Kochana Irenko, sonda Cassini w okolicach Saturna https://apod.nasa.gov/apod/ap191229.html
Rozwiązanie zadania: jeśli
wylosujemy 9 lub mniej liczb naturalnych
z resztą z dzielenia przez 10 równą 1, to dowolna suma tych liczb da resztę
mniejszą lub równą 9. Widać stąd, że liczba losowań musi być większa niż 9.
Zbadajmy, czy 10 dowolnie wylosowanych liczb naturalnych wystarczy
do utworzenia sumy kilku liczb takich, że będziemy mieć pewność, że suma ta dzieli
się przez 10. Oznaczmy wylosowane liczby naturalne przez f1, f2, …, f10.
Utwórzmy 10 sum (zwróć uwagę, jak są tworzone)
F1=f1,
F2=f1+f2,
F3=f1+f2+f3,
…,
F10=f1+f2+f3+…+f9+f10.
W ten sposób mamy 10 różnych sum F1, F2,…, F10. Wiemy, że różnych reszt większych
od zera z dzielenia przez 10 jest tylko 9: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Stąd wynika, że co najmniej dwie spośród 10 sum
F1, …F10 mają identyczne reszty z dzielenia przez 10 lub jedna z nich dzieli
się przez 10. Rozważmy przypadek, kiedy żadna z sum nie dzieli się przez 10. Odejmijmy
od siebie te sumy, które mają identyczne reszty. Np. dla sum F8 i F3 takie
odejmowanie F8-F3=f4+f5+f6+f7+f8 daje także sumę wylosowanych liczb, ale od 4 do 8. Czyli odejmując dwie sumy Fj-Fi,
j>i o takich samych resztach z dzielenia przez 10 dostajemy sumę wylosowanych
liczb od numerów i+1 do j włącznie.
Zauważ, że różnica ta dzieli się przez 10 i jednocześnie jest
sumą wylosowanych liczb. Udowodniliśmy, że spośród 10 dowolnie wybranych liczb
naturalnych można zawsze wybrać kilka liczb, których suma dzieli się przez 10.
Jest to najmniejsza liczba losowań posiadająca tę własność.
Zadanie (trudne): Znajdź część całkowitą
(czyli wartość do przecinka) liczby
1/(√1+√ 2)+1/(√2+√ 3)+1/(√3+√4)+…+ 1/(√2019+√2020) .
Zapraszam
Cię na fragment muzyki Tomaso Albinoni https://www.youtube.com/watch?v=u99f9RAvwu4
Ktoś napisał „i'm 116 years old and i wish more people my age would listen to this
type of music”. Wesołego i pięknego szkolnego dnia,
Tata
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz