Listy do Irenki: listopada 2017

czwartek, 30 listopada 2017

Piątek, 1.12.17

Kochana Irenko, popatrz na wielki huragan na Jowiszu https://apod.nasa.gov/apod/ap171128.html, sfotografowany przez satelitę Juno. O satelicie pisałem.

Rozwiązanie: załóżmy, że istnieje taki wielościan. Rozważmy ścianę z maksymalną liczbą wierzchołków i oznaczmy liczbę jej wierzchołków przez W. Jeśli wielościan jest wypukły, ściana ta sąsiaduje poprzez wspólne krawędzie z W innymi ścianami, co oznacza, że wielościan ten zawiera, co najmniej, W+1 ścian. Liczba wierzchołków ściany jest równa lub większa od 3 (trójkąt)), więc różnych liczb od 3 do maksymalnej liczby wierzchołków W jest W-2. Oznacza to, że nie uda się przyporządkować W-2 liczb naturalnych, mniejszych lub równych W, dla W+1 ścian bez powtórzeń. Podana sprzeczność dowodzi, że wielościan o własnościach podanych w zadaniu nie istnieje.

Zadanie (trudne): czy wszystkie liczby postaci N*(N+1)*(N+2)*(N+3)+1, gdzie N jest liczbą naturalną, są kwadratami pewnych liczb naturalnych. Wskazówka: gdy N=1, 1*2*3*4+1=25 i 25=5*5, gdy N=2, 2*3*4*5+1=121=11*11, gdy N=3, 3*4*5*6+1=361=19*19.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=e52IMaE-3As (Op. 100) Franza Schuberta. Dużo, dużo zdrowia, Tata

środa, 29 listopada 2017

Czwartek, 30.11.17

Kochana Irenko, w wolnej chwili obejrzyj film o Słońcu https://www.youtube.com/watch?v=w2HTtxL6ugw. Czy Słońce posiada pole magnetyczne?

Rozwiązanie: podnosząc do kwadratu (x+y+z)^2=x*x+y*y+z*z+2*(xy+yz+zx)=4. Ale wiemy, że xy+yz+zx=2, zatem zachodzi

x*x+y*y+z*z+4=4, stąd

x*x+y*y+z*z=0.

Ostatnie równanie może być spełnione tylko wtedy, gdy x=y=z=0, gdyż jeśli suma dodatnich liczb równa się zeru, to liczby te są zerami, co przeczy tezie zadania, że x+y+z=2. Odpowiedź: nie istnieją liczby rzeczywiste, spełniające warunki zadania.

Zadanie (trudne): czy istnieje wielościan wypukły, w którym każda ściana ma inną liczbę wierzchołków? Odpowiedz uzasadnij.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=lCeBwO1XMOw (Op. 97) Ludwiga van Beethovena. Zdrowego, miłego i pogodnego dnia, Tata

wtorek, 28 listopada 2017

Środa, 29.11.17

Kochana Irenko, na stronie dowiesz się, ile planet odkrył Kepler https://www.nasa.gov/mission_pages/kepler/main/index.html. Istnieją też planety swobodne, niezwiązane z żadną gwiazdą, podróżujące przez Mleczną Drogę.

Rozwiązanie: powiększmy prostokąt ABDE tak, aby krawędź równoległa do krawędzi BD przechodziła przez punkt C. Prostokąt ten ma pole większe od pola pięciokąta ABCDE. Trójkąt ACE ma pole równe połowie pola powiększonego prostokąta, skąd dostajemy [ABCDE]<2· [ACE].

Zadanie (trudne): rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby rzeczywiste x, y, z, że

x+y+z =xy+yz+zx=2.

Polecam Ci 8 Symfonię https://www.youtube.com/watch?v=Zegl7_zMj_Q (Op. 93) Ludwiga van Beethovena. Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

poniedziałek, 27 listopada 2017

Wtorek, 28.11.17

Kochana Irenko, w wolnej chwili obejrzyj https://www.youtube.com/watch?v=Gz_k9Gxwe2c, czyli film o odkryciach astronomów amatorów.

Rozwiązanie: n*n=a^4+25*b^4+10*a*a*b*b=(a^4+25*b^4-10*a*a*b*b)+20*a*a*b*b. Ale ostatnia równość ma postać

n*n=(a*a-b*b)^2+5*(2*a*b)^2=A*A+5*B*B, gdzie A=a*a-b*b, B=2*a*b. Czyli n*n też jest liczbą słoneczną.

Zadanie: dany jest taki wypukły pięciokąt ABCDE, że czworokąt ABDE jest prostokątem. Wykaż, że [ABCDE]<2· [ACE]. [ABCDE] oznacza pole pięciokąta, [ACE] pole trójkąta. Zrób rysunek.

Polecam Ci 7 Symfonię https://www.youtube.com/watch?v=-4788Tmz9Zo (Op. 92) Ludwiga van Beethovena. Zdrowego dnia, Tata

niedziela, 26 listopada 2017

Poniedziałek, 27.11.17

Kochana Irenko, popatrz na kolejny odcinek https://www.youtube.com/watch?v=anyJW7u1Euw o połączeniu dwóch gwiazd neutronowych.

Rozwiązanie: zauważ, że jeśli pierwsza liczba jest równa 9, a suma dowolnych 7 kolejnych liczb wynosi 77, to 8 liczba też jest równa 9. Podobnie liczby o numerach 15, 22, 29, 36 … też mają wartość 9. Czyli liczby o numerach o jeden większych, niż pełna wielokrotność cyfry 7 mają wartość 9. Ale 2010=287*7+1, co oznacza, że liczba o numerze 2010 ma wartość 9.

Zadanie: powiemy, ze liczba naturalna n jest liczbą słoneczną, jeżeli n = a*a+5*b*b, gdzie liczby a i b są liczbami naturalnymi. Wykaż, że jeżeli liczba n jest liczbą słoneczną, to liczba n*n też jest liczbą słoneczną.

Polecam Ci utwór napisany na cześć zwycięstwa Księcia Wellingtonu nad Napoleonem Bonaparte pod miejscowością Vittoria https://www.youtube.com/watch?v=R_ibES7i-HU (Op. 91) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

sobota, 25 listopada 2017

Niedziela, 26.11.17

Kochana Irenko, w kościele usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-11-26. Z ewangelii św. Mateusza Ci przemyśl fragment

„Bo byłem głodny, a daliście Mi jeść;

byłem spragniony, a daliście Mi pić;

byłem przybyszem, a przyjęliście Mnie;

byłem nagi, a przyodzialiście Mnie;

byłem chory, a odwiedziliście Mnie;

byłem w więzieniu, a przyszliście do Mnie”. Co fragment ten oznacza?

Rozwiązanie: podstawiając a, b, c wyrażone przez x i y dostaję:

(c-a)*(c-b)/2=2*y*y*(x*x+y*y-2*x*y)/2=y*y*(x-y)*(x-y)=(y*(x-y))^2, co kończy dowód.

Zadanie: w wierszu zapisano kolejno 2010 liczb. Pierwsza zapisana liczba jest równa 9 oraz suma każdych kolejnych siedmiu liczb jest równa 77. Ile może być równa ostatnia z zapisanych liczb?

Polecam Ci na niedzielę 27 Sonatę https://www.youtube.com/watch?v=oLzQbyWfBnY (Op. 90) Ludwiga van Beethovena. Pogodnej i zdrowej niedzieli, Tata

piątek, 24 listopada 2017

Sobota, 25.11.17

Kochana Irenko, zapraszam Cię na bardzo ciekawy film o ogólnej teorii względności. Może nie zrozumiesz równań, które pojawiają się w filmie https://www.youtube.com/watch?v=Vat10W61GDE&index=44&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm, ale dowiesz się, kiedy teoria powstała i kto był jej autorem.

Rozwiązanie: odległości, mierzone liczbą krawędzi 5-kąta, pomiędzy każdym z trzech wierzchołków nie mogą być wszystkie większe od 2. Jedna odległość musi być równa długości 1 krawędzi. Wówczas 3 punkt można umieścić w odległości 1 lub 2 od jednego z wybranych 2 wierzchołków. Innej możliwości nie ma. W pierwszym oraz w drugim przypadku trójkąty są równoramienne.

Zadanie: dane są dodatnie liczby całkowite a, b, c, spełniające równość a*a+b*b=c*c. Wykaż, że liczba (c−a)*(c−b)/2 jest kwadratem liczby całkowitej. Np. dla liczb 3*3+4*4=5*5 liczba (5-3)*(5-4)/2=1 jest kwadratem 1. Wskazówka: sprawdź, że liczby postaci

a=x*x-y*y,

b=2*x*y,

c=x*x+y*y, gdzie x i y są liczbami naturalnymi, x>y, spełniają równość a*a+b*b=c*c.

Polecam Ci polonez https://www.youtube.com/watch?v=0zV_OUXODMw (Op. 89) Ludwiga van Beethovena. Pogodnej i zdrowej soboty, Tata

czwartek, 23 listopada 2017

Piątek, 24.11.17

Kochana Irenko, zapraszam Cię na film o Bohdanie Paczyńskim https://www.youtube.com/watch?v=sKpcCqeasw0&index=46&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm, wybitnym badaczu kosmosu.

Rozwiązanie: jeśli c jest liczbą pierwszą i c>2, to c*c+3 jest liczbą parzystą. Wówczas lewa strona może być liczbą parzystą tylko, gdy a=b=2. Zatem tylko trójka (2,2,3) spełnia warunki zadania. Jeśli c=2, to nie istnieją takie a>1 i b>1, że a*a+a*b+b*b=7. Liczby pierwsze są większe od 1!

Zadanie: udowodnij, że dowolne 3 wierzchołki 5-kąta foremnego tworzą trójkąt równoramienny (dwa boki równe, trzeci może być różny). https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielok%C4%85t_foremny

Polecam Ci trio https://www.youtube.com/watch?v=30IYA1-9jRM (Op. 87) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

środa, 22 listopada 2017

Czwartek, 23.11.17

Kochana Irenko, pisałem Ci, że ciemna materia przyciąga galaktyki, ale jej nie widać. Dzisiaj popatrz na film o brakującej materii barionowej https://www.youtube.com/watch?v=BQAl0Dz029s. Co to jest materia barionowa? Kiedy było jej więcej – teraz czy dawno temu?

Rozwiązanie: jeśli liczba ma n cyfr a, b, …, c, d, to na mocy warunków zadania zachodzi równość

ab…cd=a*10^(n-1)+b….cd=k*b….cd. Np. 321=3*10^2+21. Stąd zachodzi,

a*10^(n-1) =(k-1)*b….cd=a(2*5)^(n-1).

Liczba b…cd nie zawiera zer, więc w rozkładzie na czynniki pierwsze może zawierać tylko 5 lub 2 (10=2*5), ale nie zawiera 5 i 2 razem. Liczba k-1 <10 i największa liczbą zawierającą w rozkładzie 2 jest 8. Zatem k-1=8, b…cd=5^3=125, a=1. Stąd szukaną liczbą o podanych własnościach jest liczba 4-cyfrowa 1125. Rzeczywiście 1125/125=9.

Zadanie: wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb pierwszych, dla których spełniona jest równość a*a+a*b+b*b =c*c+3.

Polecam Ci uwerturę https://pl.wikipedia.org/wiki/Muzyka_do_Egmonta_(Beethoven) muzyki napisanej do sztuki Goethego Egmont https://www.youtube.com/watch?v=ChcrZX2rZ1M (Op. 84) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego dnia, Tata

wtorek, 21 listopada 2017

Środa, 22.11.17

Kochana Irenko, czym jest ciemna materia we Wszechświecie? Dowiesz się z kolejnego filmu https://www.youtube.com/watch?v=b7TNSdztch8. Kiedy pojawił się problem ciemnej materii? W jaki sposób ciemna materia jest poszukiwana? Czy ustalono, czym jest ciemna materia?

Rozwiązanie: zachodzi p*p-1=(p-1)*(p+1). Zbadajmy podzielność tego iloczynu. Ponieważ p jest liczbą pierwszą, to po podzieleniu przez 3 daje resztę 1 lub 2. Jeśli reszta wynosi 1, to p-1 dzieli się przez 3, jeśli 2, to p+1 dzieli się przez 3. Zatem jedna z liczb p-1 lub p+1 dzieli się przez 3. Liczba pierwsza p po podzieleniu przez 4 daje resztę 1 lub 3. Dlaczego nie daje reszty 2? Jeśli reszta wynosi 1, to p-1 dzieli się przez 4, a p+1 dzieli się przez 2. Jeśli reszta wynosi 3, to p-1 dzieli się przez 2, a p+1 dzieli się przez 4. Zatem liczba p*p-1 dzieli się przez 2*4*3=24.

Zadanie: znajdź największą liczbę n-cyfrową ab…cd, n>2, o niezerowych cyfrach a, b,…., c, d, dla której liczba b…cd (bez pierwszej cyfry a) jest podzielnikiem tej liczby ab…cd.

Polecam Ci krótką rzecz o nadziei https://www.youtube.com/watch?v=Yc4FDmvwDXM (Op. 82) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego i radosnego dnia, Tata

Wtorek, 21.11.17

Kochana Irenko, wczoraj pisałem Ci o Wszechświecie i pytałem, z jaką prędkością oddalają się od nas galaktyki odległe 13.6 miliarda lat świetlnych. Odpowiedź: z prędkością światła. Jeśli odległość do krańców widzialnego Wszechświata podzielić na około 4200 części, to prędkość galaktyk w odległości 3.26 miliona lat świetlnych jest równa prędkości światła podzielonej na 4200, czyli 300000 km/s/4200=72 km/s. Prędkość tę nazywa się stałą Hubble. Podział na 4200 części jest umowny a jednostka nazywa się megaparsekiem.

Rozwiązanie: z warunku zadania zachodzi a*a-b*b=c, stąd (a-b)*(a+b)=c. Widać, że jeśli c jest liczbą pierwszą, to musi zachodzić a-b=1. Dlaczego zachodzi a+b>1? Ale to oznacza, że a=b+1. Jeśli b jest liczbą pierwszą większą od 2,to musi być liczbą nieparzystą i wówczas liczba a jest byłaby liczbą parzystą, większą od 2, co jest sprzeczne z założeniem zadania. Zatem b musi być równe tylko 2. Wówczas jedynym rozwiązaniem jest a=3, b=2, c=5.

Zadanie (trudne): udowodnij, ze dla każdej liczby pierwszej p, większej od 3 liczba p*p−1 jest podzielna przez 24.

Polecam Ci 26 sonatę na fortepian https://www.youtube.com/watch?v=PlJGliWCDVc (Op. 81) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

niedziela, 19 listopada 2017

Poniedziałek, 20.11.17

Kochana Irenko, polecam Ci bardzo ciekawy film o Wszechświecie https://www.youtube.com/watch?v=eB2Eg38OhZ0. Czy galaktyki oddalają się od siebie, czy przybliżają? Jak szybko porusza się galaktyka względem nas, gdy odległość do niej wynosi 13.6 miliardów lat świetlnych?

Rozwiązanie: sprawdźmy dla jednej dziewiątki, czyli dla 91: 91=100-9=10*10-3*3=(10-3)*(10+3), co oznacza, że liczba jest złożona. Skorzystaliśmy ze wzoru a*a-b*b=(a-b)*(a+b). Popatrzmy dla trzech 9, czyli 9991=10000-9=10^2-3^2=(100-3)*(100+3). Widzisz, że sztuczkę tę można zawsze wykonać dla nieparzystej liczby 9.

Zadanie (trudne): wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych a, b, c, dla których

a*a =b*b+c.

Polecam Ci fantazję na fortepian https://www.youtube.com/watch?v=sIGtWjlHemg (Op. 80) Ludwiga van Beethovena. Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 19.11.17

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz następujące czytania http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-11-19. Zastanów się nad przypowieścią o talentach ze św. Mateusza. Co ona oznacza?

Rozwiązanie: liczbę n*n+n+1 można zapisać w postaci n*n+2*n+1-n=(n+1)*(n+1)-n. Widać, że liczba ta jest mniejsza od liczby będącej kwadratem (n+1)^2 o n oraz większa od od liczby n*n o n+1. Nie może zatem liczba ta być nigdy kwadratem innej liczby naturalnej.

Zadanie (trudne): czy istnieje liczba pierwsza postaci 999...91, gdzie cyfra 9 wystepuje nieparzystą liczbę razy? Wskazówka: skorzystaj ze wzoru a*a-b*b=(a-b)*(a+b).

Polecam Ci 25 sonatę fortepianową https://www.youtube.com/watch?v=VgPIARFhMfA (Op. 79) Ludwiga van Beethovena. Pięknej i pogodnej niedzieli, Tata

piątek, 17 listopada 2017

Sobota, 18.11.17

Kochana Irenko, z wczorajszego filmu o kwazarach dowiedziałaś się, że są oddalone od nas o 13 miliardów lat świetlnych. Bardzo ciekawą informacją jest, że w Polsce prowadzi się ich obserwacje w Gorcach, na Suhorze. A jeszcze ciekawszą informacją jest, że kwazar ma niewielkie rozmiary, ot taki Układ Słoneczny. Dowiedziałaś się, że nie jest jasne, dlaczego dzisiaj wokół nas kwazarów nie widać.

Rozwiązanie: jeśli przyjąć za n=a*b, to zachodzi

(a+a*b)*(b+a*b)=a*(1+b)*b*(1+a)=[a*b]*[(a+1)*(b+1)].

Jak wynika z warunków zadania, ostatnie dwa iloczyny w nawiasach kwadratowych są kwadratami liczb naturalnych, a iloczyn kwadratów jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Zadanie (trudne): wykaż, ze nie istnieje liczba naturalna n, dla której liczba n*n+n+1 jest kwadratem liczby całkowitej.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=_wHH-p3Zvmc sonatę fortepianową (Op. 78) Ludwiga van Beethovena. Pięknego i pogodnego dnia, Tata

czwartek, 16 listopada 2017

Piątek, 17.11.17

Kochana Irenko, czym są kwazary, dowiesz się z filmu https://www.youtube.com/watch?v=_Uqc_ngDuR4. Czy są to gwiazdy? Co oznacza słowo quazar? Jak daleko są od nas położone?

Rozwiązanie: jeśli każdy kąt wielościanu jest prosty lub rozwarty to oznacza, że do każdego wierzchołka schodzą się dokładnie 3 krawędzie (tak, jak w sześcianie). Niech ilość wierzchołków wynosi W. Wówczas mnożąc liczbę wierzchołków W przez 3 otrzymamy liczbę krawędzi, ale podwojoną. Dlaczego? Dlatego, że każdą krawędź liczyliśmy podwójnie, z dwóch wierzchołków. Zachodzi więc równanie 3*W=2*100=200. Ale nie istnieje liczba naturalna W spełniająca to równanie, gdyż 200 nie dzieli się przez 3.

Zadanie (trudne) : dane są takie dodatnie liczby całkowite a i b, że każda z liczb a*b oraz (a+1)*(b+1) jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, ze istnieje taka liczba całkowita

n > 1, dla której liczba (a+n)(b+n) jest kwadratem liczby całkowitej.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=Gz2LjXuVIn0 fantazję (Op. 77) Ludwiga van Beethovena. Pięknego dnia, Tata

środa, 15 listopada 2017

Czwartek, 16.11.17

Kochana Irenko, wczoraj pisałem Ci i poleciłem film o Proxima Centaurii. Gwiazda ta jest znacznie mniejsza od Słońca, jest tzw. czerwony karzeł https://pl.wikipedia.org/wiki/Proxima_Centauri. Wokół gwiazdy krąży planeta Proxima b. Czy wiesz, w jaki sposób planetę wykryto?

Rozwiązanie: dla d=2 dowód jest bardzo prosty: jeśli suma i iloczyn dwóch naturalnych liczb są parzyste, to liczby te też są parzyste. Udowodnimy tezę zadania dla d>2. Ponieważ a+d dzieli się przez d, to liczba (a+b)^2 dzieli się przez d*d, zatem (a+b)^2-4*a*b=(a-b)^2 też dzieli się przez d*d, jako różnica dwóch liczb podzielnych przez d*d. Stąd wynika, że a-b dzieli się przez d. Jeśli a+b i a-b dzielą się przez d, to ich suma 2*a dzieli się przez d i różnica 2*b też dzieli się przez d. Ponieważ d>2, więc a i b muszą dzielić się przez d.

Zadanie (trudne): czy istnieje taki wielościan wypukły, ze każdy kąt wewnętrzny jego każdej ściany pomiędzy krawędziami (kąt pomiędzy bokami wielokąta, tworzącego ścianę) jest prosty lub rozwarty i który ma dokładnie 100 krawędzi? Odpowiedz uzasadnij.

Posłuchaj sześciu mistrzowskich wariacji na fortepian wykonanych przed 60 laty przez Światosława Richtera https://www.youtube.com/watch?v=dhdWnDDC858 (Op. 76) Ludwiga van Beethovena. Radosnego, pogodnego i zdrowego dnia, Tata

wtorek, 14 listopada 2017

Środa, 15.11.17

Kochana Irenko, kilka dni temu pisałem Ci o njbliższej gwieździe Proxima Centauri. Dzisiaj zapraszam Cię na film o Proximie https://www.youtube.com/watch?v=Za8fsyzOK-M. Czy Proxima jest podobna do Słońca? Jak dużą planetę odkryto na orbicie Proximy?

Rozwiązanie: liczba 2^n (2^n oznacza 2 podniesione do potęgi n) nie dzieli się przez 3 (dlaczego), zatem jej suma cyfr też nie dzieli się przez 3. Jeśli zmienić w tej liczbie kolejność cyfr, to ich suma nie ulegnie zmianie. Zatem po dowolnym przestawieniu cyfr liczby 2^n, ta nowa liczba nie dzieli się także przez 3 i nie może być zapisana w postaci 3^m.

Zadanie (trudne): dane są liczby naturalne a, b, d. Wiadomo, ze liczba a+b jest podzielna przez d, a liczba a*b jest podzielna przez d*d. Udowodnij, ze każda z liczb a i b jest podzielna przez d.

„Czy znasz ten kraj” https://www.youtube.com/watch?v=WvLfCwkSJMg (Op. 75) Ludwiga van Beethovena. Radosnego i zdrowego dnia, Tata

Wtorek, 14.11.17

Kochana Irenko, z wczorajszego filmu dowiedziałaś się, że pulsarami nazywamy gwiazdy neutronowe obracające się dokoła własnej osi ok. 1000 razy na sekundę. Załóż, że promień pulsara wynosi 15 km, zaś obwód równika jest 6 razy większy od promienia. Oblicz, jaka jest prędkość na równiku. Prędkość światła 300000 km/s.

Rozwiązanie: romb ma 2 osie symetrii (przekątne), kwadrat 4 (przekątne+linie łączące środki przeciwległych boków). Narysuj je.

Zadanie: czy istnieje liczba naturalna n taka, że w liczbie 2^n można tak przestawić cyfry, że liczba ta, po przestawieniu cyfr, da się zapisać jako 3^m, gdzie m to pewna liczba naturalna?

Zapraszam Cię na 10 kwartet smyczkowy https://www.youtube.com/watch?v=exMaWKVcCEs (Op. 74) Ludwiga van Beethovena. Radosnego i pogodnego dnia, Tata

poniedziałek, 13 listopada 2017

Poniedziałek, 13.11.17

Kochana Irenko, kilka dni temu pisałem Ci o gwiazdach neutronowych. Czy można je wykryć? Jeśli gwiazda neutronowa kręci się dokoła własnej osi, emituje promieniowanie radiowe. Nazywana jest pulsarem. O pulsarach obejrzyj niedługi film https://www.youtube.com/watch?v=90lm3wcWoa8.

Rozwiązanie: tak. Jeśli n=a*a+b*b, to dla A=2*a i B=2*b zachodzi 4*n=A*A+B*B (sprawdź).

Zadanie: ile osi symetrii ma romb, a ile kwadrat?

Polecam Ci koncert fortepianowy https://www.youtube.com/watch?v=7EcERd6E0ws&t=840s (Op. 73) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pięknego dnia, Tata

niedziela, 12 listopada 2017

Niedziela, 12.11.17

Kochana Irenko, w kościele usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-11-12. Z Księgi Mądrości dowiesz się, że „Mądrość jest wspaniała i nie więdnie, ci łatwo ją dostrzegą, którzy ją miłują, ci ją znajdą, którzy jej szukają, uprzedza bowiem tych, co jej pragną, wpierw dając się im poznać.”. Co znaczą te słowa?

Rozwiązanie: z faktu, że dla liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność a>b nie wynika, że zachodzi nierówność a*a>b*b. Np. jeśli -1>-2, to nie jest prawdą, że 1>4, gdyż (-1)*(-1)=1 oraz (-2)*(-2)=4.

Zadanie: liczbę n można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych n=a*a+b*b. Czy wynika z tego, ze w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych można przedstawić także liczbę 4*n?

Polecam Ci wstęp do https://www.youtube.com/watch?v=dRhwyzJABvI (Op. 72) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pięknej niedzieli, Tata

piątek, 10 listopada 2017

Sobota, 11.11.17

Kochana Irenko, popatrz na piękną galaktykę spiralną widzianą z boku https://apod.nasa.gov/apod/ap171109.html. Ustal jak wielka jest galaktyka i jak daleko od nas odległa.

Rozwiązanie: bok w sześcianie A jest 2 razy mniejszy od boku sześcianu B (pole ściany mniejsze 4 razy), zatem objętość sześcianu A jest 2*2*2=8 razy mniejsza niż B.

Zadanie: liczby rzeczywiste a i b spełniają nierówność a>b. Czy wynika z tego nierówność a*a>b*b. Wskazówka: iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

np. (-3)*(-3)=9.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=kAOHnDmoew8 (Op. 71) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pięknej soboty, Tata

Piątek, 10.11.17

Kochana Irenko, wczoraj pisałem Ci o gwieździe Proxima Centauri, otoczonej chmurą gazu https://www.eso.org/public/news/eso1735/. Przetłumacz tekst “The dust around Proxima is important because, following the discovery of the terrestrial planet Proxima b, it’s the first indication of the presence of an elaborate planetary system, and not just a single planet, around the star closest to our Sun”. Czy wokół gwiazdy istnieją planety? Jeśli tak, to jak się nazywają?

Rozwiązanie: aby liczba naturalna n była podzielna przez wszystkie liczby od 1 do 9 wystarczy, że będzie miała (sprawdź) w rozkładzie na iloczyn liczb pierwszych postać: n=2^3*3^2*5*7 (oznaczenie: 2^3=2*2*2). Jest to najmniejsza liczba spełniająca warunki zadania. Liczba ta dzieli się przez 10=2*5, nie dzieli się przez 27=3*3*3 i jest mniejsza od iloczynu 1*2*…*9.

Zadanie: pole powierzchni sześcianu A jest 4 razy mniejsze od pola powierzchni sześcianu B. Ile razy objętość sześcianu A jest mniejsza od objętości sześcianu B?

Polecam Ci trio https://www.youtube.com/watch?v=ReZeyI8Z5wk (Op. 70) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pięknego dnia, Tata

środa, 8 listopada 2017

Czwartek, 9.11.17

Kochana Irenko, wczoraj pisałem Ci o możliwości podróży i zbadania najbliższej gwiazdy. A jak wygląda najbliższa gwiazda? Przed kilkoma dniami doniesiono, że Alfa Centauri otoczona jest chmurą gazu, jak na zdjęciu https://www.eso.org/public/news/eso1735/.

Rozwiązanie: jeśli każda cyfra jest równa 0 lub 7, to liczba ta dzieli się przez 7. Np. 7007007=7*1001001. Liczba składająca się tylko z cyfr 2 i 5 dzieli się przez 2 lub przez 5. Natomiast liczba może składać się tylko z 1 i 3 i być liczba pierwszą: np. 131 lub 313.

Zadanie: dodatnia liczba całkowita n jest podzielna przez każdą z następujących dziewięciu liczb: 1,2,3, . . . , 9. Czy wynika z tego, że liczba n jest a) podzielna przez 10; b) podzielna przez 27; c) większa lub równa 1·2·3· . . . · 9?

Polecam Ci III Sonatę https://www.youtube.com/watch?v=GFfGHUiuous (Op. 69) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pogodnego i radosnego dnia, Tata

wtorek, 7 listopada 2017

Środa, 8.11.17

Kochana Irenko, czy możemy wysłać statki kosmiczne do odległych gwiazd, skoro do najbliższej światło podróżuje ok. 4 lat? Na stronie znajdziesz odpowiedź. https://breakthroughinitiatives.org/Initiative/3. Można zbudować dużo malutkich stateczków i próbować rozpędzić je z Ziemi za pomocą światła laserowego. Czy taki pomysł ma szansę realizacji? Zastanów się.

Rozwiązanie: zauważ, że trzy różnice liczb pierwszych x=b-a, y=c-b i z=c-a są podzielne przez 2, każda z osobna. Zachodzi ponadto x+y=z. Załóżmy, że liczby x i y nie dzielą się przez 4. Dla liczb parzystych x i y reszty z dzielenia przez 4 wynoszą wówczas 2 (sprawdź). Zatem ich suma dzieli się przez 4. Widać, że zawsze jedna z liczb x,y,z dzieli się przez 4. Liczba pierwsza po podzieleniu przez 3 może dawać resztę 1 lub 2. Oznaczę w nawiasach możliwe reszty z dzielenia przez 3 liczb pierwszych a,b,c: (222),(221),(211),(111). Innych możliwości nie ma. Zauważ, że w każdej trójce istnieje para liczb pierwszych mająca taką samą resztę z dzielenia przez 3. Różnica tych liczb dzieli się przez 3, czyli jedna z liczb x,y,z dzieli się przez 3. Wykazaliśmy, że x*y*z dzieli się przez 2*2*4*3=48.

Zadanie: czy istnieje liczba pierwsza p>13 o tej własności, ze każda cyfra liczby p jest równa a) 0 lub 7; b) 1 lub 3;c) 2 lub 5?

Polecam Ci VI Symfonię https://www.youtube.com/watch?v=t2VY33VXnrQ (Op. 68) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pogodnego i radosnego dnia, Tata

Wtorek, 7.11.17

Kochana Irenko, pisałem Ci wczoraj, że spore poruszenie wywołał meteor przelatujący przez Układ Słoneczny z dużą prędkością https://apod.nasa.gov/apod/ap171103.html. Ustalono na podstawie znajomości jego prędkości (ok. 26 km/sek.), że jego orbita nie jest związana z Układem Słonecznym, co oznacza, że więcej nie powróci. „Though an interstellar origin has been established based on its orbit, it is still unknown how long the object could have drifted among the stars of the Milky Way”.

Rozwiązanie: podnosząc do kwadratu pierwszą równość

(3*a+4*b)^2=9*a*a+16*b*b+24*a*b=9*c*c

oraz drugą

(4*a-3*b)^2=16*a*a+9*b*b-24*a*b=16*c*c. Następnie dodając stronami mamy

25*a*a+25*b*b=25*c*c. Po podzieleniu stron przez 25 otrzymujemy równość

a*a+b*b=c*c.

Zadanie (trudne): liczby pierwsze a, b, c są większe od 3. Udowodnij, że liczba (b−a)(c−b)(c−a) jest podzielna przez 48. Np. dla liczb pierwszych 5,7,11 liczba

(11-7)(11-5)(7-5)=4*6*2=48 dzieli się przez 48.

Polecam Ci V Symfonię https://www.youtube.com/watch?v=1lHOYvIhLxo (Op. 67) Ludwiga van Beethovena. Życzę Ci pięknego i radosnego dnia, Tata

niedziela, 5 listopada 2017

Poniedziałek, 6.11.17

Kochana Irenko, w 2017 roku wykryto w Układzie Słonecznym obiekt nazwany A/2017 U1 https://apod.nasa.gov/apod/ap171103.html. Ustal, z jaką poruszał się prędkością.

Rozwiązanie: jeśli obaj bracia zjedli ½ +1/4=3/4 torby cukierków, to pozostała ¼ torby. Stąd łatwo policzyć, że cała torba zawierała 4*4=16 cukierków.

Zadanie (trudne): liczby a, b, c spełniają zależności 3a+4b=3c oraz 4a−3b=4c .Wykaż, że zachodzi a*a+b*b =c*c.

Posłuchaj 12 wariacjihttps://www.youtube.com/watch?v=5aoBmZk2glY Op. 66, L. van Beethovena. Życzę Ci pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 5.11.17

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-11-05. Zwróć uwagę na werset z ewangelii św. Mateusza „Największy z was niech będzie waszym sługą. Kto się wywyższa, będzie poniżony, a kto się poniża, będzie wywyższony.” Co oznaczają te słowa?

Rozwiązanie: suma liczb 1+2+3+4+5+6=21. Każde odjęcie powoduje zmniejszenie tej liczby o liczbę parzystą, a wynikiem jest liczba nieparzysta. Np. 1+2-3+4+5+6=15. Widać, że liczby 12 nigdy nie otrzymamy w wyniku dodawania lub odejmowania liczb od 1 do 6.

Zadanie: dwaj bracia dostali paczkę cukierków. Starszy brat zjadł pół paczki cukierków. Następnie młodszy brat zjadł połowę z tego, co pozostało. Ile cukierków było w paczce na początku, jeśli na koniec zostały w niej 4 cukierki?

Polecam Ci uwerturę Coriolan https://www.youtube.com/watch?v=Vvn2oGyji8s Op. 62, L. van Beethovena. Kim był Coriolan? Spójrz na streszczenie https://pl.wikipedia.org/wiki/Uwertura_Coriolan. Życzę Ci pogodnej niedzieli, Tata

sobota, 4 listopada 2017

Sobota, 4.11.17

Kochana Irenko, popatrz na orionidy, meteory nadlatujące z konstelacji Oriona https://apod.nasa.gov/apod/ap171030.html. Zwykle widoczne w październiku.

Rozwiązanie: zauważ, że trójkąty FBC i EAF są równoramienne. Ponieważ kąt pięciokąta przy wierzchołku B i A wynoszą 108 stopni, to kąty FBC i EAF maja po 108-60=48 stopni. Zatem kąt EFC ma 60+180-48=172 stopni.

Zadanie: w miejsce każdej gwiazdki w napisie 6*5*4* 3*2 *1 wstawiamy znak „+” albo „–” , a następnie wykonujemy otrzymane działania. Którego wyniku z podanych liczb (12, 13, 15, 17, 19) nie możemy w ten sposób otrzymać?

Polecam Ci koncert skrzypcowy https://www.youtube.com/watch?v=gIdqiis3Mts Op. 61, L. van Beethovena. Życzę Ci zdrowej i pogodnej soboty, Tata

piątek, 3 listopada 2017

Piątek, 3.11.17

Kochana Irenko, czy patrzyłaś na wczorajszą pajęczynę https://apod.nasa.gov/apod/ap171031.html. Czy dostrzegasz, że ciemnej pajęczyny jest więcej niż jasnych galaktyk?

Rozwiązanie: 4 krawędzie w prostopadłościanie maja jednakową długość, więc 4*(12+8+x)=108, gdzie przez x oznaczyłem długość trzeciej, nieznanej krawędzi. Stąd łatwo znaleźć, że x=7 (4*27=108).

Zadanie: Wewnątrz pięciokąta foremnego ABCDE obrano punkt F w taki sposób, że trójkąt ABF jest równoboczny. Oblicz miarę kąta CFE (w pięciokącie foremnym wszystkie boki są równej długości, a wszystkie kąty mają miarę 108 stopni). Zrób rysunek.

Polecam Ci 4 Symfonię https://www.youtube.com/watch?v=ctBqW5e16YM Op. 60, L. van Beethovena. Życzę Ci zdrowego i pięknego dnia, Tata

czwartek, 2 listopada 2017

Czwartek, 2.11.17

Kochana Irenko, popatrz na tę pajęczynę https://apod.nasa.gov/apod/ap171031.html. Tak wygląda rozmieszczenie ciemnej materii we Wszechświecie. Jest to materia, której według współczesnej definicji nie widać, ale przyciąga inne galaktyki. To przyciąganie można obserwować poprzez zmianę ruchu.

Rozwiązanie: wiemy z definicji średniej arytmetycznej, że (2+a)/2=3, stąd a=4. Wiemy też, że (2+a+b)/3=4, stąd b=6. Ponieważ znany jest obwód 2+a+b+c=20, stąd c=8.

Zadanie: suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu wynosi 108 cm. Długości dwóch krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka wynoszą odpowiednio: 12 cm i 8 cm. Jaką długość ma trzecia krawędź wychodząca z tego samego wierzchołka?

Polecam Ci 9 kwartet smyczkowy dedykowany Razumowskiemu (ostatni) https://www.youtube.com/watch?v=bq5c9rxkRpc Op. 59, No 3, L. van Beethovena. Życzę Ci zdrowego dnia, Tata