Kochana Irenko, trzymam
za Ciebie kciuki w czasie dzisiejszego Kangura. Zadania z poprzednich Kangurów
mogłaś znaleźć w moich listach, wraz z rozwiązaniami. Rozwiązania starałem się
podawać szczegółowe i przejrzyste. Sama ocenisz, czy mi się udało. Matematyczne
rozumowania uczą logicznie myśleć i dlatego są
bardzo ważne w szkolnej edukacji. Uczeń powinien więcej myśleć i
kombinować, niż wkuwać fakty rozproszone i niepowiązane wzajemnie. Po Kangurze
zadzwoń, opowiesz jak było.
Rozwiązanie:
jeśli p-1 dzieli się przez q i p+1 dzieli się przez q, to można zapisać p-1=n*q
i p+1=m*q, gdzie n i m są liczbami naturalnymi. Dodając te równania stronami
dostajemy p+1+p-1=n*q+m*q=(n+m)*q=2*p. Jak rozwiązać to równanie, jeśli p i q
są liczbami pierwszymi? Mogą być dwa rozwiązania:
q=2 i p=n+m lub
p=q i n+m=2.
Ostatnie rozwiązanie należy jednak odrzucić , gdyż przy n=1 i m=1 prowadzi do
sprzeczności. Pierwsze zaś rozwiązanie prowadzi do (p-1)*(p+1)=42*4=168.
Zauważ, że dla p=13 otrzymujemy rozwiązanie (13-1)*(13+1)=42*4 (sprawdź).
Możemy następnie założyć,
że p-1 dzieli się przez q*q. Ale wówczas p+1 dzieli się przez podzielnik liczby
42. Dla p+1=42, skąd p=41. Ale p-1=40 nie jest kwadratem liczby
naturalnej. Założenie, że p+1=14, stąd p=13. Ale ten przypadek już znaleźliśmy.
Dla p+1=7, stąd p=6 i p-1=5 powinno dzielić się przez 3*q*q. Ale 5 nie dzieli
się przez 3, więc ten przypadek odrzucamy.
Pozostałe przypadki także nie mają rozwiązań. Zatem jedynym rozwiązaniem
są p=13 i q=2.
Zadanie: wyspę
zamieszkują prawdomówni i kłamcy. Prawdomówni zawsze mówią prawdę, a kłamcy
zawsze kłamią. 25 mieszkańców tej wyspy ustawiło się w kolejkę. Każda osoba z
kolejki, z wyjątkiem pierwszej, powiedziała: osoba stojąca bezpośrednio przede mną to kłamca, natomiast osoba
stojąca, jako pierwsza w kolejce powiedziała: wszyscy stojący za mną to kłamcy. Ilu kłamców stało w tej
kolejce?
Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=OEJgiqHUfFI
wstęp Antonia
Vivaldiego do RV-639. Twórczość Rudzielca jest bardzo bogata. Jak zwykle wieczorem odwiedzę Cię. Bardzo,
bardzo mocno Cię kocham, Tata
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz