Wtorek, 31.07.18

Wtorek, 31.07.18

Kochana Irenko, czy liczby zespolone są rzadkością? Raczej https://www.youtube.com/watch?v=-IJuqR6nz_Q występują powszechnie.

Rozwiązanie: niech podstawą graniastosłupa będzie n-kąt. Jak pamiętasz, n-kąt posiada n*(n-3)/2 przekątnych. Np. kwadrat posiada 2 przekątne. Ponieważ graniastosłup posiada dwie podstawy, więc podstawy posiadają n*(n-3) przekątnych. Każda ściana boczna, będąca prostokątem, posiada 2 przekątne. Razem ściany boczne posiadają n*2 przekątne. Łącznie taki graniastosłup posiada n*(n-3)+2*n przekątnych. Powstaje pytanie, dla jakiego n zachodzi równość

n*(n-3)+2*n=n(n-3+2)=n*(n-1)=56. Łatwo widać, że 8*7=56 i n=8.

Zadanie: każdą z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 mnożymy przez każdą z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ile wynosi suma wszystkich otrzymanych w ten sposób iloczynów?

Wakacyjnie polecam Ci Dance Espagnole https://www.youtube.com/watch?v=jxmkV7vfGVs&list=RDTzw8KIYRbBU&index=21. Pięknego wakacyjnego dnia, Tata

Poniedziałek, 30.07.18

Poniedziałek, 30.07.18

Kochana Irenko, dalszy ciąg historii matematyki liczb zespolonych https://www.youtube.com/watch?v=4MmSZrAlqKc. Czym są powierzchnie Riemanna?

Rozwiązanie: niech obroty firmy w pierwszym roku wynoszą x. W drugim wyniosły 1.2*x. W  trzecim 0.4*1.2*x, a wczwartym 2*0.4*1.2*x=1.2*0.8*x=0.96*x. W  czwartym roku obroty były o 4% mniejsze niż w pierwszym roku.

Zadanie: na wszystkich ścianach graniastosłupa zaznaczono wszystkie przekątne. Łącznie było ich 56. Co jest podstawą tego graniastosłupa? Wskazówka: dwie podstawy granistosłupa tworzą n-kąty.

Wakacyjnie polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=LEq65v7f6mk&index=13&list=RDTzw8KIYRbBU. Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 29.07.18

Niedziela, 29.07.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-07-29. Pomyśl nad fragmentem Psalmu „Oczy wszystkich zwracają się ku Tobie, a Ty ich karmisz we właściwym czasie. Ty otwierasz swą rękę i karmisz do syta wszystko, co żyje.”

Rozwiązanie: oznaczmy przez x ilość deserów z 4 truskawkami. Wówczas deserów z 3 truskawkami było 150-x. Ilość truskawek można ustalić z równania

4*x+(150-x)*3=494. Skąd 4*x-3*x+450=494. Łatwo widać, że x=44.

Zadanie: w drugim  roku działalności obroty pewnej firmy w stosunku do roku poprzedniego wzrosły o 20%, w trzecim roku spadły o 60%, a w czwartym podwoiły się. Czy w czwartym roku obroty były większe czy mniejsze niż w pierwszym? O ile procent?

Wakacyjnie polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=FSE76MqZL-c&list=RDTzw8KIYRbBU&index=8. Pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 28.07.18

Sobota, 28.07.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś wczoraj wieczorem zaćmienie księżyca. Dzwoniłem do Hanki – oglądały z Madzią w Krasnym. Dalszy ciąg historii liczb zespolonych https://www.youtube.com/watch?v=DpUmrKOQhAM. Co odkrył B. Riemann?

Rozwiązanie: liczba 997920 w rozkładzie na czynniki pierwsze ma 11, która nie może być cyfrą (składa się z 2 cyfr) i dlatego nie istnieje liczba naturalna, której iloczyn cyfr wynosi 997920.

Zadanie: 150 uczestników turnieju  zaproszono na podwieczorek. Podano galaretkę z całymi truskawkami. W tym celu kucharka przygotowała 494 truskawki. Do niektórych salaterek włożyła 3 owoce, a do pozostałych 4. Ile było deserów z czterema truskawkami?

Wakacyjnie polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=UhHYQTK5RWo&index=4&list=RDTzw8KIYRbBU. Pięknej i radosnej soboty, Tata.

Piątek, 27.07.18

Piątek, 27.07.18

Kochana Irenko, przyznasz, że matematyka jest piękna. Polecam Ci następny odcinek https://www.youtube.com/watch?v=0hiWbdc8QEk.

Rozwiązanie: połowa drogi składa się z drogi, którą Irenka przespała i dodatkowo jej połowy, czyli z 3 równych części. Każda z części stanowi 1/6 całkowitej drogi. Zatem Irenka przespała 2/6=1/3 całkowitej drogi.

Zadanie: czy istnieje taka liczba naturalna, której iloczyn cyfr jest równy 997920?

Wakacyjnie polecam Ci „Fascination Waltz” https://www.youtube.com/watch?v=NieZpTvtTPw. Pięknego dnia, Tata

Czwartek, 26.07.18

Czwartek, 26.07.18

Kochana Irenko, w następnym, 10 odcinku dalszy https://www.youtube.com/watch?v=pNp8Qf20-sA ciąg  o zbiorze liczb zespolonych.

Rozwiązanie: oznaczając długości boków trójkąta literami a, b, c z warunków zadania mamy dwa równania

a+b+c=18 oraz

a+b=c+6. 

Łatwo widać, że c+6+c=18, skąd c=6. Zatem a+b=12. Pamiętajmy, że w trójkącie dla dowolnych dwóch boków musi zachodzić a+b>c, a+c>b i b+c>a. Pierwszy warunek będzie zawsze spełniony. Możliwe są następujące wartości a i b dla a+b=12:

a=1, b=11,

a=2, b=10,

a=3, b=9,

a=4, b=8,

a=5, b=7,

a=6, b=6.

Ale nierówność a+c>b jest spełniona tylko dla 3 ostatnich możliwości (sprawdź).

Zadanie: Irenka pojechała do Kołobrzegu. Po przejechaniu połowy drogi zasnęła. Spała tak długo, że gdy się obudziła, miała jeszcze do przejechania połowę drogi, którą przespała. Jaką część drogi przespała?

Polecam Ci wakacyjnie  w wykonaniu https://www.youtube.com/watch?v=gF-qs_jxrH0 Katicy Illenyi.  Radosnego dnia, Tata

Środa, 25.07.18

Środa, 25.07.18

Kochana Irenko, w następnym odcinku dalszy ciąg  https://www.youtube.com/watch?v=dLn5H69lS0w&t=32s o zbiorze liczb zespolonych i operacjach możliwych do wykonania.

Rozwiązanie: oznaczmy ilość dziewczynek przez x. Chłopców było 12-x. Ilość możliwych par wynosiła wówczas x*(12-x). Gdy jeden chłopiec opuścił salę, ilość możliwych par wyniosła (11-x)*x i zmniejszyła się o 7. Można to wyrazić prostym równaniem

x*(12-x)-x(11-x)=7 lub 12*x-11*x=7, skąd x=7.

Zadanie: obwód trójkąta wynosi 18 cm. Jaka jest długość każdego z boków, jeżeli są to liczby naturalne i suma dwóch z nich jest o 6 większa od trzeciej?

Polecam Ci wakacyjnie Romance  w wykonaniu https://www.youtube.com/watch?v=8GzH1DGs0w8&list=RDRh-Y2Fq9GiM&index=17 Katicy Illenyi.  Zdrowego i radosnego dnia, Tata

Wtorek, 24.07.18

Wtorek, 24.07.18

Kochana Irenko, w następnym odcinku dalszy ciąg  o liczbach zespolonych https://www.youtube.com/watch?v=iecUL8_OxrU.

Rozwiązanie: oznaczmy nieznana liczbę zespoloną przez a+i*b. Zachodzi

(a+i*b)*(2+3*i)=2*a-3*b+(2*b+3*a)*i=4 (pamiętaj, że i*i=-1). Stąd dostajemy dwa równania

2*a-3*b=4 oraz

2*b+3*a=0. Mnożąc pierwsze równanie przez 2, drugie przez 3 dostaję

4*a-6*b=8,

6*b+9*a=0.

Dodając je  stronami dostaję

13*a=8, lub a=8/13 i b=-3/2*a=-3/2*8/13=-12/13. Odpowiedź: liczbę 2+3*i należy pomnożyć przez 8/13-i*12/13 i w wyniku otrzyma się 4 (sprawdź).

Zadanie: na sylwestrową prywatkę przyszło 12 osób. Kiedy jeden z chłopaków opuścił zabawę przed północą, liczba sposobów doboru tańczących par męsko-damskich zmniejszyła się o 7. Ile dziewcząt było na tej prywatce?

Polecam Ci wakacyjnie Milorda https://www.youtube.com/watch?v=3gRZHK9_3gQ&index=34&list=RDRh-Y2Fq9GiM wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 23.07.18

Poniedziałek, 23.07.18

Kochana Irenko, w następnym odcinku dowiesz się, jaki wyglądają  działania na liczbach zespolonych https://www.youtube.com/watch?v=YHvR8siIiD0.

Rozwiązanie: ponieważ wszystkie wysokości są dłuższe od 2, długości wszystkich boków są również dłuższe od 2, gdyż boki, jako przeciwprostokątne pewnych trójkątów prostokątnych, muszą być dłuższe od przyprostokątnych będących wysokością. Zatem pole trójkąta jest większe od  2 ^. 2 = 2. Nie istnieje wiec trójkąt opisany w zadaniu. Jednostka długości [m].

Zadanie: przez jaką liczbę zespoloną należy pomnożyć liczbę 2+3*i, aby otrzymać 4.

Polecam Ci wakacyjnie tańce rumuńskie https://www.youtube.com/watch?v=1kaW-kmaWDw&list=RDRh-Y2Fq9GiM&index=36 wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 22.07.18

Niedziela, 22.07.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-07-22. Zastanów się nad fragmentem Psalmu „Pan jest moim pasterzem, niczego mi nie braknie, pozwala mi leżeć na zielonych pastwiskach. Prowadzi mnie nad wody, gdzie mogę odpocząć, orzeźwia moją duszę”.

Rozwiązanie: liczba n dzieli liczbę 999-3=996=3*2*2*83. Zauważ, że 83 jest liczba pierwszą. Liczba 996 ta rozkłada się jednoznacznie na iloczyn dwóch liczb 2-cyfrowych 996=12*83. Ale 2005=24*83+13 lub 2005=167*12+1. 

Zadanie: czy istnieje trójkąt, którego długości wszystkich wysokości są większe od 2, a jego pole jest mniejsze od 2? Jednostki długości w m.

Polecam Ci wakacyjnie walc sentymentalny  w https://www.youtube.com/watch?v=Au8Le9raNv4&list=RDRh-Y2Fq9GiM&index=29 wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowej i radosnej niedzieli, Tata

Sobota, 21.07.18

Sobota, 21.07.18

Kochana Irenko, kto wpadł na pomysł płaszczyzny zespolonej? https://www.youtube.com/watch?v=z5IG_6_zPDo.

Rozwiązanie: oznaczmy wiek babci przez b, mamy przez m, a Janka przez j. Zachodza 2 równania 

(b-20)=(m-20)*2=2*m-40=b-20, dodając 20 do obus stron równania otrzymujemy

b=2*m-20. Drugie równanie ma postać

b=2*(m-j)=2*m-2*j. Porównując te dwa równania dostajemy j=10.

Zadanie: Przy dzieleniu liczby 999 przez pewną dwucyfrową liczbę n otrzymano resztę 3. Ile wynosi reszta z dzielenia 2005 przez tę liczbę n?

Polecam Ci wakacyjnie https://www.youtube.com/watch?v=EiEI6AgOi8I&index=29&list=RDRh-Y2Fq9GiMw wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowego  i pogodnego dnia, Tata

 

Piątek, 20.07.18

Piątek, 20.07.18

Kochana Irenko, czy liczby powinny składać się z dwóch części - rzeczywistej i urojonej? https://www.youtube.com/watch?v=65wYmy8Pf-Y.

Rozwiązanie: oznacza to, że szukana liczba dzieli liczbę

100-4=96=2*2*2*2*2*3 oraz

90-18=72=2*2*2*3*3. Widać, że liczbą większą od 18, mającą wspólne podzielniki z liczbami 96 i 72 jest tylko  liczba 2*2*2*3=24

Zadanie:  Janek zapytany o wiek odparł: dwadzieścia lat temu moja babcia była dwa razy starsza od mojej mamy, a dziś moja babcia ma dwa razy tyle lat, ile miała moja mama w dniu, gdy się urodziłem. Ile lat ma Janek?

Polecam Ci wakacyjnie https://www.youtube.com/watch?v=sh4EQFVAE04&list=RDRh-Y2Fq9GiM&index=28 w wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowego  i pogodnego dnia, Tata

Czwartek, 19.07.18

Czwartek, 19.07.18

Kochana Irenko,  o rozwiązaniach równania 3-go stopnia przez Bombelliego dowiesz się  z https://www.youtube.com/watch?v=DThAoT3q2V4.

Rozwiązanie: zrób rysunek. Otrzymasz figurę podobną do domu z trójkątnym dachem: na kwadracie ABDE umieszczono trójkąt równoboczny ABC o wspólnym boku AB. W poprzednim zadaniu ustaliliśmy, że kąt DCB wynosi 15 stopni. Podobnie kąt ECA ma 15 stopni. Zatem szukany w zadaniu kąt ma miarę : 60-15-15=30 stopni.

Zadanie: dzieląc liczbę 100 przez pewną liczbę naturalną, otrzymujemy resztę 4, a dzieląc liczbę 90 przez tę samą liczbę naturalną, otrzymujemy resztę 18. Co to za liczba?

Polecam Ci wakacyjnie galopkę https://www.youtube.com/watch?v=Dcfe-2n8VD0&index=32&list=RDRh-Y2Fq9GiM w wykonaniu Katicy Illenyi.  Zdrowego  i pogodnego dnia, Tata

Środa, 18.07.18

Środa, 18.07.18

Kochana Irenko, w jaki sposób wyznaczyć nieznane x z równania 3-go stopnia x^3+q*x+p=0 zrozumieli Bombelli  i Cardan. Kiedy żyli Cardan i Bombelli  https://www.youtube.com/watch?v=N9QOLrfcKNc&t=15s.

Rozwiązanie: z treści zadania można łatwo wywnioskować, że wiek Tomka jest liczbą parzystą. Spróbujmy zadanie rozwiązać metodą prób. Gdyby Ala miała 20 lat, Tomek musiałby mieć 10, gdyż 20+10=30. Ale 10 lat temu Ala miałaby 10 lat (tyle, co Tomek), ale Tomek miałby wówczas 0 lat. Więc próba nieudana. Spróbujmy:  Ala ma 18 lat, Tomek 12 lat, razem znowu mają 30 lat. 6 lat temu Tomek miał 6 lat, Ala 12  lat, czyli dwa razy więcej od Tomka, dokładnie tak, jak chcą w zadaniu. Czyli trafiliśmy za drugim razem. Pisałem Ci, że metoda prób jest bardzo użyteczną metodą w rękach ucznia. W podobny sposób rozwiązuje się zadania przy pomocy komputera – komputer sprawdza po kolei warunki zadania. Jeśli są spełnione, oznacza, że zadanie rozwiązaliśmy. 

Zadanie: bok AB jest wspólny dla trójkąta równobocznego ABC i kwadratu ABDE. Ile wynosi miara kąta DCE?

Polecam Ci wakacyjnie w „80 dni dookoła świata” https://www.youtube.com/watch?v=Q10L4oA17Vw&index=26&list=RDRh-Y2Fq9GiM w wykonaniu Katicy Illenyi.  Radosnego i pogodnego dnia, Tata

Wtorek, 17.07.18

Wtorek, 17.07.18

Kochana Irenko,  zapraszam Cię wakacyjnie na kolejny odcinek o liczbach zespolonych, dzisiaj o rozwiązywaniu równań typu np. a*x^2+b*x+c=0 i wyższego stopnia. Jakie x spełnia takie równanie dowiesz się z https://www.youtube.com/watch?v=2HrSG0fdxLY.

 Rozwiązanie: oznaczmy przez x liczbę śliwek w koszyku. Piotr wziął

x/2+1= (x+2)/2, Pawel połowę reszty i jedną dodatkowo, czyli

[x-(x/2+1)]/2+1=(2*x-x-2)/4+1=(x-2+4)/4=(x+2)/4, oraz Protazy

(x-[(x+2)/2+(x+2)/4])/2+3=(x-(x+2)*(1/2+1/4))/2+3=(x-3/4(x+2))/2+3=

(x-6)/8+3=(x+18)/8.

Zachodzi zatem

x/2+1+x/4+1/2+x/8+18/8=x. Zatem x(4/8+2/8+1/8)+1+1/2+2+1/2=x. Stąd 7*x/8+4=x, lub 1/8*x=4 i x=32. W koszyku były 32 śliwki.

Zadanie: Ala i Tomek mają razem 30 lat. Gdy Ala miała tyle lat, ile Tomek ma teraz, to była od niego dwa razy starsza. Ile lat mają Ala i Tomek obecnie? Wskazówka: spróbuj rozwiązać zadanie metodą prób.

Polecam Ci wakacyjnie https://www.youtube.com/watch?v=AQMuTKKLAPA&index=9&list=RDRh-Y2Fq9GiM w wykonaniu Katicy Illenyi.  Radosnego i pogodnego dnia, Tata

 

Poniedziałek, 16.07.18

Poniedziałek, 16.07.18

Kochana Irenko,  zapraszam Cie wakacyjnie na serię krótkich filmów o liczbach zespolonych. Co to są za liczby? Dowiesz się z https://www.youtube.com/watch?v=T647CGsuOVU.

Rozwiązanie: poprowadźmy wysokości z wierzchołków przy krótszej podstawie. Utworzą one trójkąty prostokątne, w których jeden kąt ostry jest równy kątowi trapezu przy dłuższej podstawie, a suma dwóch pozostałych jest równa kątowi przy krótszej podstawie.  Oczywiście suma ta jest dłuższa od kąta ostrego. 

Zadanie: ile śliwek jest w koszyku, z którego połowę całej zawartości i jedną śliwkę wziął Piotr, Paweł połowę reszty i jedną śliwkę, a Protazy połowę pozostałych i trzy śliwki, po czym kosz będzie pusty.

Polecam Ci wakacyjnie koncert https://www.youtube.com/watch?v=YT_63UntRJE&t=2s Mozarta.  Radosnego i pięknego dnia, Tata

 

Niedziela, 15.07.18

Niedziela, 15.07.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz w kościele https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-07-15.

Rozwiązanie: 135=5*3*3*3, zatem trzema cyframi  są 3,5 9 i ich suma wynosi 17.

Zadanie: udowodnić, że suma kątów trapezu przy mniejszej podstawie jest większa niż suma kątów przy większej podstawie.

Polecam Ci wakacyjnie 13 Serenadę https://www.youtube.com/watch?v=LBjDdKdq_tQ&t=573s Mozarta. Radosnego, wakacyjnego dnia, Tata

Sobota, 14.07.18

Sobota, 14.07.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś wczorajsze astronarium? Mars to bardzo interesująca planeta.

Rozwiązanie: jeśli liczba ma resztę z dzielenia przez 4 równą {0,1,2,3}, to kwadrat tej liczby daje odpowiednio resztę {0,1,0,1} (sprawdź}. Zatem dla liczb nieparzystych x i y (z resztami 1) lewa strona po podzieleniu przez 4 daje resztę 1+1, zaś prawa dzieli się przez 4. Wyklucza to możliwość nieparzystych x i y (oczywiście dowolna liczba z także nie spełnia równania). Równanie to spełnia np. 6^2+8^2=4*5^2.

Zadanie: w pewnej liczbie trzycyfrowej iloczyn cyfr jest równy 135. Ile jest równa suma cyfr tej liczby?

Polecam Ci wakacyjnie Serenadę KV 320 Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=huA1h3otnVo. Radosnego, wakacyjnego dnia, Tata

 

Piątek, 13.07.18

Piątek, 13.07.18

Kochana Irenko, wakacyjnie popatrz na kolejny odcinek astronarium o Marsie https://www.youtube.com/watch?v=-yytnU5MJ8U.

Rozwiązanie: reszty z dzielenia przez 3 dowolnej liczby mogą być równe {0,1,2}, ale kwadraty tych liczb mają reszty {0,1,1}, gdyż 2*2 daje resztę 1. Ponieważ lewa strona równania dzieli się przez 3, to tylko suma dwóch zer dzieli się przez 3. To powoduje, że prawa strona dzieli się przez 3*3. Aby lewa strona dzieliła się przez 9, zmienna z musi dzielić się przez 3.

Zadanie: wykazać, że równanie x^2 + y^2 = 4*z^2 nie ma rozwiązań w liczbach nieparzystych x, y, z. Podać co najmniej jedno rozwiązanie tego równania w liczbach naturalnych.

Polecam Ci wakacyjnie fragment z opery https://www.youtube.com/watch?v=KSJQ1KKOQr4 Verdiego. Radosnego dnia, Tata

Czwartek, 12.07.18

Czwartek, 12.07.18

Kochana Irenko, posłuchaj fragmentów wykładu Erica Kandela o historii neuro nauk https://www.youtube.com/watch?v=NH9Cc-YyYt8&t=1446s.

Rozwiązanie: należy pokazać, że liczba 1^1988+2^1989+3^1990 dzieli się przez 6, tzn. dzieli się przez 2 i przez 3. Zbadajmy podzielność przez 2. Pierwszy składnik (równy 1) i trzeci składnik są nieparzyste, ale ich  suma jest parzysta. Zatem całe wyrażenie dzieli się przez 2. Zbadam podzielność kolejnych potęg liczby 2 przez 3. Oznaczę przez [a] resztę z dzielenia liczby a przez 3. Zauważ, że [2^1]=2, [2^2]=[4]=1, [2^3]=2, [2^4]=1. Zatem potęgi parzyste dają po podzieleniu przez 3 resztę 1, potęgi nieparzyste resztę 2. Ponieważ 1989 jest liczbą nieparzystą, 2^1989 po podzieleniu przez 3 daje resztę 2. Stąd suma dwóch pierwszych (1+2) składników dzieli się przez 3. Wykazaliśmy, że rozpatrywane wyrażenie dzieli się przez 6.

Zadanie: nie rozwiązując równania  3*z*z=x*x+y*y wykaż, że jeśli liczby całkowite x, y, z spełniają to równanie, to każda z nich jest podzielna przez 3.

Polecam Ci wakacyjnie fragment z opery Nabucco  Verdiego o walce, nadziei i zwycięstwie https://www.youtube.com/watch?v=XttF0vg0MGo. Spójrz na ilość wyświetleń!  Radosnego dnia, Tata

 

Środa, 11.07.18

Środa, 11.07.18

Kochana Irenko, badając wakacyjnie mózg, popatrz w jaki sposób formowana jest pamięćhttps://www.youtube.com/watch?v=4Hm08ksPtMo.

Rozwiązanie: nazwiemy dwie liczby parą dopełniającą, jeśli ich suma wynosi 10. Tymi parami są (1,9), (2,8), (3,7), (4,6). 5  nie posiada pary. Załóżmy, że wybraliśmy po jednej liczbie z każdej pary, czyli 4 liczby. Możemy wybrać piątą liczbę: 5, ale każda następna, czyli szósta, będzie pochodzić z pary, z której liczbę już wybraliśmy. Zatem w każdym zbiorze 6 liczb co najmniej  dwie należą do pary dopełniającej.

Zadanie: wykaż, że  (1^1988+2^1989+3^1990)/(1+2+3) jest liczbą całkowitą. Wskazówka: np. 2^1989 oznacza 2 podniesione do potęgi 1989.

Polecam Ci wakacyjnie „Zmiłuj się Panie” https://www.youtube.com/watch?v=BBeXF_lnj_M  wg J. S. Bacha.   Radosnego dnia, Tata

 

Wtorek, 10.07.18

Wtorek, 10.07.18

Kochana Irenko, zapis informacji w pamięci komputerowej polega na wprowadzeniu adresów oraz przyporządkowaniu adresowi miejsca w kostce. Np. obrazek zapisany w zbiorze obraz.jpg oznacza, że komputer przydzielił określony rejon pamięci i tam zapisał dane. W układach biologicznych ten model odszukiwania informacji nie działa. Możesz w wolnym czasie poszperać w intenecie i ustalić (o ile to zostało zbadane), jak mózg odczytuje zapisane informacje. Kandel opowiada tylko o mechanizmie zapisu, ale o odczycie nie mówi ani słowa. Wykład z soboty https://www.youtube.com/watch?v=jl6GPkGhj4Y.

Rozwiązanie: oznaczmy długości podstaw trapezu przez a i b. Odcinek łączący środki ramion bocznych ma zatem długość (a+b)/2. Po rozcięciu, dwie figury sa trapezami o polach [a+(a+b)/2]/2*(h/2)=3/8*a*h+1/8*b*h=6, oraz 3/8*b*h+1/8*a*h=4. Pola trójkątów powstałych po podzieleniu trapezu przekątną mają powierzchnie: s1=a*h/2 i s2=b*h/2. Zauwaz, że pola trapezow zapisane za pomocą pól trójkątów mają postać

3*s1+s2=24

3*s2+s1=16.

Mnożąc ostatnie równanie przez 3 dostajemy 9*s2+3*s1=48. Odejmując pierwsze równanie dostaję  8*s2=24, lub s2=3 i s1=7. Suma pól jest taka jak dwóch trapezów i wynosi 10.

Zadanie (trudne): jeśli spośród liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9 wybrać dowolnie sześć, to wśród nich znajdą się na pewno co najmniej dwie takie, że ich suma jest równa 10. Wyjaśnij, dlaczego.

Polecam Ci wakacyjnie Ave Maria w wykonaniu Barbary Bonney https://www.youtube.com/watch?v=HMf7bxkXS4I. Mimo, że Barbara Bonny jest Amerykanką, śpiewa idealnie w języku Franza Schuberta.   Radosnego i zdrowego  dnia, Tata

Poniedziałek, 9.07.18

Poniedziałek, 9.07.18

Kochana Irenko, popatrz na  odcinek astrofazy https://www.youtube.com/watch?v=MRPx6fORl0c.

Rozwiązanie: reszty z dzielenia przez 3 są równe {0,1,2}. Jeśli wśród dowolnych 5 liczb są trzy  lub więcej z tą samą resztą, to ich suma jest podzielna przez 3. Załóżmy, że nie ma 3 liczb z tą samą resztą. Wówczas mogą być 2 liczby z resztą r1, dwie liczby z resztą r2 i jedna liczba z resztą r3. W przeciwnym przypadku jedna z reszt wystąpiłaby 3-krotnie.  Ale wówczas można wskazać 3 liczby, których reszty są różne, a ich suma wynosi 0+1+2=3. Czyli suma tych 3 liczb jest podzielna przez 3. Wykazaliśmy, że zawsze można wybrać 3 z 5 dowolnych liczb, których suma dzieli się przez 3.

Zadanie (trudne): odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina ten trapez na dwie figury, z których jedna ma pole 4, a druga 6. Oblicz pola figur, na które rozcina ten sam trapez jego przekątna. Wymiary w cm.

Polecam Ci wakacyjnie El Choclo https://www.youtube.com/watch?v=Tzw8KIYRbBU w wykonaniu Katicy Illenyi i jej siostry.  Radosnego i pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 8.07.18

Niedziela, 8.07.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-07-08. Zastanów się nad Psalmem.

Rozwiązanie: suma ta jest równa

(10+11+… 99)-10*(1+2+  +9)=(10+99)*(10+100)/2-10*10*11/2=109*55-10*55=

=99*55=5445.

Zadanie: wśród dowolnie wybranych pięciu liczb naturalnych zawsze znajdą się takie trzy, których suma jest podzielna przez 3. Dlaczego?

Polecam Ci wakacyjnie Walc https://www.youtube.com/watch?v=WhmAa-UOV-0 w wykonaniu Katicy Illenyi.  Będę u Ciebie ok. 13:00. Radosnej niedzieli, Tata

Sobota, 7.07.18

Sobota, 7.07.18

Kochana Irenko, zapraszam Cię na wakacyjny wykład Erica Kandela o mózgu i pamięci https://www.youtube.com/watch?v=jl6GPkGhj4Y.

Rozwiązanie: długość obwodu okręgu o promieniu R wynosi 2*pi*R, gdzie pi=3.14… Niech promień mniejszego toru wynosi R, dłuższego R+4. Długości obwodów wynoszą

2*pi*R,

2*pi*(R+4)=2*pi*R+2*pi*4. Zatem różnica obwodu wynosi 2*pi*4. Skoro kółko wykonało na tej różnicy obwodów dwa obroty, zatem jeden obrót ma długość pi*4=2*pi*r, gdzie r promień koła wagonika. Zatem jego średnica wynosi 2*r=4. Wymiary w cm.

Zadanie: oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które można zapisać nie używając cyfry 0.

Polecam Ci wakacyjnie https://www.youtube.com/watch?v=Rh-Y2Fq9GiM w wykonaniu Katicy Illenyi.  Radosnego dnia, Tata

Piątek, 6.07.18

Piątek, 6.07.18

Kochana Irenko, czy z biograficznego filmu o Ericu Kandelu zrozumiałaś, w jaki sposób tworzona jest pamięć długotrwała?

Rozwiązanie: oznaczmy długości boków przez a i b. Z prawa Pitagorasa zachodzi równość

a*a+b*b=24, ponadto pole jest równe

a*b=6.

Dodając podwojoną 2*a*b=12 do pierwszego równania

a*a+2*a*b+b*b=(a+b)^2=24+12=36. Stąd a+b=6 i obwód prostokąta wynosi 12.

Zadanie: kolejka toczy się po torach w kształcie okręgu. Rozstaw szyn jest równy 4 cm. Podczas jednego pełnego okrążenia lewe kółko wagonu wykonało o 2 obroty więcej niż prawe. Jaka jest średnica kółek wagonu?

Polecam Ci wakacyjnie 24 kaprys Paganiniego w wykonaniu rodziny Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=qOdw8L2CL_0&list=RDsQqO5YrKiHY&index=17.  Pogodnego dnia, Tata

 

Czwartek, 5.07.18

Czwartek, 5.07.18

Kochana Irenko, polecam Ci bardzo ciekawy film (po niemiecku) o Ericu  Kandelu https://www.youtube.com/watch?v=9HkFmFXNwyE. Jego przodkowie wywodzili się z Galicji.

Rozwiązanie: oznaczę przez  h1, h2, h3 wysokości  opuszczone są na boki a1, a2, a3. Wówczas podwojone pole trójkąta ma wartość 2*S=a1*h1=a2*h2=a3*h3. Niech zachodzi h1<=h2=<h3. Ponieważ iloczyn wysokości i odpowiedniego boku jest stały, więc zachodzi a1>=a2>=a3. Ponadto przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnej, więc zachodzi  a2>h1 oraz a3>h1 (zrób rysunek). Stąd wynika, że a1>=h1, co dowodzi, że każdy bok trójkąta jest dłuższy od najkrótszej wysokości.

Zadanie: pole pewnego prostokąta jest równe 6, a kwadrat jego przekątnej 24. Policz obwód tego prostokąta.

Polecam Ci wakacyjnie muzykę z „Ojca chrzestnego” w wykonaniu     Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=WLZWuQRdGrY&index=13&list=RDsQqO5YrKiHY. Pogodnego dnia, Tata

Środa, 4.07.18

Środa, 4.07.18

Kochana Irenko, popatrz na galaktykę NGC 6744 https://apod.nasa.gov/apod/ap180531.html. Jak daleko jest oddalona, jaką ma średnicę?

Rozwiązanie: niech długość dłuższego kroku wynosi L, krótszego 0.9*L (10% krótszy). Niech czas postawienia kroku przez pierwszego turystę wynosi T, wówczas częstotliwość wynosi 1/T. Częstotliwość drugiego wynosi (1+0.1)/T. Prędkość jest równa częstotliwości pomnożonej przez długość kroku. Jeśli dla pierwszego turysty prędkość wynosi L/T, dla drugiego wynosi 0.9*L*1.1/T=0.99L/T. Turysta stawiający krótsze kroki idzie z prędkością 0.99 prędkości kolegi.

Zadanie: udowodnij, że jeżeli h jest najmniejszą wysokością trójkąta ostrokątnego ABC, to żaden z boków tego trójkąta nie jest krótszy niż h.

Polecam Ci Habanerę  Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=OLfhsVsrLoo&index=11&list=RDsQqO5YrKiHY. Radosnego i pogodnego wakacyjnego dnia, Tata

Wtorek, 3.07.18

Wtorek, 3.07.18

Kochana Irenko, popatrz na księżyc Saturna Enceladus  https://apod.nasa.gov/apod/ap180701.html. Czy wiadomo, dlaczego Enceladus jest aktywny? Na czym polega jego aktywność?

Rozwiązanie: jeśli nie zrobi się błędu, to liczba punktów jaką można dostać (bezpośrednio poniżej i powyżej 40) wynosi, 35,42 (wielokrotności 7). Z jednym błędem 39,46 (wielokrotności 7 minus 3), z dwoma błędami 36,43, z trzema błędami 33,40,47 (sprawdź). Widać, że dopierao przy 3 błędach pojawia się liczba punktów dokładnie równa 40.

Zadanie: po drodze idzie dwóch turystów. Jeden z nich stawia kroki 10% krótsze, ale jednocześnie o 10% częściej od drugiego. Który z nich idzie szybciej i ile razy szybciej?

Polecam Ci wakacyjnie skrzypce  Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=H5WwXtXA56E&list=RDsQqO5YrKiHY&index=8. Radosnego i pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 2.07.18

Poniedziałek, 2.07.18

Kochana Irenko, o prawie kosmicznym dowiesz się z najnowszego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=VhpWEuGTB5U.

Rozwiązanie: niech w trapezie ABCD podstawy AB i CD mają długości a, b. Długość wysokości łączącej środki podstaw niech  wynosi h. Wybierzmy punkt S, leżący na wysokości w taki sposób, że odległość  od podstawy AB wynosi c/a, od podstawy CD c/b, gdzie c pewna stała. Aby ją wyznaczyć, zachodzi

c/a+c/b=h. Stąd c=a*b*h/(a+b). Zatem odległości te mają wartości

od podstawy AB: b*h/(a+b),

od podstawy CD: a*h/(a+b). Zauważ, że pola trójkątów ABS i CDS są równe i wynoszą 0.5*a*b*h/(a+b). Odcinki łączące punkt S z ze środkami boków trapezu dzielą go na 4 części o równych polach, gdyż każda składa się z pola równego połowie trójkąta ABS oraz ADS. Zrób rysunek.

Zadanie: podczas egzaminu testowego za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje 7 punktów, a za błędną odpowiedź traci 3 punkty. Irenka uzyskała 40 punktów. Wykaż, że Irenka popełniła co najmniej 3 błędy.

Polecam Ci wakacyjnie Bolero   w wykonaniu Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=A-XAjbPCDmc&index=7&list=RDsQqO5YrKiHY. Radosnego dnia, Tata

Niedziela, 1.07.18

Niedziela, 1.07.18

Kochana Irenko, w kościele usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-07-01. Zastanów się nad dzisiejszym czytaniem z Księgi Mądrości.

Rozwiązanie: zrób rysunek. Przekątne tworzą z wysokościami trójkąty prostokątne Podstawy tych trójkątów mają długości (z prawa Pitagorasa) sqrt(15*15-12*12)=9, sqrt(20*20-12*12)=16. Suma podstaw tych trójkątów jest równa sumie podstaw trapezu i wynosi 9+16=25. Zatem pole trapezu jest równe 25*12/2=150. Wymiary w cm.

Zadanie (trudne): we wnętrzu trapezu równoramiennego  znaleźć taki punkt, aby odcinki łączące go ze środkami wszystkich boków dzieliły pole trapezu na cztery równe części.

Polecam Ci wakacyjnie Tango   w wykonaniu Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=gqOHNP-RThU&index=6&list=RDsQqO5YrKiHY Radosnej niedzieli, Tata