Niedziela, 1.03.20

Niedziela, 1.03.20

Kochana Irenko, usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-03-01. Czy zgadzasz się ze św. Pawłem, piszącym w liście do Rzymian:

„Bracia: Przez jednego człowieka grzech wszedł do świata, a przez grzech śmierć, i w ten sposób śmierć przeszła na wszystkich ludzi, ponieważ wszyscy zgrzeszyli.”?

Czy wg. św. Pawła, wcześniej śmierć nie istniała?

Rozwiązanie zadania: jeśli wyrażenie k*k-1=(k-1)*(k+1) jest liczbą parzystą, to jedna z liczb k+1 i k-1 jest liczbą parzystą. Ale jeśli jedna z tych liczb jest parzysta, to druga również, gdyż różnica pomiędzy tymi liczbami wynosi 2. Dodatkowo, jedna z tych liczb dzieli się przez 4, gdyż co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4. Wykazaliśmy, że wyrażenie k*k-1 jeśli jest parzyste, to dzieli się przez 2*4=8.

Zadanie: oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi  d.

Zapraszam Cię na Psalm 51 (fragment) https://www.youtube.com/watch?v=yN8oQJAkV7A&feature=emb_logo  Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 29.02.20

Sobota, 29.02.20

Kochana Irenko, w wolnej chwili popatrz, jak działa silnik elektryczny prądu stałego https://pl.wikipedia.org/wiki/Silnik_pr%C4%85du_sta%C5%82ego

Rozwiązanie zadania: jeśli ostatnim wynikiem komputera MANIAC jest k, to poprzednia wartość ma postać x, gdzie  (x-1)/2=k, stąd x=2*k+1. Cofając się, wartość druga od końca ma postać x=2*(2*k+1)+1=2*2*k+2+1. Latwo odgadnąć, że wartość n-ta od końca ma postać

x=2^n*k+2^(n-1)+2^(n-2)+…+2+1=

  =2^n*k+(2^n-1)/(2-1)=2^n*k+2^n-1=

  = 2^n*(k+1)-1. Wykorzystałem wzór omówiony poniżej  

Wiadomości ogólne: 14 stycznia 2020  pokazywałem Ci,  jak  wysumować (powyżej a=2) 11 elementów:

S=1+a+a^2+a^3+a^4+a^5 +…+a^9+a^10.

Pomnożę obie strony przez 1-a. Dostaję

S*(1-a)= (1-a) (1+a+a^2+a^3+a^4+a^5 +…+a^9+a^10)=

           =1+a+a^2+a^3+a^4+a^5 +…+a^9+a^10

                -a -a^2 -a^3 -a^4 -a^5-…-a^9 –a^10-a^11=1-a^11

Zauważ, że wszystkie wyrazy, prócz dwóch, skróciły się i zniknęły.

Stąd S=(1-a^11)/(1-a). Widać, że wyrażenie udało się wysumować i zapisać w zwartej postaci.  Ogólny wzór ma postać (warto go zapamiętać, nie jest trudny):

S=1+a+a^2+…+a^n=(1-a^(n+1))/(1-a). 

Odpowiedź: jeśli po 100-krotnym naciśnięciu x ma wartość k, to na początku x miał wartość x=2^100*(k+1)-1.

Zadanie: Udowodnij, że jeśli dla całkowitego k liczba k*k–1 jest parzysta, to dzieli się przez 8. 

Czerwone Gitary „Stracić kogoś” https://www.youtube.com/watch?v=W7gW9LgiG7w  Życzę Ci pięknej soboty, Tata

Piątek, 28.02.20

Piątek, 28.02.20

Kochana Irenko, z ostatnich rozważań o polu magnetycznym dowiedziałaś się jak:

-- działa elektrownia,

-- transformator,

-- radio i  

-- silnik elektryczny. Były to największe wynalzaki XIX wieku, bez których trudno wyobrazić sobie dzisiaj.

Rozwiązanie zadania: w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa na początku określamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń.

Liczb trzycyfrowych jest 900, od 100 do 999 włącznie. Pierwszą liczbę można wybrać na 900 sposobów, drugą na 899 sposobów. Jednak pary np. (100, 107) i (107, 100) liczymy raz, więc zbiór wszystkich możliwych zdarzeń ma 900*899/2 elementów.

Policzę, jak liczny jest zbiór sprzyjających par:

-- liczb parzysto-parzystych oraz

-- par liczb, jedna podzielna przez 4, druga nieparzysta.

Zbiory te nie mają elementów wspólnych, są rozłączne.

Liczb parzystych jest dokładnie połowa, czyli 450, zatem możliwych par parzysta-parzysta jest 450*449/2. Liczb podzielnych przez 4 jest 900/4=225, a liczb nieparzystych jest 450, więc takich par jest 225*450 – bez dzielenia przez 2 (dlaczego?). Szukane prawdopodobieństwo wynosi

 (450*449+2*225*450)/(900*899)=450/900*(449+450)/899=1/2.

Zadanie: maszynę obliczeniową "MANIAC" zaprogramowano w ten sposób, że po naciśnięciu "Enter" wartość przechowywanej na twardym dysku zmiennej x zmienia się według wzoru

(x–1)/2.

Jaka mogła być początkowa wartość x, jeśli po stukrotnym naciśnięciu "Enter" jest ona liczbą całkowitą?

Czerwone Gitary „Epitafium dla Krzysztofa” https://www.youtube.com/watch?v=at_EZvQXVAE.  Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Twój Tata

Czwartek, 27.02.20

Czwartek, 27.02.20

Kochana Irenko, wiedząc, że stały prąd płynący w szpulce wytwarza pole magnetyczne, Irenka postanowiła zbudować silnik obrotowy. Na znalezionej starej tarczy zegara w miejscu godzin  XII i VI umieściła dwie szpulki, a zamiast wskazówek na osi zamocowała symetrycznie magnes, trochę krótszy niż odległość pomiędzy szpulkami.  Magnes mógł się swobodnie obracać. Kierunek prądu w szpulkach Irenka tak dobrała, że gdy biegun N zbliżał się do XII, szpulka wytwarzała do dołu pole magnetyczne z biegunem S, przyciągające magnes. W szpulce VI wszystko było na odwrót. Kiedy magnes dobiegał biegunem N do XII, następowała zmiana kierunku prądu w obu szpulkach.

- Hurra, wykrzyknęła Irenka.

Silnik działał i kręcił się jak szalony. Prąd Irenka czerpała z kilku starych baterii od zegara. 

Rozwiązanie zadania: strzelając do tarczy zawodnik może uzyskać 0, 1, 2, …, 9, 10, 11 … punktów. Oznaczę przez ZM zbiór wyników mniejszych od 9, zbiór trafień 9 przez Z9, zbiór wyników większych od 9 przez ZW. Przeczytajmy ze zrozumieniem, co napisano w zadaniu.

„Co najmniej 9” oznacza nie mniej niż 9. Jeśli do tarczy strzela duża liczba zawodników, to 50% zawodników uzyskuje zbiór kolejnych wyników postaci np. {9, 9, 10, 9, 11, 9, 15}. Omawiany zbiór można zapisać jako ZW+Z9.

„Co najwyżej 9” oznacza nie więcej niż 9. 60% zawodników uzyskuje zbiór kolejnych wyników, w którym największą  ilością punktów jest 9. Np. kolejnymi wynikami są {1, 9, 2, 9, 7, 9, 1, 5}. Ten zbiór jest sumą zbiorów ZM+Z9.  

Wiadomości ogólne: prawdopodobieństwo P(X) ma następujące własności:

1 >= P(X) >= 0, gdzie X to pewien zbiór zdarzeń,

P(ALL)=1, gdzie ALL to zbiór wszystkich zdarzeń,

P(ZB_PUSTY)=0, ZB_PUSTY to zbiór pusty,

P(A+B)=P(A)+P(B), gdzie A i B są zbiorami rozłącznymi zaś A+B jest ich sumą. 

Widzisz, że suma zbiorów ZM+Z9+ZW=ALL, gdzie ALL, to zbiór wszystkich możliwości. Jeśli P oznacza prawdopodobieństwo przyporządkowane danemu zbiorowi, a zbiory ZM, Z9, ZW są rozłączne, to zachodzą na mocy warunków zadania 3 równania:

P(ZM+Z9+ZW)= P(ZM)+P(Z9)+P(ZW)=1,

P(ZM+Z9)= P(ZM)+P(Z9)=0.6,

P(Z9+ZW)= P(ZW)+P(Z9)=0.5.

Ponieważ zbiory ZM, Z9, ZW są rozłączne, to prawdopodobieństwo sumy zbiorów jest sumą prawdopodobieństw. Stąd łatwo wyznaczyć: P(ZM)=0.5, P(Z9)=0.1, P(ZW)=0.4 (sprawdź).

Z powyższego wynika, że prawdopodobieństwo strzelenia jednej 9 wynosi 0.1, Prawdopodobieństwo strzelenia trzech dziewiątek pod rząd jest iloczynem tych prawdopodobieństw: 0.1*0.1*0.1=0.001.

Zadanie: z worka z liczbami trzycyfrowymi wylosowano dwie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich iloczyn jest podzielny przez 4?

Czerwone Gitary „Historia jednej znajomości” https://www.youtube.com/watch?v=qTVsXvAIV7g .  Życzę Ci pięknego  dnia, Twój Tata

Środa, 26.02.20

Środa, 26.02.20

Kochana Irenko, co wydarzyło się 24 lutego 1987 roku? https://www.youtube.com/watch?v=qado9TSc__w

Rozwiązanie zadania: dwunastościan foremny ma 12 ścian będących pięciokątami. Wierzchołków mogłoby być 12*5=60, ale ponieważ każdy wierzchołek liczony jest 3-krotnie (należy do 3 krawędzi), należy tę liczbę podzielić przez 3, czyli  60/3=20. Każdy wierzchołek należy do 3 ścian, a przekątne do ścian należeć nie mogą. Trzy ściany mają 3*5 wierzchołków, ale należy odjąć 3 wierzchołki liczone podwójnie, i rozważany wierzchołek, liczony potrójnie, czyli 3*5-3*1-1*2=10.  Z 20 wierzchołków możemy poprowadzić przekątne do 10 wierzchołków, ale (znasz to z wcześniejszych zadań) przekątne liczone są podwójnie. Odpowiedź: dwunastościan foremny posiada 20*10/2=100 przekątnych.

Zadanie (trudne): strzelając do tarczy, zawodnik  uzyskuje co najmniej 9 pkt. z prawdopodobieństwem 50%, a najwyżej 9 pkt. z prawdopodobieństwem 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy razy pod rząd trafi dziewiątkę?

Czerwone Gitary,  https://www.youtube.com/watch?v=r7X4AS8bpAY&list=RDay77vuSEYJs&index=3 Krzysztof Klenczon i „Niebieskooka”.  Życzę Ci pięknego dnia, Twój Tata

 

Wtorek, 25.02.20

Wtorek, 25.02.20

Kochana Irenko, rozważmy dwie szpulki z nawiniętym drutem, których osie leżą na jednej prostej. Niech jedna szpulka będzie umocowana, a druga porusza się swobodnie wzdłuż osi.  Wiesz, że jeśli zmienić kierunek prądu w szpulce,  pole magnetyczne zmienia kierunek – biegun północny zamienia się na południowy i na odwrót. Niech na początku w obu szpulkach płynie prąd w tym samym kierunku. Szpulki się przyciągają i chcą się połączyć. Ale kiedy są w niewielkiej odległości, zmieniamy w ruchomej szpulce kierunek prądu – szpulka hamuje, jest odpychana i się oddala. Kiedy jest w pewnej odległości ponownie zmieniamy kierunek  – szpulka jest przyciągana, zawraca i ponownie się przybliża do szpulki nieruchomej. I tak dalej … Widzisz, że ten prosty układ podobny jest do silnika – ruchoma szpulka biega tam i z powrotem, a jej ruch można wykorzystać do wykonania pracy!   

Rozwiązanie zadania: zamieniając  ułamek 1/n na ułamek dziesiętny, wykonyjemy dzielenia przez n, za każdym razem otrzymując resztę mniejszą od n ze zbioru liczb naturalnych [1,n-1]. Różnych reszt z dzielenia przez n może być (bez 0) co najwyżej n-1. Jeśli dostaniemy powtórnie resztę, wcześniej  otrzymaną, oznacza to, że rozpoczyna  się kolejny okres. Odpowiedź:  długość okresu nie może być większa od ilości reszt z dzielenia przez n, a ta wynosi n-1.

Zadanie (trudne): ile przekątnych ma dwunastościan foremny? Wskazówka: dwunastościan foremny ma 12 ścian będących 5-kątami foremnymi. Z każdego wierzchołka wychodzą 3 ściany, jak na rysunku    https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunasto%C5%9Bcian_foremny. Przekątne, to odcinki łączące dwa  wierzchołki dwunastościanu,  ale nienależące do jego ścian.

Czerwone Gitary https://www.youtube.com/watch?v=_SFKb_mrJz8&list=RDay77vuSEYJs&index=9 „Droga, którą idę”.  Życzę Ci pięknego i zdrowego dnia, Twój Tata

Poniedziałek, 24.02.20

Poniedziałek, 24.02.20

Kochana Irenko, od ponad tygodnia zastanawiamy się nad polem magnetycznym – raz wytwarzanym przez magnes, raz wytwarzanym przez zmienne prądy. Zapytasz:

- Czy stały prąd płynący w szpulce wytworzy pole magnetyczne?

- Tak, wytworzy pole magnetyczne, nieróżniące się od pola (znanego Ci) magnesu. Irenka wykrzyknęła:

- Mam pomysł: a może w magnesie, np. w żelazie, są takie malutkie szpuleczki, w których płynie prąd, i pole całego magnesu pochodzi tak naprawdę od tych malutkich szpuleczek-magnesików?

- Brawo, doskonały pomysł. Tak jest w rzeczywistości.

Rozwiązanie zadania: niech rosnącym ciągiem dodatnich liczb będzie a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, …., a malejącym  b1=1, b2=1/2, b3=1/3, ….. Ciąg będący iloczynami a1*b1=1, a2*b2=1, a3*b3=1, … jest stały, zatem ani nie rośnie, ani nie maleje.

Zadanie (trudne): Udowodnij, że jeśli ułamek 1/n jest okresowy, to jego okres liczy najwyżej n-1 cyfr.

Np. ułamek 1/7 zapisany w postaci dziesiętnej wykazuje okresowość  1/7=0.142857 142857 142857 …., (pomiędzy okresami zrobiłem przerwy). Okres ma długość 7-1=6<7. Ale dla 1/11=0.09 09 09 09 09 09 okres ma długość 2 i także 2<11.

Czerwone Gitary   https://www.youtube.com/watch?v=ay77vuSEYJs  „Biały krzyż”.  Życzę Ci pięknego i odważnego dnia, Twój Tata

Niedziela, 23.02.20

Niedziela, 23.02.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-02-23

Rozwiązanie zadania: wpisać kwadrat ABCD w okrąg, to zadanie bardzo proste. Jeśli okrąg ma promień 1, to przekątna kwadratu ma długość 2. Prosta poprowadzona z punktu P, leżącego w połowie boku AB przejdzie przez środek okręgu O, a jej przecięcie z okręgiem E wyznaczy wierzchołek ośmiokąta. Należy policzyć długość AE – długość boku ośmiokąta, jednocześnie przeciwprostokątną w trójkącie APE (zrób rysunek). Bok kwadratu ABCD jest krótszy o sqrt(2) od przekątnej o długości 2. Czyli AB=sqrt(2). Stąd wynika, że AP=AB/2=sqrt(2)/2. Wysokość PO w trójkącie ABO wynosi także PO=sqrt(2)/2 (dlaczego?). Ponieważ EO=1, więc EP=1-PO=1-sqrt(2)/2. Teraz bardzo łatwo policzyć z p. Pitagorasa długość AE

AE*AE=EP*EP+AP*AP, po podstawieniu  

AE*AE=(1-sqrt(2)/2)^2+1/2=1+1/2+1/2-sqrt(2)=2-sqrt(2). Stąd

AE=sqrt(2-sqrt(2))=sqrt(2-1.142….)=0.765367 (sprawdź).

Zadanie: a₁, a₂, a₃, ... to rosnący, nieskończony ciąg liczb dodatnich, b₁, b₂, b₃, ... to malejący, nieskończony ciąg liczb dodatnich. Czy możliwe, żeby ciąg iloczynów a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, ... nie był ani malejący, ani rosnący? Odpowiedź uzasadnij na przykładzie!

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=Lp9FKlR1i6s&feature=emb_logo . Życzę Ci pogodnej niedzieli, Tata

Piątek, 21.02.20

Piątek, 21.02.20

Kochana Irenko, pisałem Ci, że magnesy są bardzo tajemnicze. Szpulkę z nawiniętym drutem nazywa się cewką. Wczoraj pisałem Ci, co się stanie, jeśli dwie cewki umieścić jedna wewnątrz drugiej i jedną z cewek podłączyć do zmiennego prądu. Zapytasz

- Co się stanie, jeśli jedną z cewek podłączyć do zmiennego prądu, a drugą umieścić w pewnej odległości, np. 1 metra albo 1 kilometra?

- W tej drugiej popłynie prąd, ale słaby.

- Czy taki słaby prąd można wykryć?

- Można wykryć. Trzeba go wzmocnić.

- Czy częstotliwość słabego  prądu w odleglej cewce jest taka sama, jak w tej, podłączonej do zmiennego prądu?

- Tak, jest taka sama. Domyślasz się, co możne zrobić: zmieniać częstotliwość prądu, wówczas w tej odległej też częstotliwość będzie się zmieniać.

Irenka wykrzyknęła:

- Mam pomysł: można zmieniać częstotliwość prądu, tak jak zmienia się częstotliwość głosu.

- Tak, ten pomysł został wykorzystany do konstrukcji radia, a Marconi dostał  za niego Nagrodę Nobla z fizyki https://pl.wikipedia.org/wiki/Guglielmo_Marconi.

Rozwiązanie zadania: oznaczmy nieznaną liczbę przez X. Z warunków zadania wiemy, ze jest to liczba nieparzysta i może być zapisana w postaci

X=K*2+1, gdzie K to liczba naturalna.

Jeżeli K byłoby liczbą parzystą, wówczas X po podzieleniu przez 4 dałaby resztę 1, zatem jest liczba nieparzystą K=2*K1+1, co przepisując daje nam

X=(2*K1+1)*2+1=4*K1+3.

Rozumując podobnie, gdyby K1 było liczbą nieparzystą, reszta po podzieleniu przez 8 byłaby równa 7. Zatem tym razem K1 jest liczbą parzystą i

X=8*K2+3.

Jeśli K2 jest liczbą parzystą da resztę 3 po podzieleniu przez 16, jeśli nieparzystą da resztę 11 (dlaczego). Zatem K2 może być liczbą o dowolnej parzystości. Jakie mogą być reszty z dzielenia X przez 64? Liczba K2 może być zapisana w postaci  K2=8*K3+K4, gdzie K3 dowolna liczba naturalna, a K4 zmienia się od 0 do 7. Wówczas

X=64*K3+8*K4+3.

Odpowiedź: istnieje 7 reszt z dzielenia liczby X przez 64 postaci 8*K4+3:

8*0+3=3, 8*1+3=11, 19, 27, 35, 43, 51, 59.

Zadanie: korzystając z prawa Pitagorasa, oblicz długość boku ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1.

Czerwone Gitary „Kwiaty we włosach” (Mama miała 2 lata)  https://www.youtube.com/watch?v=joUyxuz62cE&list=PLuu_ngH5_45VEnVZWoJPGL8Jspi2_0HVp&index=7 Życzę Ci wesołego i zdrowego dnia, Tata

Czwartek, 20.02.20

Czwartek, 20.02.20

Kochana Irenko, pisałem Ci, że mając szpulkę z nawiniętym drutem, a wzdłuż jej osi otwór, można do otworu wkładać i wyjmować magnes, a w szpulce popłynie zmienny prąd. Raz w lewo, raz w prawo.

Czy istnieje zjawisko odwrotne?  Co dzieje się wewnątrz szpulki, jeśli nie ma magnesu, a w drucie płynie prąd raz w prawo, raz w lewo, raz w prawo, raz w lewo. Np. prąd z gniazdka.

Na osi szpulki pojawi się zmienne pole magnetyczne!!!! Jak je wykryć? Należy włożyć zamiast magnesu mniejszą szpulkę, mającą oś w tym samym kierunku, co kierunek osi dużej szpulki.

-Co podejrzewasz?

-W małej szpulce popłynie prąd? (Uwaga: zauważ, że druty dużej i małej szpulki są rozłączone.)  

-Tak, prawidłowo rozumujesz.

Tak działa transformator. Np. ten, którym zasilasz laptop. http://ilf.fizyka.pw.edu.pl/podrecznik/3/6/3

Rozwiązanie zadania: wykonam przekształcenie Ci znane (sprzed kilku dni)

x*x+3*x-3/4=(x+3/2)^2-9/4-3/4=(x+3/2)^2-12/4=0.

Przepisując to równanie

(x+3/2)^2=3, stąd x+3/2=+sqrt(3) lub x+3/2=-sqrt(3).

Łatwo można wyliczyć  dwa pierwiastki

x=-3/2+sqrt(3) i x=-3/2-sqrt(3).

Sztuczka polega na zapisaniu wyrażenia w postaci kwadrat+liczba!!!  Przypatrz się dokładnie temu rozwiązaniu - 75% matematyki szkoły średniej obraca się wokół tej sztuczki!!!

Zadanie (trudne): jaką resztę przy dzieleniu przez 64 może dać liczba, jeśli przy dzieleniu przez 2 daje niezerową resztę, przy dzieleniu przez 4 nie daje reszty 1, przy dzieleniu przez 8 nie daje reszty 7, a przy dzieleniu przez 16 nie daje reszty 15?

 „Ze starej płyty” https://www.youtube.com/watch?v=clrrPVhil6E życzę Ci wesołego i pogodnego dnia, Tata

Środa, 19.02.20

Środa, 19.02.20

Kochana Irenko, wczoraj zaprosiłem Cię na film o odkryciu pomiędzy latami 1947 a 1956 tzw. zwojów z Qumran, datowanych na II w. p.n.e. Jednym z badaczy zwojów jest https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Eisenman ,  autor hipotezy, że Jakub był rodzonym bratem Jezusa z Nazaretu https://pl.wikipedia.org/wiki/Jakub_Sprawiedliwy.

Rozwiązanie zadania: długość okręgu o promieniu 1 wynosi 2*pi. Załóżmy, że po pewnej ilości obrotów m, punkt O tocząc się po osi X natrafi na liczbę n. Wówczas zachodzi równość

2*pi*m=n, skąd pi=n/(m*2), co oznacza, że pi jest liczbą wymierną. Ale pi, jak wiesz, nie jest liczbą wymierną. Odpowiedź: nie istnieje taka liczba obrotów m i taka liczba naturalna n na osi X, że punkt O po m obrotach wypadnie w punkcie n.

Zadanie (trudne): dla jakich x spełniona jest równość x*x+3*x-3/4=0? Wskazówka: skorzystaj z rozumowania sprzed 2 dni.

Czas ucieka niczym wieczorny horyzont widziany z okna pendolino -  „Jolka, Jolka”  Budki Suflera  https://www.youtube.com/watch?v=DvlRiFmbZBM Wesołego i pogodnego dnia, Tata

 

Wtorek, 18.02.20

Wtorek, 18.02.20

Kochana Irenko, wybierzmy się do Izraela, do Qumran, gdzie w 1947 odkryto tajemnicze zwoje https://www.youtube.com/watch?v=4rN79yvpi1k. Przeprowadź niewielkie samodzielne badanie: kto dokonał odkrycia i jakie znaczenie miały odnalezione zwoje.

Rozwiązanie zadania: sztuczkę, którą zastosuję pokazywałem Ci kilka razy. Za kilka dni wyślę podobne zadanie.  Równanie y=x^4-3*x^2 zapiszę w postaci sumy, której jeden z czynników jest zawsze większy lub równy zeru

y= x^4-3*x^2= (x^2-3/2)^2-9/4.

Otóż składnik (x^2-3/2)^2 jest równy zeru dla x=+sqrt(3/2) lub dla x=-sqrt(3/2), nigdy nie jest ujemny, więc jego wartości są większe lub równe 0. Widać, że najmniejszą wartość wyrażenie przyjmuje dla tych dwóch wartości x i wynosi ona y=-9/4. Odpowiedź:  y jest większe lub równe -9/4.

Zadanie: po osi X toczy się w prawo bez poślizgu okrąg o promieniu 1. Na okręgu zaznaczono punkt O, który w chwili 0 pokrywał się z punktem 0. Po jakim czasie O znów wypadnie na osi w jakimś punkcie o całkowitej współrzędnej?

Zapraszam Cię na walce Straussa https://www.youtube.com/watch?v=euM9O6Qaog8 Wesołego dnia, Tata

Niedziela, 16.02.20

Niedziela, 16.02.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-02-16

Rozwiązanie zadania: koniecznie zrób rysunek. Oznaczę punkty przecięcia okręgów przez C i D. Zauważ, że trójkąty ABC i ABD są równoboczne. Zatem kąt DAC ma wartość 120 stopni, jako suma 60+60=120. Pole koła ograniczonego tym kątem wynosi pi/3, gdyż 1/3=120/360. Pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta ABC i wynosi 1*sqrt(3)/2*1/2=sqrt(3)/4. Odpowiedź:  część wspólna dwóch okręgów o środkach w A i B i promieniach 1 jest równa podwojonej różnicy pomiędzy polem koła o kącie 120 stopni i polem trójkąta ACD, czyli

2*(pi/3-sqrt(3)/4).

Zadanie (trudne): jeśli zmieniać x od minus nieskończoności do plus nieskończoności (x należy do zbioru liczb rzeczywistych R), to jaki będzie zbiór wartości funkcji y=x⁴–3x² ?

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=QYDIGORyKxM&feature=emb_logo Wesołej i  zdrowej niedzieli, Tata

Sobota, 15.02.20

Sobota, 15.02.20

Kochana Irenko, popatrz na mgławicę https://apod.nasa.gov/apod/ap200213.html . Jak daleko położona jest i jakie ma rozmiary?

Rozwiązanie zadania: policzę ile jest różnych par liczb dwucyfrowych, z cyframi od 1 do 9,  dla 3 rożnych cyfr. Np. dla 123 tymi parami są: (12, 13), (21, 13), (12, 31), (21, 31), (11, 23) i (11, 32). Widzisz, że takich różnych par jest 6. Dwie pary (12, 13) i (13, 12) traktuję jako jedną parę.   Musimy teraz policzyć, na ile sposobów możemy zamienić 1 na inne cyfry. Na 9 sposobów - w miejscu jedynki mogą znajdować się cyfry od 1 do 9. Na ile sposobów możemy wybrać następną cyfrę? Ponieważ jedna z 9 cyfr jest już zajęta, pozostaje 9-1=8 możliwości. Rozumując podobnie, trzecią cyfrę możemy wybrać na 8-1=7 sposobów. Czyli wszystkich możliwości jest 6*7*8*9. Ale wybierając na drugim miejscu np. 2, a na trzecim cyfrę 3, tworzymy takie same komplety liczb dwucyfrowych (kolejność par nie ma znaczenia (12, 13)= (13, 12)) jak przy wyborze najpierw 3, a później 2. Zatem znalezioną liczbę kombinacji należy podzielić przez 2. Ostatecznie, ilość różnych par 3 różnych liczb dwucyfrowych wynosi 6*7*8*9/2=1512.

Zadanie (trudne): położone na płaszczyźnie punkty A i B są odległe o 1. Oblicz pole części wspólnej koła o promieniu 1 i środku w A i koła o promieniu 1 i środku w B.

Zapraszam Cię na Wiedeńskie Lasy https://www.youtube.com/watch?v=5Gww3bczK28 Wesołej, zdrowej i odważnej soboty, Tata

Piątek, 14.02.20

Piątek, 14.02.20

Kochana Irenko, magnes to bardzo ciekawe urządzenie - bardzo proste i tajemnicze. Jeśli na szpulkę, zamiast nici, nawinąć drut, zaś w szpulce, wzdłuż jej osi wydrążyć podłużny otwór (zwykle są tam niewielkie i okrągłe) i w ten otwór wkładać, i wyjmować podłużny magnes, czy wiesz co się stanie? W drucie popłynie prąd elektryczny. W którą stronę – zgodnie ze wskazówkami zegara, czy przeciwnie? I w jedną, i w drugą. Powstaje tzw. prąd zmienny. Jak często zmienia się jego kierunek? W sieci, w gniazdku ok. 50 razy na sekundę. Było to proste i jednocześnie wielkie odkrycie w XIX wieku.

Rozwiązanie zadania: oznaczę liczbę samochodów wyprodukowanych w poprzednim roku przez x, kiedy to skód wyprodukowano połowę, czyli  0.5*x. W roku bieżącym wyprodukowano 0.9*x samochodów, z czego 55% to skody. Stąd wnioskujemy, że w roku bieżącym wyprodukowano ich 0.55*0.9*x. Zatem stosunek skód wyprodukowanych w bieżącym roku do poprzedniego wynosi 0.55*0.9*x/(0.5*x)=0.99. Czyli ilość skód w roku bieżącym jest mniejsza w stosunku do roku poprzedniego o 1 procent.

Zadanie (trudne): znajdź liczbę wszystkich par liczb dwucyfrowych, w których zapisach występują w sumie trzy cyfry od 1 do 9? (Tzn. chodzi o warunek spełniony przez pary np. (12, 13), (11, 23) i (12, 31), a niespełniony przez pary np. (11, 22), (12, 34)).

 

Zapraszam Cię na „Adagio” T. Albinoni  https://www.youtube.com/watch?v=WZZgVN0-cXgWesołego i odważnego  dnia, Tata

Czwartek, 13.02.20

Czwartek, 13.02.20

Kochana Irenko, dlaczego zbudowani jesteśmy z materii, a nie antymaterii https://www.swiatnauki.pl/8,1818.html ? Czy znalazłaś odpowiedź na to pytanie w artykule?

Rozwiązanie zadania: zauważ, że trójkąt DEB jest trójkątem prostokątnym o kątach 60 i 30 stopni. Stąd wynika, że DB=1/2*BE. Ponieważ trójkąty ECF i FAD są podobne (identyczne), więc punkty D, E, F dzielą odcinki na części w stosunku ½. Jeśli bok trójkąta ABC wynosi 1, to jego pole sqrt(3)/4. Pole trójkąta DBE wynosi (1/3)*(sqrt(3)/3)/3=sqrt(3)/18. Pole trójkąta DEF  jest równe polu ABC pomniejszonemu o 3 pola DBE i wynosi

sqrt(3)/4-sqrt(3)/6=sqrt(3)/12.

Odpowiedź: pole trójkąta DEF wynosi sqrt(3)/12.

Zadanie: liczba samochodów wyprodukowanych w pewnej fabryce zmniejszyła się w stosunku do poprzedniego roku o 10%. W poprzednim roku skody stanowiły 50% wyprodukowanych w tej fabryce samochodów, a w kolejnym roku aż 55%. Oblicz, o ile procent w porównaniu z poprzednim rokiem zwiększyła się lub zmniejszyła liczba wyprodukowanych w tej fabryce skód.

Zapraszam Cię „Adagio” J. S. Bacha  https://www.youtube.com/watch?v=-ywL_zokELE Wesołego dnia, Tata

Środa, 12.02.20

Środa, 12.02.20

Kochana Irenko, ile może być planet w naszej galaktyce niezwiązanych z żadną z gwiazd https://www.swiatnauki.pl/8,1845.html ?

Rozwiązanie zadania: w zadaniu należy precyzyjnie przepisać 3 warunki w postaci 3 równań. Jeśli trzy nieznane cyfry oznaczyć przez x, y, z, to jej wartość (niejednokrotnie korzystałem) wynosi x*100+y*10+z (dlaczego?). Drugi warunek ma postać

x*100+y*10+z+297=z*100+y*10+x.

Po odjęciu y*10 od obu stron równania dostaję równanie wiążące x i z (sprawdź)

99*(z-x)=297 lub po podzieleniu obu stron równości przez 99 bardzo prostą zależność

z-x=3  lub

z=3+x.

Trzeci warunek zadania

2*(x+y)-7=z.

Podstawiając do powyższego równania za z=3+x

2*x+2*y-7=3+x lub x+2*y=10.

Dodając pierwszy warunek do powyższych dostaję 3 równania

x+y+z=14,

z=3+x,

x=10-2*y.

Jak je rozwiązać?

Podstawiając za z i x z dwu ostatnich równań do pierwszego dostaję równanie tylko na y

10-2*y+y+3+10-2*y=14 i po uproszczeniach

23-14=3*y=9, skąd y=3. Z ostatniego łatwo wywnioskować, że x=4, a z drugiego z=7.

Odpowiedź: wszystkie warunki zadania spełnia   liczba 437.  

Zadanie: w trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt równoboczny DEF w taki sposób, że boki AB i DE są prostopadłe, a wierzchołek F leży na boku AC. Oblicz, ile razy pole trójkąta DEF jest mniejsze od pola trójkąta ABC.

Zapraszam Cię „Adagio” A. Marcello https://www.youtube.com/watch?v=tjLoOmDddgk Wesołego dnia, Twój Tata

Poniedziałek, 10.02.20

Poniedziałek, 10.02.20

Kochana Irenko, jak będzie wyglądał teleskop rentgenowski https://www.youtube.com/watch?v=Iwx4dEHCIfw do badania źródeł promieni X. Promienie X mają długość fali ok. 1 nm (1 nm to jedna miliardowa część metra, czyli 10^9*nm=m), światło widzialne ma długość fali od 300 nm (fiolet) do 800 nm (czerwień).
 

Rozwiązanie zadania: niech liczba naturalna n=a*a-b*b=(a-b)*(a+b). Zbadam 2 przypadki: liczby a i b mają taką samą parzystość, wówczas a+b i a-b są liczbami parzystymi i n dzieli się przez 2*2=4. Jeśli a i b mają różne parzystości, liczby a+b i a-b są nieparzyste i n jest także liczbą nieparzystą. Zauważ, że liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 4 (np. 2, 6, 10, 14, ….) nie można przedstawić jako różnicy kwadratów liczb całkowitych.
 

Zadanie (trudne): dana jest liczba trzycyfrowa xyz, której potrojona suma cyfr wynosi 42. Jeżeli do liczby xyz dodamy 297, to otrzymamy też liczbę trzycyfrową, ale o cyfrach zapisanych w odwrotnej kolejności; natomiast jeśli od podwojonej sumy cyfr setek i dziesiątek liczby xyz odejmiemy 7, to otrzymamy cyfrę jedności tej liczby. Jaka to liczba?
 

Zapraszam Cię na E. Morricone „Gabriel’s oboe” https://www.youtube.com/watch?v=2WJhax7Jmxs&list=RDvE2O_yfgtBU&index=12 Pięknego i odważnego dnia, Tata

 

 

 

 

 

 

Niedziela, 09.02.20

Niedziela, 09.02.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-02-09

Rozwiązanie zadania: aby trójkąt równoboczny posiadał pole √3, jego bok ma długość 2 [gdyż 2*(2*√3/2)/2=√3].  Trójkąt równoboczny można podzielić na 4 trójkąty równoboczne o równym polu √3/4 łącząc ze sobą środki boków (zrób rysunek). Do części wspólnej trójkąta i dwóch okręgów o promieniu 1 i środkach w połowie odcinków AB i BC należą: 2 małe trójkąty i 2 różnice (1/6 pola koła i trójkąta równobocznego o boku 1). Pola małych trójkątów wynoszą √3/4, pola 1/6 koła o promieniu 1 pi/6. Zatem pole części wspólnej wynosi

2*√3/4+2*(pi/6-√3/4)=pi/3.

 

Zadanie (trudne): Jakie liczby naturalne dają się przedstawić jako różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych?

Zapraszam Cię na dzisiejszy Psalm  https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=pLEZeIAqbz8&feature=emb_logo Wesołej i pogodnej niedzieli, Tata

Piątek, 07.02.20

Piątek, 07.02.20

Kochana Irenko, popatrz na dwie galaktyki https://apod.nasa.gov/apod/ap191120.html

Rozwiązanie zadania: krasnoludki mogą wyjść w dowolnym kierunku, ale już po rozpoczęciu wędrówki kierunek ruchu ściśle jest wyznaczony przez warunki zadania. Rozważmy wędrówkę pierwszego krasnoludka. Zauważ, że po pierwszej sekwencji ruchów znajdzie się on w odległości 1 od punktu wyjścia i twarzą w przeciwnym kierunku niż przy wyjściu. Po drugiej sekwencji ruchów wróci do punktu wyjścia, także jego twarz będzie zwrócona w tym samym kierunku jak na początku wędrówki. Zatem po 2018 sekwencjach krasnoludek wróci do punktu wyjścia S. Po 2019 sekwencjach każdy z krasnoludków będzie tak jak po pierwszej sekwencji i w odległości 1 od punktu wyjścia S, czyli wszystkie dopuszczalne położenia dwóch krasnoludków znajdują się na okręgu o promieniu 1 i o środku S. Odpowiedź: po 2019 sekwencjach ruchów krasnoludki mogą znajdować się w odległościach od siebie od 0 do 2 (średnica okręgu).

Zadanie (trudne): Średnicą koła k₁ jest odcinek AB, średnicą koła k₂ - odcinek BC. Oblicz pole części wspólnej k₁, k₂ i trójkąta ABC, jeśli wiadomo, że jest on równoboczny i ma pole √3.

Kontynuując wycieczkę w świat Baroku – cd A. Marcello https://www.youtube.com/watch?v=aYnU-CaH0bM&list=RDvE2O_yfgtBU&index=3 Wesołego i pięknego dnia, Tata

Środa, 05.02.20

Środa, 05.02.20

Kochana Irenko, w pogodny wieczór zobaczysz niedługo po zachodzie słońca Wenus. Popatrz jak wygląda w zestawieniu z Ziemią https://apod.nasa.gov/apod/ap190210.html

Rozwiązanie zadania: oznaczmy liczbę poza nawiasem przez x, liczbę dodatnią stojącą po minusie w nawiasie przez y. Zachodzi proste równanie

x-y=x*(-y)=-x*y. Dodając do obu stron równania y dostaję

x=y-x*y=y*(1-x). Po prostych przekształceniach

y=x/(1-x).

Sprawdźmy dla x=1/2, y=1/2/1/2=1, czyli prawidłowo. Oczywiście x nie może być równe 1. Dostaliśmy regułkę znajdowania liczby w nawiasie, jeśli znana jest liczba poza nawiasem. Np. dla x=1/3, y=1/2. Rzeczywiście

1/3-1/2=(1/3)*(-1/2)=-1/6.

Zadanie: krasnoludki K₁ i K₂ startują z punktu S i każdy 2019 razy wykonuje sekwencję ruchów: prostoliniowy przemarsz do przodu  o 2 jednostki, obrót o 90º w lewo, przemarsz do przodu o 3, obrót o 90º w prawo, przemarsz do tyłu o 1, obrót o 90º w prawo, przemarsz naprzód o 2, obrót o 90º w prawo i przejście do przodu o 1. W jakiej odległości mogą stać teraz krasnoludki? Wskazówka: zadanie łatwo rozwiązać robiąc precyzyjny rysunek.

Kontynuując  wycieczkę w świat Baroku – https://pl.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Marcello  A. Marcello https://www.youtube.com/watch?v=vE2O_yfgtBU Pod względem estetycznym kompozycje Marcella należą do najwyższej klasy dzieł powstałych w epoce późnego baroku włoskiego. Wesołego i pogodnego dnia, Tata

Wtorek, 04.02.20

Wtorek, 04.02.20

Kochana Irenko, posyłam Ci trudny wykład o tym, jak działają lasery na swobodnych elektronach https://www.youtube.com/watch?v=RKqof77pKBc i nie tylko.

Rozwiązanie zadania: pomnóżmy w każdym ułamku licznik i mianownik przez jego mianownik ze zmienionym znakiem przed pierwiastkiem mniejszej liczby.

Dla pierwszego ułamka operacja ta ma postać

1/(√1+√ 2)= (-√1+√ 2)1/[(√1+√ 2)* (-√1+√ 2)]= (-√1+√ 2).

Suma ułamków po przekształceniu

 (-√1+√ 2)+(-√2+√ 3)+(-√3+√4)+…+ (-√2019+√2020)= √2020-1, gdyż wszystkie pozostałe pierwiastki skróciły się. Ale  √2020-1=43.94…., czyli część całkowita wynosi 43.

Zadanie : przez 1/2 (−1)  rozumiemy iloczyn liczb 1/2 i -1. Jednak gdyby opuścić nawias, wynik pozostałby ten sam. Podaj wszystkie pary liczb, które można wstawić w miejsce 1/2 i 1, tak żeby wartość wyrażenia z nawiasem była taka sama jak różnica tych liczb.

Zapraszam Cię na wycieczkę w świat Baroku – T. Albinoni https://www.youtube.com/watch?v=LjgndGuy77o Wesołego dnia, Tata