Kochana Córeczko,
życzę Ci udanego wyjazdu do Białego. Bardzo dobre miejsce zajęłaś poprzednim
razem, wszystko dobrze było widać i słychać. Jeśli czegoś nie rozumiesz, zadaj
wykładowcy pytanie. Nie zapomnij poprosić o zaliczenie do indeksu. Czuję się
lepiej. Może dzisiaj wybiorę się, po raz pierwszy od 7 tygodni, do lasu na
spacer, chociaż pada deszcz. Życzę Ci pięknej soboty i dużo, dużo zdrowia.
Rozwiązanie:
rozważmy przypadek 8 kratek. Zamalujmy jedną kratkę o numerze 1 (kratki są ponumerowane z
lewa na prawo). Wtedy, gdy druga zamalowana ma numer 3, to trzecia
zamalowana kratka może mieć numer: 5,6,7,8,
czyli 4 możliwości. Jeśli druga zamalowana kratka ma numer 4, to trzecia kratka może mieć numery
6,7,8 czyli 3 możliwości i tak dalej aż do 1 możliwości. Wystąpi zatem suma
1+2+3+(8-4)=(8-4)*(8-3)/2. Dla ogólnego przypadku n kratek, gdy 1 kratka z
lewej strony jest zamalowana musimy wysumować
następujące możliwości 1+2+3+4+…+(n-4)=(n-4)*(n-3)/2 (sprawdź).
Dotychczas rozważaliśmy, ile jest możliwości, gdy pierwsza z lewej strony zamalowana kratka miała numer 1.
Ale równie dobrze może być zamalowana, jako pierwsza z lewej, kratka o numerze
2, 3 itd. Ale zobacz, że wówczas ilość możliwości jest równa ilości zamalowań dla
rzędu kratek o długości n-1, w naszym
przypadku dla 7. Krótko mówiąc, odłączamy kratkę nr 1 i badamy ilość zamalowań skróconego
o jeden rzędu. Zachodzi prosty związek
S(n)=S(n-1)+(n-4)*(n-3)/2.
Zobaczmy jak działa ten schemat. Jest oczywiste, że
dla n=5, S(5)=1. Bowiem dla 5 kratek istnieje tylko jedno rozmieszczenie 3
zamalowanych kratek niestykających się ze sobą.
Zatem S(6)=S(5)+(6-4)*(6-3)/2=1+2*3/2=4. Znając S(6) mogę policzyć S(7)=S(6)+(7-4)*(7-3)/2=4+6=10. Odtworzyliśmy wczorajszy
wynik! Rachunki można kontynuować. Policz S(8) i S(9). Metoda ta nazywa się metodą
indukcji matematycznej i jest bardzo silnym narzędziem.
Zadanie 23,
Beniamin-11: na ile sposobów można
wybrać 4 liczby spośród liczb naturalnych (2,3,5,6,10,15,30) tak, aby każde
dwie z wybranych miały wspólny dzielnik większy od 1?
Po powrocie z Białego
posłuchaj pięknej muzyki organowej Haendla
https://www.youtube.com/watch?v=6lfdFJ3OkbY
HWV-308. Wieczorem napiszę Ci parę słów. Mocno Cię kocham, Tata
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz