Niedziela, 28.6.20

Niedziela, 28.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-28

Rozwiązanie zadania:  metoda wektorów jest bardzo silnym narzędziem w geometrii. Metodę tę krótko przedyskutuję.

Wektorem nazywamy kilka liczb, w zależności od wymiaru przestrzeni. Na płaszczyźnie jest to para liczb rzeczywistych (ax, ay), w przestrzeni trójka liczb rzeczywistych (ax, ay, az).

Wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste w ten sposób, że mnożymy każdą składową wektora.

Wektory można dodawać, dodając każdą składową. Np.

(ax, ay)+(bx, by)=(ax+bx, ay+by). Analogicznie można je odejmować.

Wektory można mnożyć przez siebie. Np. dwa wektory a=(ax,ay) i  b=(bx, by),  

a*b=(ax, ay)*(bx, by)=ax*bx+ay*by. Iloczyn skalrany wektorów prostopadłych jest równy zero. Np. a=(1,0) i b=(0,1) ich iloczyn a*b=1*0+0*1=0

Rozważę wektory na płaszczyźnie. Przez O oznaczę środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC. Wówczas każdy wierzchołek można oznaczyć wektorami a, b, c, których początki leżą w punkcie O, końce odpowiednio w punktach A, B, C. Zauważ, że dla trójkąta równobocznego zachodzi

a+b+c=(0,0). Oznaczę przez d wektor o początku w punkcie o O i końcu P. Punkt M jako środek odcinka AC ma koniec, rerprezentowany przez wektor

(a+c)/2.

Wektor PM=(a+c)/2-d. Wektor OQ=(a+c)/2+PM=a+c-d.

Wektor PB=b-d. Pomnożę skalarnie dwa wektory

OQ*PB=(a+c-d)*(b-d)=-(a+c)*d+(a+c)*b-d*b+d*d=-(a+b+c)*d-b*b+d*d. Ale d*d=1, b*b=1, a+b+c=0, więc OQ*PB=0. Wniosek: wektory te są prostopadłe.

Zauważ, że PB jest wysokością w trójkącie PQB, zaś OQ łączy środek O z wierzchołkiem Q. Ponadto OQ+d+b=a+c-d+d+b=0. Oznacza to, że O jest środkiem ciężkości trójkąta PQB oraz prosta prostopadła do podstawy przechodzi przez środek ciężkości. Stąd wniosek, że trójkąt PQB jest trójkątem równoramiennym PQ=QB. 

Zadanie: wyznacz wszystkie takie trójki (a, b, c) dodatnich liczb całkowitych, że każda z liczb a+b, b+c, c+a oraz a+b+c jest pierwsza.

Psalm 89 https://www.youtube.com/watch?v=l3ey7QwYE6k&feature=emb_logo  Pięknej i odważnej niedzieli, Tata