*(101-N)-2 i  jako różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą, co należało dowieść.

Zadanie (trudne): W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej n nie występuje żadna z cyfr 1, 2, 9. Udowodnij, że w zapisie dziesiętnym liczby 3n występuje co najmniej jedna z cyfr 1, 2, 9.

„Marionetki” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=HyrhZXdJ27c&list=RDmkI_gpdrpfw&index=25 Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Tata