Wtorek, 1.10.19

Wtorek, 1.10.19

Kochana Irenko, zapraszam Cię na  film o życiu Mikołaja Kopernika https://www.youtube.com/watch?v=NbCYYGMrCLI&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=81. To kolejny odcinek astronarium.

Rozwiązanie zadania: zrób rysunek. Oznaczę wierzchołki trapezu przez ABDC, gdzie krótsza podstawa AB ma długość 2*b, dłuższa podstawa CD ma długość 2*a. Wówczas boki trapezu CA i DB  mają długość a+b (dlaczego?). Zauważ, że opuszczając wyskość z punku A  na podstawę CD, która przecina ją w  punkcie S, powstaje trójkąt prostokątny ASC, o przyprostokątnych o  długości:  CS=a-b, AS=h i przeciwprostokątna CA=a+b. Z prawa Pitagorasa zachodzi

(a-b)^2+h*h=(a+b)^2, skąd po przekształceniach

h*h=(2*a)*(2*b). Wniosek: kwadrat długości wysokości h jest równy iloczynowi długości podstaw a i b trapezu równoramiennego, opisanego na okręgu.

Zadanie: udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 2*n^3+n jest podzielna przez 3.

Fragment „Czarodziejskiego Fletu” Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=VyBX2k2M43Q. Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 29.09.19

Niedziela, 29.09.19

Kochana Irenko, usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-09-29.

Rozwiązanie zadania: rozwiązanie zadania wymaga kilku manipulacji algebraicznych. Pierwsza manipulacja: podniosę do kwadratu

(x^2+y^2+z^2)^2= x^4+y^4+z^4+2*( x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2)=m^2

Druga manipulacja: podniosę do kwadratu  (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2*(x*y+x*z+y*z)=0, skąd dostaję

m/2=-( x*y+x*z+y*z).

Trzecia manipulacja: podnoszę poprzednie wyrażenie  znowu do kwadratu

m^2/4= x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2+2*x*y*z*(x+y+z)= x^2*y^2+y^2*z^2+z^2*x^2. Podstawiając do pierwszego równania dostaję

x^4+y^4+z^4+2*m^2/2=m^2. Wniosek: wyrażenie x^4+y^4+z^4=m^2/2

Zadanie: udowodnij, że w trapezie równoramiennym opisanym na okręgu, wysokość h jest średnią geometryczną długości obu jego podstaw o długościach a i b, tzn zachodzi h*h=a*b.

Dzisiejszy Psalm https://www.youtube.com/watch?v=F4aK3vptqcg.  Pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 28.09.19

Sobota, 28.09.19

Kochana Irenko, polecam Ci film o kształcie naszej galaktyki, Drogi Mlecznej  https://www.youtube.com/watch?v=XlIPkevqxKg&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=82. Jak wygląda? Czy jest dyskiem?

Rozwiązanie zadania: kiedy trzy kolejne liczby p, p+2, p+4 mogą być liczbami pierwszymi? Widać, że liczba p musi być nieparzysta p=2k+1, różna od 2. Napiszę 5 kolejnych liczb

2k+1, 2k+2, 2k+3, 2k+4, 2k+5. Zauważ, że zawsze pośród 3 kolejnych liczb, jedna liczba jest zawsze podzielna przez 3.

Założę, że  2k+1 i 2k+3 są liczbami  pierwszymi i  nie dzielą się przez 3. Wówczas liczba 2k+2 dzieli się przez 3, jako jedna z trzech kolejnych 2k+1, 2k+2, 2k+3 oraz  liczba o 3 większa, czyli 2k+5 też dzieli się przez 3. Przy takim założeniu liczba 2k+5 nie jest liczbą pierwszą.

Założę, że 2k+1 dzieli się przez 3. Jedyną liczbą pierwszą dzielącą się przez 3 jest 3. Wtedy 3,5,7 są liczbami pierwszymi.

Wniosek: jedynymi liczbami p, p+2, p+4, które wszystkie trzy są pierwsze, są liczby 3,5,7.

Zadanie: ile wynosi x⁴+y⁴+z⁴, jeśli x+y+z=0 i x²+y²+z²=m?

Niedawno zaczęła się jesień. Zapraszam Cię na 4 pory roku Antonia Vivaldiego https://www.youtube.com/watch?v=YnDLlajMxyo.  Pięknej soboty, Tata

Piątek, 27.09.19

Piątek, 27.09.19

Kochana Irenko, poprzednio pisałem Ci o XFEL, laserze o długości fali światła rzędu 1 nm. Światło to nazywane jest promieniami  X. Definicja:  miliard nm jest równy jednemu metrowi lub 10^9*(1 nm)=m). Pamietaj, że odległości między atomami w cząsteczkach wynoszą  ok. 100 pm=0.1 nm. Znacznie mniejszy laser niż w Hamburgu  zostanie wkrótce zbudowany w Świerku.

Rozwiązanie zadania: zapiszę liczbę 2015 w postaci sumy różnych liczb naturalnych l1, l2, l3

l1+l2+l3=2015.

W zadaniu pytają, jaki jest największy wspólny podzielnik tych trzech  liczb (oznaczę go przez m),  co można zapisać

l1=m*r1,

l2=m*r2,

l3=m*r3,

gdzie r1, r2, r3 też są liczbami  naturalnymi. Początkowe równanie przyjmuje wówczas postać

m*(r1+r2+r3)=2015.

Widać, że liczba 2015 rozkłada się na iloczyn, rozłóżmy ją na iloczyn liczb pierwszych 2015=5*13*31 (sprawdź). Poszukujemy najmniejszej sumy różnych liczb r1+r2+r3. Zauważ, że 5 nie może być sumą 3 rożnych liczb naturalnych (2+2+1=5), ale 13 już może być (np. 1+2+10=13). Wtedy m jest iloczynem pozostałych dwóch liczb m=5*31=155. Wniosek:  największym wspólnym dzielnikiem jest 155.

Zadanie: znajdź wszystkie liczby pierwsze p, takie że p+2 i p+4 są także liczbami pierwszymi.

Zapraszam Cię na młodego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=aRue8CY5tYg.  Pięknego dnia, Tata

Środa, 25.09.19

Środa, 25.09.19

Kochana Irenko, popatrz jak wygląda maszyna (XFEL) zbudowana w Hamburgu do wytwarzania spójnego światła (laserowego) o bardzo krótkiej fali. Światło widzialne ma długość fali 300-800 nm, światło wytwarzane w XFEL ma długość fali rzędu kilku nm https://www.xfel.eu/facility/accelerator/index_eng.html. Światło to pozwoli widzieć cząsteczki.

Rozwiązanie zadania: można równość (a+b)/2=sqrt[(5+ab)]   z zadania napisać w innej postaci

(a+b)^2/4= (5+ab) lub

(a+b)^2 -4*a*b=20 lub

(a-b)^2=20.

Zatem a-b=2*sqrt(5). Różnica dwóch liczb wymiernych jest wymierna. Zatem a lub nie jest liczbą wymierną, skoro wynik 2*sqrt(5) jest liczbą niewymierną.

Zadanie (trudne): jaka jest największa możliwa wartość największego wspólnego dzielnika trzech różnych liczb całkowitych dodatnich, których suma wynosi 2015?

Zapraszam Cię Adagio Albinoniego https://www.youtube.com/watch?v=_eLU5W1vc8Y.  Pięknego dnia, Tata

 

Niedziela, 22.09.19

Niedziela, 22.09.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz „Kto w bardzo małej sprawie jest wierny, ten i w wielkiej będzie wierny; a kto w bardzo małej sprawie jest nieuczciwy, ten i w wielkiej nieuczciwy będzie.” https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-09-22

 Rozwiązanie zadania: wiadomo, że f(40)=f(4*10)=f(4)+f(10)=20.

Ponieważ f(10)=14, więc f(4)=6. Następnie wnioskujemy, że

f(2*2)=6=f(2)+f(2), stąd f(2)=3.

Ale f(2*5)=14=f(2)+f(5), skąd f(5)=11.

Jesteśmy przygotowani do obliczenia f(500)=f(10*50)=f(10)+f(5*10)=f(10)+f(10)+f(5)=2*14+11=39.
 

Zadanie: Pokaż, że co najmniej jedna z liczb dodatnich a, b spełniających warunek  (a+b)/2=sqrt[(5+ab)]  jest niewymierna. sqrt[x] oznacza pierwiastek kwadratowy z x, np. sqrt[4]=2.
 

Zapraszam Cię Psalm https://www.youtube.com/watch?v=X3EgWz7byeM.  Pięknej niedzieli, Tata

Piątek, 20.09.19

Piątek, 20.09.19

Kochana Irenko, dlaczego młodzież z Niemiec odnosi sukcesy w konkursach młodych badaczy http://naukawpolsce.pap.pl/aktualnosci/news%2C78645%2Cskad-sukcesy-mlodych-naukowcow-z-niemiec-w-konkursie-eucys-opiekun. Czy w Polsce  są zajęcia dla młodzieży (po lekcjach) z matmy, z chemii, z fizy, z techniki?

Rozwiązanie zadania: oznaczę przez x liczbę z 2 na początku,  z 2016 zerami i 16 na ostatnim miejscu x=200...0016. Wyrażenie do obliczenia ma postać

x*x-(x+1)*(x-1)=x*x-(x*x-1)=1. Wniosek: wyrażenie 200...0016^2 – 200...0017 * 200...0015, podane w zadaniu, ma wartość 1.

Zadanie: Funkcja f została zdefiniowana na zbiorze dodatnich liczb całkowitych i ma następujące własności:

1) f(x*y)=f(x)+f(y) dla wszystkich liczb x i y,

2) f (10)=14,

3) f (40)=20.

Ile wynosi  f (500)?

 

Zapraszam Cię na Adagio https://www.youtube.com/watch?v=-ywL_zokELE&list=RDyJpJ8REjvqo&index=11 J.S. Bacha.  Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Środa, 18.09.19

Środa, 18.09.19

Kochana Irenko, czy maszyny można uczyć https://www.swiatnauki.pl/8,1800.html?

Rozwiązanie zadania: na pierwszym miejscu może być 1, w przeciwnym przypadku byłaby to liczba 4 cyfrowa. Na 2 miejscu może być 0 lub 1, czyli 2 przypadki. Podobnie na 3, 4 i 5 miejscu – zawsze są 2 możliwości, czyli można zbudować 2*2*2*2=16 liczb pięciocyfrowych.

Zadanie: Oblicz wartość poniższego wyrażenia, w którym w każdej liczbie występuje 2016 zer. 200...0016^2 – 200...0017 * 200...0015.

Zapraszam Cię na kolejny  koncert fortepianowy https://www.youtube.com/watch?v=wXQCPAR0EHo&list=RDyJpJ8REjvqo&index=11 Rachmaninova.  Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Wtorek, 17.09.19

Wtorek, 17.09.19

Kochana Irenko, widziałaś, jak powstaje atom węgla. Najczęściej wtedy, gdy 3 cząstki alfa (cząstka alfa=2 protony+2 neutrony) spotkają się w jednym miejscu i mają bardzo dużą energię. Nie może to zajść bez wysokiej temperatury (rzędu 100 milionów stopni) oraz olbrzymiej gęstości, przewyższającej 100 tysięcy razy gęstość wody na Ziemi. A takie warunki występują we wnętrzach masywnych gwiazd. Ale jak powstaje cząstka alfa, czyli jądro atomu helu? Problem rozwiązał Hans Bethe kilkadziesiąt lat temu. Proces który odkrył, nazywa się cyklem protonowym https://pl.wikipedia.org/wiki/Cykl_protonowy i jego ślady możesz zobaczyć patrząc na słońce. Cykl zachodzi głęboko we wnętrzu słońca, na jego powierzchni jest chłodno, tylko 4000C.

Rozwiązanie zadania: zrób rysunek. Wierzchołki trójkąta oznaczę przez ABC, boki a=AB, b=BC, c=CA. W połowie boku a leży punkt S. Oznaczę środkową CS=x, zaś cosinus kąta ASC przez cos. Wówczas cosinus kąta BSC ma wartość –cos (sprawdź). Twierdzenie  Pitagorasa dla trójkąta niekoniecznie z kątem prostym ma postać

b*b=x*x+(a/2)*(a/2)-2*cos*x*a/2,

c*c= x*x+(a/2)*(a/2)+2*cos*x*a/2. Dodając te dwa równania stronami

b*b+c*c-a*a/2=2*x*x, stąd x*x= b*b/2+c*c/2-a*a/4. Wyciągając pierwiastek dostajemy długość środkowej, opuszczonej na bok a. Pierwiastki potrafisz wyciągać. Czy wiesz ile wynosi pierwiastek z -1?

Zadanie: Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych w systemie dwójkowym?

Zapraszam Cię na kolejny koncert fortepianowy Rachmaninova https://www.youtube.com/watch?v=UKziGGumuEk&list=RDyJpJ8REjvqo&index=2.  Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Niedziela, 15.09.19

Niedziela, 15.09.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-09-15

Rozwiązanie zadania: kąt wewnętrzny w pięciokącie foremnym ma miarę

(5*180-360)/5=180-360/5=108. Zrób staranny rysunek. Ogólnie miara kąta wewnętrznego w n-kącie foremnym wynosi

180-360/n. Stąd w sześciokącie foremnym kąt wewnętrzny ma miarę 180-60=120. Kąt SRQ ma miarę 108, kąt QRP=(180-108)/2=36. Stąd kąt SRP ma miarę 108-36=72, skąd łatwo widać, że kąt SRU=PRU-SRP=120-72=48. Miary kątów w stopniach.

Zadanie: Wyznacz długość środkowej trójkąta o bokach a, b, c opuszczonej na bok o długości a. Środkowa łączy w trójkącie połowę boku z wierzchołkiem, nie należącym do tego boku. Skorzystaj z uogólnionego twierdzenia  Pitagorasa.

Zapraszam Cię na Psalm 51 https://www.youtube.com/watch?v=vVdjgVzEOwQ  Pięknej niedzieli, Tata

Piątek, 13.09.19

Piątek, 13.09.19

Kochana Irenko, skąd pochodzi węgiel? Najprawdopodobniej cały istniejący we Wszechświecie węgiel powstał w potrójnym procesie α. Z powodu małego prawdopodobieństwa tego procesu, do powstania węgla nie doszło podczas Wielkiego Wybuchu, lecz dopiero we wnętrzach gwiazd. Istnienie powyższego rezonansu energetycznego przewidział Fred Hoyle. Tempo zachodzenia reakcji wyznaczone przez Williama Fowlera pozwoliło połączyć fizykę jądrową z teorią ewolucji gwiazd https://pl.wikipedia.org/wiki/Proces_3-%CE%B1

Rozwiązanie zadania: oznaczmy wierzchołki prostokąta o bokach BC=6 i AB=8 (długość w cm, pole w cm*cm) przez ABCD, natomiast przez A1, B1, C1, D1 wierzchołki równoległoboku, którego boki są równoległe do przekątnych prostokąta. Niech A1 leży na boku AB, B1 na boku BC, C1 na boku CD i D1 na boku DA. Oznaczę długość AA1 przez x. Zauważ, że trójkąt D1AA1 jest podobny do trójkąta DAB. Więc odległość D1A wynosi 6*x/8 (dlaczego?). Wówczas D1D=6-6*x/8, zaś DC1=8-x.

Obliczenia obwodu.

Z prawa Pitagorasa wiesz,  że bok równoległoboku  jest przeciwprostokątną w trójkącie D1AA1 i jego długość jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów przyprostokątnych D1A i AA1 D1A1=sqrt[x*x+36/64*x*x]=10*x/8. Podobnie można policzyć długość boku

D1C1=sqrt[(8-x)^2+(6-6*x/8)^2]=sqrt(100+x*x*100/64-25*x]=sqrt[(10-x*10/8)^2]=10-x*10/8*x. Zatem suma dwóch boków równoległoboku wynosi 10-x*10/8+x*10/8=10. Obwód równoległoboku jest dwa razy większy i wynosi 2*10=20. Widać, że każdy równoległobok ma ten sam obwód.

Obliczanie pola równoległoboku.

Podwojone pole trójkąta 2*D1AA1=x*x*6/8.

Podobnie 2*D1DC1=(8-x)*(6-x*6/8)=48-12*x+x*x*6/8. Aby obliczyć pole równoległoboku należy od pola prostokąta 6*8=48 odjąć pola trójkątów w rogach. Otrzymujemy

P=48-(48-12*x+2*x*x*6/8)=12*x-12*x*x/8=12*x*(1-x/8). Zauważ, że x zmienia się od 0 do 8. Dla x=0, P=0, oraz dla x=8 zachodzi P=0. Kiedy P przyjmuje wartość maksymalną?

Badanie pola równoległoboku w zależności od x.

Dla jakiego x  funkcja P=12*x*(1-x/8) przyjmuje największą wartość? Zbadam symetrie tego równania. W tym celu zrobię podstawienie xà8-x, Pà12*(8-x)*(1-(8-x)/8)=12*(8-x)*x/8=12*x*(1-x/8). Zauważ, że funkcja P ma te same wartości dla x i 8-x. Dlatego za x podstawię odległość od 4, czyli x=4-z. Po podstawieniu do naszego równania dostaję  P=12*(4-z)*(1-(4-z)/8)=12*(4-z)*(4+z)/8=3*(16-z*z)/2. Zauważ, że z*z jest zawsze dodatnie, więc funkcja P w nowej zmiennej przyjmuje największą wartość dla z=0 i jej wartość wynosi 3*16/2=24. Długość podawałem w cm, a pole w cm*cm.

Zadanie: dany jest pięciokąt foremny PQRST (opis wierzchołków w kierunku antyzegarowym). Na przekątnej PR zbudowano sześciokąt foremny PRUVWX. Jaką miarę ma kąt SRU?

Zapraszam Cię na koncert fortepianowy Rachmaninova https://www.youtube.com/watch?v=yJpJ8REjvqo&list=RDyJpJ8REjvqo&start_radio=1#t=0.  Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Czwartek, 12.09.19

Czwartek, 12.09.19

Kochana Irenko, jeśli myślimy, co się wtedy dzieje z naszym mózgiem? Dowiesz się z artykułu https://www.swiatnauki.pl/8,1815.html.

Rozwiązanie zadania: pomnóżmy (a*b)*(b*c)=2*24=48=b*b*(a*c)=b*b*3, skąd b=4. Dalej bardzo prosto ustalisz, że  a=1/2, c=6. Czyli a+b+c=10.5.

Zadanie (trudne): który z równoległoboków wpisanych w prostokąt o bokach długości 6 i 8, o bokach równoległych do przekątnych tego prostokąta, ma największy obwód? Ile on wynosi? A jaki równoległobok ma największe pole? Ile to pole wynosi? Długości w cm.

Polecam Ci fantazje Schuberta https://www.youtube.com/watch?v=aO5fLLHj55k.  Pięknego,  radosnego i pełnego odwagi dnia, Tata

Środa, 11.09.19

Środa, 11.09.19

Kochana Irenko, popatrz na mgławicę Serce https://apod.nasa.gov/apod/astropix.html. Jak daleko jest od nas oddalona?

Rozwiązanie zadania: równanie p*p-42*q*q=1 dla liczb pierwszych p i q można przepisać w postaci

p*p-1=42*q*q lub

(p-1)*(p+1)=2*3*7*q*q (dlaczego?). Jeśli p jest liczbą nieparzystą 3, 5, 7, 11, …. To p+1 i p-1 są parzyste. Wówczas q musi być parzyste, a jedyną liczbą pierwszą i parzystą jest q=2. Zatem równanie dla p>2  ma postać

(p-1)*(p+1)=2*3*7*4=168 i p*p=169. Stąd p=13.

Dla p=2 równanie ma postać

3=2*3*7*q i nie jest spełnione dla naturalnych q. Wniosek: istnieje tylko jedna para liczb pierwszych (p, q) spełniająca warunki zadania, jest nią para (13,2).

Zadanie: Wiadomo, że ab = 2, bc = 24, a ca = 3 oraz a, b i c są dodatnie. Ile wynosi a+b+c? Czy można wyznaczyć a, b, c?.

Zapraszam Cię na „Tańce gotyckie” Erika Satie https://www.youtube.com/watch?v=P871ssjLhZU&list=RDNkQEFUpXTa4&index=22.  Pięknego dnia i wieczoru, Tata

Wtorek, 10.09.19

Wtorek, 10.09.19

Kochana Irenko, kilka miesięcy temu, w grudniu 2018 roku,  sprzedano na aukcji list A. Einsteina za prawie 3 miliony dolarów. Czego ten list dotyczył? https://www.deon.pl/religia/kosciol-i-swiat/z-zycia-kosciola/art,36586,jeden-ze-swoich-listow-albert-einstein-napisal-o-bogu-wlasnie-sprzedano-go-za-rekordowa-sume.html

Rozwiązanie zadania: zrób koniecznie rysunek. Wiemy, że promień dużego okręgu wynosi 20/2=10. Jeśli oznaczyć przez r1 i r2 promienie małych okręgów, to obwód wynosi

(10-r1)+(r1+r2)+10-r2=20. Odpowiedź: obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów wynosi 20 (odległości w cm).

Zadanie:  Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych p i q, dla których spełnione jest równanie

p*p–42*q*q = 1.

Zapraszam Cię na nokturny Erika Satie https://www.youtube.com/watch?v=NkQEFUpXTa4.  Pięknego dnia Ci życzę, Tata

Niedziela, 8.09.19

Niedziela, 8.09.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz  https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-09-08

Rozwiązanie zadania: oznaczę 3 poszukiwane liczby przez l1, l2 i l3. Wg warunków zadania powinno zachodzić

l1+l2+l3=k1*k1,

l1+l2=k2*k2,

l1+l3=k3*k3,

l2+l3=k4*k4, gdzie k1, k2, k3, k4 to liczby naturalne. Czy jest możliwe, aby spośród 4 liczb k1,k2,k3,k4 trzy liczby były kolejnymi liczbami naturalnymi?

Zauważ, że k1>k2, k1>k3, k1>k4. Niech do trójki kolejnych liczb należą (k3,k2,k1)=(k3, k3+1, k3+2) i będą trzema kolejnymi liczbami naturalnymi.

Na mocy tego założenia  

l1+l2+l3=(k3+2)^2,

l1+l2=(k3+1)^2

l1+l3=k3^2.

Wówczas można wyrazić l1, l2, l3 jako funkcje tylko k3

l1=k3^2-2*k3-3,

l2=4*k3+4,

l3=2*k3+3.

Pamiętajmy, że z warunków zadania l2+l3=6*k3+7 powinno być kwadratem liczby k4, czyli powinno zachodzić

6*k3+7=k4*k4.

Z ostatniego równania wynika, że musimy zbadać kilka kolejnych kwadratów liczb naturalnych, odjąć 7 i zobaczyć, czy dzielą się przez 6.

Spróbujmy np. k4=7, 7*7-7=6*7 i k3=7. Wówczas

l1=32, l2=32 i są to liczby równe, a mają być różne. Szukajmy dalej.

Niech k4=11, wtedy 6*k3+7=121=6*19+7, czyli k3=19.

Dla l1, l2, l3 dostajemy wartości: l1=19^2-38-3=320, l2=80, l3=41. Sprawdźmy, czy pozostałe sumy są kwadratami kolejnych liczb

l1+l3=320+41=361=19*19,

l1+l2=400=20*20,

l2+l3=121, l1+l2+l3=441=21*21.

Wniosek: istnieją liczby l1, l2, l3 spełniające warunki zadania. Jako ćwiczenie zbadaj k4=13, wtedy k3=27.  

Zadanie:  Dwa okręgi o różnych promieniach są zewnętrznie styczne do siebie nawzajem i oba są styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o średnicy 20 cm. Środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta.

Posłuchaj fragmentów Psalmu 90 https://www.youtube.com/watch?v=NwPboc-2rZo.  Pięknej i pogodnej niedzieli, Tata

Sobota, 7.09.19

Sobota, 7.09.19

Kochana Irenko, popatrz, co pozostaje po wybuchu gwiazdy https://apod.nasa.gov/apod/astropix.html. Kiedy wydarzyła się katastrofa i w jakiej odległości od nas?

Rozwiązanie zadania: oznaczę szukaną  liczbę naturalną sumbolicznie przez x4=10*x+4, gdzie x oznacza liczbę złożoną ze wszystkich cyfr, prócz ostatniej. Niech liczba x ma n cyfr, cala liczba ma wówczas n+1 cyfr. Z warunku zadania wynika, że zachodzi równość (dlaczego?)

4*(10*x+4)=40*x+16=4*10^n+x.

Równość tę można przepisać w postaci

39*x=3*13*x=4*(10^n-4).

Powyższa równość oznacza, że 10^n-4 dzieli się przez 3 i przez 13. Sprawdźmy, dla jakich n zachodzi podzielność (10^n-4) przez 3 i 13.

n=1, 10-4=6, nie zachodzi.

n=2, 100-4=96=3*32, nie zachodzi,

n=3, 1000-4=996=3*332, nie zachodzi,

n=4, 10000-4=9996=3*3332, nie zachodzi,

n=5, 100000-4=99996=3*33332=3*2564*13, zachodzi!

Zatem przepisując równanie dla n=5 dostajemy równanie na najmniejszą liczbę x

3*13*x=4*3*13*2564=3*13*4*2564.

Wniosek: szukane x jest równe x=4*2564=10256, a szukana liczba (z 4 na końcu)  ma posatć 102564.

Zadanie (trudne):  Czy istnieją trzy różne liczby całkowite dodatnie, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem liczby naturalnej i trzy z tych liczb są kolejnymi kwadratami?

Posłuchaj Walza D. Szostakovicza https://www.youtube.com/watch?v=jOSnOuIVsBE.  Pięknej i radosnej soboty, Tata

Środa, 4.09.19

Środa, 4.09.19

Kochana Irenko, jak wyglądają molekuły? Czy można je zobaczyć? Molekuły złożone są z ataomów związanych przez elektrony. Jak rozmieszczone są atomy i wiążące je elektrony można zobaczyć w programie MOLDEN (MOLecular DENsity – gęstość molekularna).  Program dostępny jest np. na stronie http://molnet.eu/index.php?option=com_content&view=article&id=101:molden-podstawowe-informacje&catid=14&showall=1&limitstart=&Itemid=145 .

Rozwiązanie zadania: kwadrat liczby nieparzystej można zapisać w postaci

(2k+1)*(2k+1)=4k*k+4*k+1=4*k*(k+1)+1. Zauważ, że iloczyn k*(k+1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, zatem jedna z nich dzieli się przez 2. Dlatego 4*k*(k+1) dzieli się przez 4*2=8. Wniosek: resztą z dzielenia przez 8 kwadratu liczby nieparzystej jest zawsze 1. Np. 3*3=8+1, 7*7=8*6+1.

Zadanie:  Jaka jest najmniejsza liczba naturalna kończącą się cyfrą 4 taka, że aby pomnożyć tę liczbę przez 4, wystarczy przenieść ostatnią cyfrę na początek?

Posłuchaj „Moldau” (podobnie jak Molden) Bedricha Smetany https://www.youtube.com/watch?v=3G4NKzmfC-Q.  Pogodnego dnia, Tata

Wtorek, 3.09.19

Wtorek, 3.09.19

Kochana Irenko, o odkryciach w Brzezowej, w Beskidzie Niskim (nie tak daleko od Szczawnicy) w sierpniu, przeczytasz w artykule http://naukawpolsce.pap.pl/aktualnosci/news%2C78368%2Cnaukowcy-wczesnosredniowieczny-grod-z-beskidu-niskiego-potezniejszy-niz.

Rozwiązanie zadania: największym ułamkiem z mianownikiem 7 jest 6/7, ale 6/7<8/9 i ułamek ten nie leży w przedziale <8/9,11/12>. Podobnie wszystkie ułamki 7/8, 7/9, 7/10 są mniejsze od 8/9. Wniosek: nie istnieje ułamek, o który pytają w zadaniu.

Zadanie: jaką resztę z dzielenia przez 8 daje kwadrat każdej liczby naturalnej i nieparzystej? Odpowiedź uzasadnij.

 Posłuchaj tanga w wykonaniu  Katicy https://www.youtube.com/watch?v=hBY4pKP4oBo&list=RDsQqO5YrKiHY&index=18.  Pięknego dnia, Tata