Sobota, 26.9.20

 Sobota, 26.9.20

Kochana Irenko, okazało się, że Arystoteles się mylił. Z jego teorii wynikało, że poruszające się ciało, na które nie działa żadna siła, z czasem zwalnia i zatrzymuje się. Jednak na podstawie przeprowadzonych eksperymentow Galileusz dowiódł, że eliminując siły hamujące związane z  tarciem, ciało wprowadzone raz w ruch, mogłoby poruszać się nieskończenie długo ze stałą prędkością. Ponieważ na Ziemię i Księżyc nie działają siły tarcia, dawno temu wprawione w ruch, będą poruszać się nieskończenie długo.

Spostrzeżenia Galileusza rozwinął angielski fizyk Izaak Newton formułując trzy proste zasady dynamiki.

Zanim przejdziemy do zasad dynamiki Newtona, warto opowiedzieć o kolejnym gigancie matematyki i filozofii, Kartezjuszu.

Rozwiązanie zadania:  szachownica o wymiarach 15x15 ma pole 225 i pokrycie jej (bez zachodzenia płytek na siebie) płytkami o bokach 2 i 3 prowadzi do prostego równania:

225=i*4+j*9, gdzie i i j to odpowiednio ilość płytek o boku 2 i 3.

W zadaniu pytają, dla jakiej najmniejszej liczby j można pokryć szachownicę płytkami bez zachodzenia płytek na siebie. Na początku zastanówmy się, dla jakich j zachodzi powyższa równość.  

Jeżeli j jest liczbą parzystą, to  225-j*9,  jako różnica liczby nieparzystej i parzystej, nie dzieli się przez 4. Dla j=1 wyrażenie 225-j*9 dzieli się  przez 4. Podobnie dla kolejnych liczb większych od 1 o wielokrotność 4, czyli dla j=1+4=5 i dla  j=1+8=9. Natomiast dla  j=3 liczba 225-3*9=198 nie dzieli się przez 4. Podobnie dla j=7.

Zauważ, że jeśli obrzeże szachownicy przy dwóch  sąsiadujących bokach szachownicy wyłożymy 9 płytkami o rozmiarach 3x3, pozostanie do wyłożenia kwadrat o boku 15-3=12, który można wyłożyć płytkami o boku 2. Pozostaje wykazać, że dla ilości płytek 3x3  j =1 i j=5  jest to niemożliwe.

Jeśli położymy tylko jedną płytkę  3x3, wówczas pewien rząd lub pewn kolumna, mające długość 15 nie będzie można zapełmić, bez przykrywania, płytkami o długości 2.

Jeśli położymy 5 płytek 3x3, to mogą dwie z nich być w jednym wierszu lub jednej kolumnie. Wówczas jedna kolumna lub jeden wiersz o szerokości 2 pozostaje do wyłożenia płytkami 2x2, co jest niemożliwe. Pozostaje zbadać, kiedy 5 płytek leży na jednej z dwóch diagonali. Wówczas nie można pozostałej powierzchni wyłożyć płytakmi 2x2, co kończy dowód, że 9 jest najmniejszą liczbą płytek 3x3.

Zadanie: dane są dodatnie liczby całkowite n i k. Na przyjęciu spotkało się n gości, spośród których niektórzy się znają. Okazało się, że każdy gość zna co najwyżej 2k innych gości, ale każdych dwóch nieznających się gości ma co najmniej k wspólnych znajomych na przyjęciu. Udowodnić, że n<=6*k. Uwaga: Jeśli gość A zna gościa B, to gość B zna gościa A.

„Jednego serca” https://www.youtube.com/watch?v=IJmg5_ROsJE Pięknej, jesiennej soboty, Tata