Czwartek, 17.9.20

 Czwartek, 17.9.20

Kochana Irenko, na czym polega misja Gaia https://www.youtube.com/watch?v=4d-tzG7aX5c&t=248s. Co można wywnioskować z położenia miliarda gwiazd naszej galaktyki.

Rozwiązanie zadania:  wiadomo, że iloczyn, suma, różnica i iloraz dwóch liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Z założenia zadania

1) a*a+b*b,

2) a*a*a,

3) b*b*b,

są wymierne.Należy pokazać, że a i b są wymierne.

Z powyższego wynika, że liczbą wymierną jest sześcian pierwszego wyrażenia:  (a*a+b*b)^3=(a*a*a)^2+(b*b*b)^2+3*(a*a)*(b*b*b*b)+3*(b*b)*(a*a*a*a). Ale kwadraty drugiego i trzecieg wyrażenia (a*a*a)^2, (b*b*b)^2 sąliczbami wymiernymi. Stąd wnioskujemy, że wyrażenie

3*(a*a)*(b*b*b*b)+3*(b*b)*(a*a*a*a)=3*(a*b)^2*(a*a+b*b*) jest liczbą wymierną. Skoro a*a+b*b jest liczba wymierną, to (a*b)^2 jest liczbą wymierną.

Zauważ, że iloczyn drugiego i trzeciego wyrażenia a*a*a*b*b*b=(a*b)^3=(a*b)^2*(a*b) jest liczbą wymierną. Ponieważ, (a*b)^3 jest liczbą wymierną, ponadto (a*b)^2 jest liczbą wymierną, to a*b=(a*b)^3/(a*b)^2  jest liczbą wymierną.

Zbadajmy kwadraty sumy a+b  i różnicy a-b.

(a+b)^2=a*a+b*b+2*a*b jako suma liczb wymiernych, to (a+b)^2 jest liczbą wymierną.

Podnosząc a+b to 3 potęgi

(a+b)^3=a^3+b^3+3*a*b*(a+b) możemy wyrażenie przekształcić do postaci

(a+b)*[(a+b)^2-3*a*b]=a^3+b^3, skąd wynika, że a+b jest wymierne.

Podobnie można wykazać, że a-b jest wymierna. Ale suma wyrażeń a+b+a-b=2*b jest wymierna, co dowodzi, że liczba b jest wymierna. Podobnie można pokazać, ża a jest wymierna, co kończy dowód.

Zadanie: niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Załóżmy, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność (ax + by)(ay + bx)<= x^2 + y^2. Udowodnić, że a^2 + b^2 <=2.

„Dziwny jest ten świat” https://www.youtube.com/watch?v=wTjLZwpmufw  Pięknego dnia, Tata