Piątek, 01.06.18

Piątek, 01.06.18

Kochana Irenko, polecam Ci najnowszy 61 odcinek astronarium, poświęcony kosmicznym śmieciom https://www.youtube.com/watch?v=yNqOTJBJ4v0.

Rozwiązanie: 16=4*4=2*8, 225=15*15=3*5*3*5. Widać, że dwie najmniejsze liczby naturalne (różne) to 2 i 8. Dwie największe (różne i większe od 8) to 3*3=9 i 5*5=25. Innej możliwości nie ma. Ponieważ pomiędzy 8 i 9 nie istnieje liczba naturalna, więc na tablicy napisano tylko 4 liczby: 2,8,9,25, a ich suma wynosi 44.

Zadanie 26, Kadet 2016:  pociąg ma 5 wagonów. W każdym wagonie znajduje się co najmniej jeden pasażer. Dwóch pasażerów nazywamy sąsiadami, jeśli siedzą w tym samym wagonie albo w dwóch kolejnych wagonach. Wiadomo, że każdy pasażer w tym pociągu ma dokładnie 5 lub dokładnie 10 sąsiadów. Ilu pasażerow podrożuje tym pociągiem?

Zapraszam Cię na  10 Symfonię  14-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=CWDFwjTvXZU. Radosnego   dnia, Tata

Czwartek, 31.05.18

Czwartek, 31.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-05-31. Czy wybierasz się na procesję?

Rozwiązanie: jeśli miary kątów (wyrażone w stopniach) oznaczyć przez a,b,c to zachodzą dwie relacje

a+c=180-b oraz
a<b<c.
Natychmiast widać, ze b nie może być większe lub równe  90, gdyż a+c=180-90=90, ale c>b=90, co prowadzi do sprzeczności. Rozwiązaniem optymalizującym jest  b=89, a=1,c=90. Najmniejsza wartość a+c=91.

Zadanie 23, Kadet 2016: na tablicy napisano kilka różnych liczb naturalnych. Iloczyn dwóch najmniejszych jest równy 16, iloczyn dwóch największych jest równy 225. Ile wynosi suma liczb napisanych na tablicy?

Zapraszam Cię na  11 Symfonię  14-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=7IdcNE3Bb_w. Pełnego zdrowia  dnia, Tata

Środa, 30.05.18

Środa, 30.05.18

Kochana Irenko, popatrz na zdjęcia przysłane przez sondę Cassini, która przysyłała zdjęcia z okolic Saturna https://www.youtube.com/watch?v=nDCEOmIcOxI&t=558s.

Rozwiązanie: zauważ, że startując  z trzeciej i czwartej cyfry ciągu 6,8 dostajemy okresowy ciąg 6,8,8,4,2,8, 6,8,8,4,2,8, 6, … o długości okresu 6 (sprawdź). Skracając ciąg o dwie początkowe cyfry 2,3, nie należące do okresu, pytamy: - jaka jest reszta liczby 2018-2=2016 z dzielenia przez 6? Otóż 2016 dzieli się przez 2 i przez 3, dlatego dzieli się przez 6. Stąd 2018-ta cyfra rozważanego ciągu jest taka sama jak ostatnia cyfra okresu, a ta wynosi 8. Jak długi okres ma ciąg zaczynający się cyframi 2,7?

Zadanie: liczby stopni kątów trójkąta są trzema różnymi liczbami naturalnymi. Jaka jest najmniejsza suma miar największego i najmniejszego kąta?

Zapraszam Cię na  12 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=FCa2XuclmFI. Młody Mozart komponował symfonie w różnych miastach Europy.  Symphony No. 13 has been  composed in Salzburg and dated July 1771.  Radosnego i pełnego zdrowia  dnia, Tata

Wtorek, 29.05.18

Wtorek, 29.05.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś zdjęcie, które poleciłem Ci wczoraj. Jak daleko są położone rejony Wszechświata dostępne obserwacyjnie? Jakiego typu są to obserwacje?

Rozwiązanie: jednocześnie można zobaczyć maksymalnie 3 ściany dużego sześcianu, każda po 25 sztuk, razem 75 sztuk. Ale 3 krawędzie, zbiegające do jednego widocznego narożnika,  zostały policzone dwukrotnie, zatem należy je odjąć 3*4=12, oraz narożnik, policzony 3 razy, należy odjąć 2. Widocznych jest maksymalnie 75-12-2=61 kostek.

Zadanie (trudne): ciąg 2,3,6,8,8 został otrzymany w ten sposób, że każda następna cyfra jest cyfrą jedności iloczynu dwóch poprzednich. Jaka jest 2018 cyfra w tym ciągu? Wskazówka: policz następne wyrazy ciągu i ustal prawidłowości.

Zapraszam Cię na  13 Symfonię  Mozarta, niewiele wówczas starszego od Ciebie,  https://www.youtube.com/watch?v=mfVWOcOWn84. Symphony No. 13 has been  composed in Milan and dated November 2, 1771, when Mozart was fifteen years old.  Pogodnego i radosnego dnia, Tata

Poniedziałek, 28.05.18

Poniedziałek, 28.05.18

Kochana Irenko, popatrz, jak  wygląda Wszechświat APOD: 2018 May 8 - The Observable Universe.

Rozwiązanie: liczbami pierwszymi są 2 i 5. Pozostałe liczby pierwsze, z definicji, nie mają w rozkładzie cyfr 2 i 5. Zatem iloczyn 2018 początkowych liczb pierwszych ma jedno zero na końcu.

Zadanie: sześcian o wymiarach 5×5×5 został zbudowany przez sklejenie ze sobą 125 identycznych kostek jednostkowych. Kładziemy sześcian na podłodze. Ile maksymalnie kostek jednostkowych możemy zobaczyć?

Zapraszam Cię na  14 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=Qv0k9gx_FKI. Symphony No. 14 in A major, K. 114, is a symphony composed by Wolfgang Amadeus Mozart on December 30, 1771, when Mozart was fifteen years old, and a fortnight after the death of the Archbishop Sigismund von Schrattenbach. The symphony is scored for two flutes, two oboes, two horns and strings.  Pogodnego i radosnego dnia, Tata

Niedziela, 27.05.18

Niedziela, 27.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12 usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-05-27.

Rozwiązanie: 1664=4*4*4*2*13. Ponieważ 13 występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze jeden raz, istnieje wiek dziecka będący wielokrotnością 13, np. 13 lat. Wówczas dzieci muszą być starsze lub młodsze od 13 lat. Jeśli warunki zadania są spełnione, to dzieci mają 2*4=8, 13, 4*4=16 lat i suma ich lat wynosi 8+16+13=37.

Zadanie: ile zer ma na końcu iloczyn kolejnych 2018 początkowych liczb pierwszych?

Zapraszam Cię na  15 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=8oD6Av5Kyt4. The Symphony No. 15 in G major, K. 124 by Wolfgang Amadeus Mozart, was written in Salzburg during the first weeks of 1772. A note on the autograph manuscript indicates that it might have been written for a religious occasion, possibly in honour of the new Archbishop of Salzburg. The work is in four movements, the first of which has been described as innovative and "daring", in view of its variations of tempo. The last movement is characterised by good humour and frivolity, with "enough ending jokes to bring the house down".  Radosnej i pogodnej niedzieli, Tata

 

Sobota, 26.05.18

Sobota, 26.05.18

Kochana Irenko, popatrz na galaktyki spiralne https://apod.nasa.gov/apod/ap180525.html. Przetłumacz opis zdjęcia. Wczoraj przez przypadek w miejsce 16 Symfonii Mozarta wkleiłem 17. Dzisiaj podpinam prawidłową, 16.  

Rozwiązanie: kornik musi przegryźć 9  par okładek pomiędzy tomami 1 a 2, 2 a 3, ….9 a 10. Łącznie kornik musi przegryźć 9*2=18 okładek, co zajmie mu 18*3=54 godziny. Kartki każdego tomu kornik przegryza w ciągu 2 godzin, 10 tomów zajmie mu 10*2=20 godzin. Dotarcie z pierwszej strony I tomu, do ostatniej strony X tomu zajmie kornikowi 54+20=74 godzin. Spróbuj rozwiązać zadanie innym sposobem.

Zadanie (trudne): iloczyn liczb wieku dzieci pana Jana wynosi 1664. Najstarsze dziecko jest 2 razy starsze od najmłodszego. Ile wynosi suma lat wszystkich dzieci pana Jana?

Zapraszam Cię na  16 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=y5gB2b9bPwk. Symphony No. 16 in C major, K. 128, was the first of three symphonies composed by Wolfgang Amadeus Mozart in May, 1772, when Mozart was sixteen years old. This symphony is one of many written during the period in which Mozart stayed in Salzburg, between two trips to Italy. The autograph of the score is preserved in the Staatsbibliothek Preußischer Kulturbesitz in Berlin.  Radosnej i pogodnej soboty, Tata

Piątek, 25.05.18

Piątek, 25.05.18

Kochana Irenko, popatrz, co się dzieje, gdy dwie galaktyki zderzają się ze sobą https://apod.nasa.gov/apod/ap180523.html.

Rozwiązanie: oznaczę ilość dużych pudełek, które zawierają średnie pudełka, przez d,  a ilość średnich pudełek, które zawierają małe pudełka, przez s. Dużych pudełek jest 11, średnich pudełek jest 8*d, małych pudełek jest s*8. Wszystkich pudełek jest

11+8*d+8*s=11+8*(s+d).
Dużych, pustych pudełek jest 11-d, średnich, pustych pudełek jest 8*d-s, małych, średnich, pustych pudełek  jest 8*s (dlaczego?). Razem są 102 puste pudełka
(11-d)+(8*d-s)+8*s=11+7*(s+d)=102.
Stąd s+d=(102-11)/7=13. Wykorzystując wzór na liczbę wszystkich pudełek, zależny tylko od s+d, otrzymujemy, wstawiając w miejsce s+d liczbę 13,
11+8*(s+d)=11+8*13=115. Widzisz, że pomysł sprowadzał się do wyznaczenia sumy s+d. Ale s i d z osobna pozostają nieznane!

Zadanie: na półce z książkami stoi 10 tomów encyklopedii. Kornik książkowy, który wystartował z pierwszej strony pierwszego tomu, przegryza jedną tekturową stronę okładki przez 3 godziny, a wszystkie kartki dowolnego z tomów przez 2 godziny. Po jakim czasie dotrze do ostatniej strony tomu dziesiątego?

Zapraszam Cię na  16 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=B230tAFuqSU.

Symphony No. 16 in C major, K. 128, was the first of three symphonies composed by Wolfgang Amadeus Mozart in May, 1772, when Mozart was sixteen years old. This symphony is one of many written during the period in which Mozart stayed in Salzburg, between two trips to Italy. The autograph of the score is preserved in the Staatsbibliothek Preußischer Kulturbesitz in Berlin.  

Radosnego i zdrowego dnia, Tata

Czwartek, 24.05.18

Czwartek, 24.05.18

Kochana Irenko,  Symphony No. 17 in G major, K. 129, is the second of three symphonies completed by Wolfgang Amadeus Mozart in May 1772, when he was sixteen years old, but some of its sections may have been written earlier.

Rozwiązanie: 1+5+6=12. Dzieląc 180 stopni przez 12 dostaję  180/12=15. Zatem kąty mają miary (w stopniach): 1*15= 15, 5*15=75, 6*15=90.

Zadanie (trudne): niektóre z jedenastu dużych pudełek zawierają po 8 średnich pudełek, niektóre spośród średnich pudełek zawierają po 8 małych pudełek. Okazało się, że 102 pudełka są puste. Jaka jest łączna liczba pudełek?

Zapraszam Cię na  17 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=B230tAFuqSU. Radosnego dnia, Tata

Środa, 23.05.18

Środa, 23.05.18

Kochana Irenko, popatrz, jak wygląda Księżyc w zbliżeniu https://apod.nasa.gov/apod/ap180522.html.

Rozwiązanie: 6005=1997*3+14. Jeśli liczba 1997 po podzieleniu przez pewną 3-cyfrową liczbę n  daje  resztę 2, więc liczba 6005 da resztę 3*2+14=20.

Zadanie: jakie są miary kątów w trójkącie, jeśli mają się do siebie jak 1:5:6.

Zapraszam Cię na  18 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=-8rDmCyq9ko. Symfonie Mozarta, szczególnie te wczesne, pełne są radości i optymizmu. Radosnego i zdrowego dnia, Tata

 

Wtorek, 22.05.18

Wtorek, 22.05.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś animację z satelity Juno https://apod.nasa.gov/apod/ap180521.html? Przetłumacz angielski opis zdjęcia. Jowisz każdego dnia zobaczysz ze swojego okna ok. godz 23.

Rozwiązanie: pamiętasz, że 4 cyfry można uporządkować na 2*3*4=24 sposobów (policz). Liczbę pięciocyfrową można utworzyć, gdy początkowymi cyframi są 1, 2, 3, 4 (bez zera). Ale pozostałe cyfry można uporządkować na 24 sposoby. Odpowiedź: z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 można  ułożyć 4*24=96 liczb pięciocyfrowych, w których cyfry nie powtarzają się.

Zadanie: przy dzieleniu liczby 1997 przez pewną liczbę trzycyfrową n otrzymano resztę 2. Jaka jest reszta przy dzieleniu 6005 przez tę samą liczbę n?

Zapraszam Cię na  19 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=CUv3rRUUWWw&t=801s. Pięknego i zdrowego dnia, Tata

 

Poniedziałek, 21.05.18

Poniedziałek, 21.05.18

Kochana Irenko, popatrz na animację, otrzymaną z satelity Juno https://apod.nasa.gov/apod/ap180521.html,  tego co dzieje się na powierzchni Jowisza.

Rozwiązanie: warto zastanowić się, jakie są kolejne cyfry 2 podniesionej do kolejnych potęg: 2,4,8,16,32, …. Zatem cykl ostatnich cyfr ma postać {2,4,8,6} i długość 4. Ponieważ potęga 2018 dzieli się przez 4 z resztą 2, więc ostatnia cyfra liczby 8102^2018 jest taka, jak druga cyfra cyklu, czyli 4.

Zadanie: ile jest różnych liczb pięciocyfrowych, które można ułożyć mając do dyspozycji cyfry 0,1,2,3,4 (żadna z cyfr nie może się powtórzyć)?

Zapraszam Cię na  20 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=mX0jIMIfbsA. Pięknego dnia, Tata

 

Niedziela 20.05.18

Niedziela 20.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12:00 usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-05-20.

Rozwiązanie: a*a dzieli się przez 7 tylko wtedy, gdy a dzieli się przez 7. W przeciwnym przypadku, a musiałaby zawierać pierwiastek z 7, a wtedy nie byłaby liczbą całkowitą. Podobnie jeśli b*b+c*c dzieli się przez 21, to dzieli się przez 3 i przez 7. Niech b=k*3+n, c=j*3+m, gdzie n i m są resztami z dzielenia przez 3, równymi 0, 1, 2. Stąd wynika, że n*n+m*m musi dzielić się przez 3. Ale suma dowolnych kwadratów dwóch reszt  1+1, 1+4, 4+4, 0+1, 0+4  nie dzieli się przez 3. Stąd wynika, że n=m=0. Podobnie rozumując możemy wykazać, że b=k*7 i c=l*7, gdyż żadna z liczb podzielnych przez 7, mniejsza od 6*6+6*6=72 (70, 63,56, 49, 42, 35,28,21,14, 7) nie jest sumą kwadratów reszt z dzielenia przez 7, czyli liczb z zakresu (1,6) (sprawdź). Zatem b*b+c*c dzieli się przez 3*3*7*7=441.

Zdanie: podać ostatnią cyfrę liczby 8102^2018.

Zapraszam Cię na  21 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=3md8zc7Ernc. Pogodnej niedzieli, Tata

 

Sobota, 19.05.18

Sobota, 19.05.18

Kochana Irenko, czy znalazłaś czas aby obejrzeć  ostatnie astronarium? W jakim kraju leży Monachium, a obok Garching?

Rozwiązanie: wybierzmy za podstawę trójkąta ABC ten bok AB, przy którym oba kąty są ostre (zawsze można tak postąpić). Poprowadźmy wysokość CH z wierzchołka C na bok AB. Przez punkt C poprowadźmy odcinek DE, równoległy do AB tak, że ABDE tworzy prostokąt o wysokośći CH=DA=EB. Prostokąt ten możemy podzielić na dwa prostokąty AHCD i HBEC. W tych dwóch prostokątach przekątne AC i CB to boki trójkąta. Poprowadźmy przekątne DH i HE, które przetną się z przekątnymi AC i CB  odpowiednio w punkcie S1 i S2. Przez punkty S1 i S2 poprowadźmy wysokości, które odetna dwa rogi z trójkąta. Rogi to po obróceniu o 180 stopni wokół S1 i S2 utworza prostokąt. Udowodniliśmy, że z trzech części dowolnego trójkąta  można złożyć prostokąt o wysokości trójkąta i podstawie równej połowie podstawy trójkąta. Konstrukcja ta pokazuje, dlaczego pole trojkata jest równe połowie wysokości mnożonej przez podstawę.  

Zadanie (trudne): Niech a, b, c będą liczbami całkowitymi. Wykaż, że

jeżeli a² dzieli się przez 7, to również a dzieli się przez 7,

jeżeli b² + c² dzieli się przez 21, to b² + c² dzieli się przez 441.

Zapraszam Cię na  22 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=UmGfXXVJ1F0. Pogodnej i zdrowej soboty, Tata

Piątek, 18.05.18

Piątek, 18.05.18

Kochana Irenko, zapraszam Cię na odcinek astronarium o ESO https://www.youtube.com/watch?v=20GvpDG988I.

Rozwiązanie: środkowa, to odcinek poprowadzony w trójkącie ABC łączący np. wierzchołek A ze środkiem boku BC. Oznaczmy środki boków BC, AC, AB odpowiednio  przez A1, B1, C1. Środkowe przecinają się w punkcie S i dzielą trójkąt na 6 części. Zauważ, że trójkąty AC1S i C1SB maja takie same pola – mają równe podstawy i wysokości. Pola ACS i BCS mają także równe pola, które środkowe dzielą na połowy. Stąd każda połowa ma identyczne pole. Wniosek: każdy z 6 trójkątów powstałych z podziału trójkąta przez środkowe ma takie same pole.

Zadanie: zadany trójkąt rozetnij na trzy części tak, aby można było złożyć z nich prostokąt.

Zapraszam Cię na  23 Symfonię 30-letniego  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=BMYjGkgzinU. Pogodnego dnia, Tata

Czwartek, 17.05.18

Czwartek, 17.05.18

Kochana Irenko, popatrz, w jaki sposób obraca się Obłok Magellana https://apod.nasa.gov/apod/ap180516.html. Przeczytaj ze zrozumieniem opis zdjęcia.

Rozwiązanie: niech boki prostokąta mają długości a i b (w centymetrach). Po zwiększeniu o 2, długości boków wynoszą a+2, b+2, a  pole, na mocy warunków zadania,  wynosi (a+2)*(b+2)=a*b+20. Wymnażając nawiasy

a*b+4+2*b+2*a=a*b+20. Odejmując od obu stron a*b+4 dostajemy

2*b+2*a=16 lub a+b=8. Po zwiększeniu boków o 3 dostajemy podobne równanie  (a+3)*(b+3)=a*b+9+3*a+3*b=a*b+9+3*(a+b)=a*b+9+3*8=a*b+33. Odpowiedź: pole prostokąta po wydłużeniu boków o 3  zwiększy się o 33.

Zadanie: udowodnij, że trzy środkowe rozcinają trójkąt na sześć części o równych polach. Wskazówka: środkowa jest odcinkiem łączącym wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Szczegóły znajdziesz na stronie  https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arodkowa_tr%C3%B3jk%C4%85ta.

Zapraszam Cię na  24 Symfonię 17-letniego  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=Z0ad-ZDEjDg. Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

Środa, 16.05.18

Środa, 16.05.18

Kochana Irenko,  popatrz, jak wygląda(ł) dom Johanna Keplera w Linz https://apod.nasa.gov/apod/ap180515.html. Czego dotyczą Prawa Keplera?

Rozwiązanie: w zadaniu zakłada się, że prędkość pociągu v (w km/h) jest liczbą naturalną. Jeśli prędkość wyrazić w m/s, v  należy pomnożyć przez 1000/3600=1/3.6 (sprawdź). Prędkość w m/s wynosi zatem v/3.6. Np. 36 km/h to to samo co 36/3.6=10 m/s. Zauważ, że szukany czas (w sekundach) jest równy drodze (w m) v*10 dzielonej przez prędkość (w m/s)  v/3.6, czyli czas=v*10/(v/3.6)=36 (czas w s). Zauważ, że czas, w którym liczba stuknięć wynosi v,  nie zależy od prędkości! Niestety, dzisiaj pociągi już nie stukają.

Zadanie (trudne):  jeżeli długość prostokąta zwiększymy o 2 cm i szerokość także o 2 cm to pole zwiększy się o 20 cm². Oblicz, o ile zwiększyłoby się pole tego samego prostokąta, gdybyśmy jego długość i szerokość zwiększyli o 3 cm.

Zapraszam Cię na  25 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=rNeirjA65Dk. Zdrowego i pięknego dnia, Tata

Wtorek, 15.05.18

Wtorek, 15.05.18

Kochana Irenko, popatrz, jak wygląda jeden z księżyców Saturna https://apod.nasa.gov/apod/ap180514.html. Przeczytaj ze zrozumieniem opis zdjęcia. Jaki satelita zrobił zdjęcie?

Rozwiązanie: dodajmy do siebie 3 równania z zadania. Po niewielkich przekształceniach dostaniemy

2*(x+y+z)^2=18 (sprawdź).

Stąd x+y+z=3 lub x+y+z=-3. W pierwszym przypadku dostaję z pierwszego równania 3*(y+z)=4, skąd y+z=4/3. Natychmiast widać, że x=3-4/3=5/3. Podobnie z+x=2 i y=1. Oraz z=2/3.

Podobnie dla x+y+z=-3 dostaniemy x=-5/3, y=-1 i z=-2/3.

Zadanie: szyna kolejowa ma 10 m. Jadąc pociągiem, w ciągu jakiego czasu należy liczyć stuknięcia kół na złączeniach szyn, aby liczba stuknięć była równa prędkości pociągu wyrażonej w kilometrach na godzinę?

Zapraszam Cię na  26 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=yPklZiq4WrQ. Zdrowego dnia, Tata

Poniedziałek, 14.05.18

 Poniedziałek, 14.05.18

Kochana Irenko, za skomentowanie 27 Symfonii Mozarta dałem Larisie Teslenko like. Niestety komentuje po rosyjsku.

Rozwiązanie:  niech trapez ABCD ma dwie podstawy AB i DC oraz AB<DC, oraz  boki DA i CB. Poprowadźmy z punktu B odcinek równoległy do DA, przecinający podstawę DC w punkcie S. W trójkącie SBC (zrób rysunek)  kąty przy boku SC są równe kątom trapezu przy dłuższej podstawie (dlaczego?) i ich suma, jako suma dwóch kątów trójkąta,  jest mniejsza od 180 stopni. Ponieważ suma kątów w trapezie wynosi 360 stopni, więc suma kątów przy krótszej podstawie jest większa od 180 stopni.

Zadanie (trudne): Znaleźć wszystkie trójki x, y, z liczb rzeczywistych takie, że:

(y + z)(x + y + z) = 4,

(z + x)(x + y + z) = 6,

(x + y)(x + y + z) = 8.

Zapraszam Cię na  27 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=_8oliRz1Ezw. Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 13.05.18

Niedziela, 13.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12 usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-05-13

Rozwiązanie: punkty A, B, C, D nie leżą na jednej płaszczyźnie i tworzą ostrosłup. Ostrosłup ten posiada 4 ściany boczne. Poprowadżmy płaszczyznę P równoległą do jednej ze ścian i w połowie odległości pomiędzy tą ścianą a 4 punktem. Takich płaszczyzn jest 4, tyle ile ścian ostrosłupa.

Zadanie: udowodnić, że suma kątów trapezu przy krótszej podstawie jest większa niż suma kątów przy dłuższej podstawie.

Zapraszam Cię na  28 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=s-AtQ9IslcY. Pełnej radości  niedzieli, Tata

Sobota, 12.05.18

Sobota, 12.05.18

Kochana Irenko, czy w centrum naszej Galaktyki istnieją czarne i czy jest ich dużo, dowiesz się z https://apod.nasa.gov/apod/ap180512.html. 

Rozwiązanie: rozważę na początek liczby dwucyfrowe np. różnica 51-15=36 dzieli się przez 9. Niech liczba dwucyfrowa ma ogólną postać N=a*10+b, po przestawieniu cyfr liczba ma postać K=b*10+a. Wówczas N-K=a*10+b-b*10-a=(a-b)*10+(b-a)=(a-b)*(10-1)=9*(a-b). Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla liczby 3-cyfrowej. Środkowa cyfra nie zmienia swojego położenia i zadanie sprowadza się do problemu liczb dwucyfrowych.

Rozumowanie możemy uogólnić na liczby 4-cyfrowe (i 5-cyfrowe) N=a*1000+b*100+c*10+d. Po przestawieniu cyfr liczba ma postać  K=d*1000+c*100+b*10+a. Różnica tych liczb wynosi

N-K=(a-d)*1000+(b-c)*100+(c-b)*10+(d-a)=(a-d)*(1000-1)+(b-c)*(100-10)

=(a-d)*999+(b-c)*90.

Widzisz, że liczba ta także dzieli się przez 9. Podobnie można dowodzić dla dowolnie długich liczb N i K podzielność liczby N-K przez 9.

Zadanie: W przestrzeni dane są 4 punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie. Ile istnieje takich płaszczyzn P, że odległości punktów A, B, C i D od płaszczyzny P są równe?

Zapraszam Cię na  29 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=2JUeRgJM6hs. Pełnej radości  soboty, Tata

 

Piątek, 11.05.18

Piątek, 11.05.18

Kochana Irenko, popatrz, jak galaktyka pożera inną https://apod.nasa.gov/apod/ap180510.html.

Rozwiązanie: można skorzystać z równości n*n-1=(n-1)*(n+1). Jeśli n-1 jest liczbą nieparzystą, to n*n-1 jest też liczbą nieparzystą. Jeśli n-1 jest liczbą parzystą, to jedna z liczb n-1 lub n+1 dzieli się przez 4, zatem ich iloczyn dzieli się przez 2*4=8.

Zadanie (trudne): w liczbie naturalnej N przestawiono cyfry w wyniku czego otrzymano liczbę K. Dowieść, że liczba całkowita N-K jest podzielna przez 9.

Zapraszam Cię na  30 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=Oe7IP9K4qWw. Pełnego radości  i pogody dnia, Tata

Czwartek, 10.05.18

Czwartek, 10.05.18

Kochana Irenko, posłuchaj paru słów o Banachu https://www.youtube.com/watch?v=nt8FdGPK_2M.

Rozwiązanie: wybiorę 6 powtarzających się trójek liczb 7, -4, -4 oraz 7 na końcu:

7, -4, -4, 7, -4, -4, 7, -4, -4, 7, -4, -4, 7, -4, -4, 7, -4, -4, 7.

Suma wszystkich liczb wynosi +1, natomiast suma każdych 3 kolejnych liczb wynosi -1. Czy można wybrać inne liczby, aby spełniały warunki zadania?

Zadanie: dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba n*n-1 jest albo nieparzysta, albo podzielna przez 8.

Zapraszam Cię na  31 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=s9yRart11vI. Pełnego radości  dnia, Tata

 

Środa, 9.05.18

Środa, 9.05.18

Kochana Irenko, polecam Ci film o Stefanie Banachu https://www.youtube.com/watch?v=EJgl_Z9Yz1Q.

Rozwiązanie: liczby te mają postać  7,D13,7,D13,7,D13,7,D13,7,D13,7,D13,7,8, gdzie przez D13 oznaczyłem dwie liczby o sumie 13. Zauważ, że na końcu tych liczb występują 7 i 8, więc D13 jest sumą 8 i 5, D13=8+5. Liczby te tworzą ciąg powtarzających się 6 trójek 7,8,5  oraz na końcu występują liczby 7,8 (19-sta i 20-sta).

Zadanie (trudne): czy można wybrać 19 takich liczb całkowitych (niekoniecznie różnych), aby ich suma była dodatnia i ustawić je w szeregu, w takiej kolejności, aby suma każdych trzech kolejnych liczb była ujemna? Odpowiedź uzasadnij.

Zapraszam Cię na  32 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=gdcn34vbFVI. Zdrowego, radosnego i pełnego humoru dnia, Tata

Wtorek, 8.05.18

Wtorek, 8.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj imieniny Dziadka Stasia. Kup i zapal lampkę. Miejsce znasz, to niedaleko Górki Harcerskiej.

Rozwiązanie: mogą to być liczby postaci 10xy, 1x0y, 1xy0, x10y, x1y0, x01y, xy10, xy01, x0y1 (sprawdź, czy istnieją inne możliwości), gdzie x i y są  jedną z 8 cyfr 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. W każdym przypadku występuje 8*8 możliwości, a różnych przypadków jest 9. Więc liczb takich jest 9*8*8=576.

Zadanie 3: Dwadzieścia liczb jest zapisanych w jednym wierszu. Suma każdych trzech kolejnych spośród tych liczb jest równa 20. Pierwsza liczba to 7, ostatnia 8. Wyznacz pozostałe 18 liczb.

Zapraszam Cię na  58 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=gYOBKHkT8T8. Pogodnego dnia, Tata

 

Poniedziałek, 7.05.18

Poniedziałek, 7.05.18

Kochana Irenko, polecam Ci następny odcinek astronarium o Teleskopie Hubble’a https://www.youtube.com/watch?v=yqqYgChY8lY&t=16s.

Rozwiązanie: suma cyfr tej liczby wynosi (2+9+2+1)*2+11=39 i liczba ta nie dzieli się przez 9, a dzieli się przez 3. Jeśli liczba byłaby kwadratem pewnej liczby, w rozkładzie na czynniki pierwsze 3 powinna być podniesiona do parzystej potęgi, np. 2, 4 ,6. Ponieważ 39=3*13, to oznacza,  że 3 jest w potędze 1 i w takiej potędze dzieli liczbę z zadania.

Zadanie 2: Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1?

Zapraszam Cię na  57 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=TmNzRLAPvK4. Radosnego dnia, Tata

 

 

Niedziela, 6.05.18

Niedziela, 6.05.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12:00 usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-05-06. Uważnie przeczytaj Ew. Jana 15, 9-17, w szczególności fragment „To jest moje przykazanie, abyście się wzajemnie miłowali,  …”

Rozwiązanie: niech bok najmniejszego sześcianu wynosi x. Wówczas boki sześcianów mają długość x, x+2, x+4, x+6, x+8. Ale zachodzi równość x+x+2=x+8.  Stąd x=6. Suma kolejnych  liczb 6, 8, 10, 12, 14 wynosi 5*10=50.

Proponuję kolejne zadania z egzaminu wstępnego do Liceum im. S. Staszica w Warszawie.

Zadanie 1: nie korzystając z kalkulatora wykaż, że liczba 20092010200920102009 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Zapraszam Cię na  55 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=hrVVIjfkgK8.. Radosnego dnia, Tata

Sobota, 5.05.18

Sobota, 5.05.18

Kochana Irenko, w Regułach bardzo lubiłaś oglądać galaktyki z katalogu https://apod.nasa.gov/apod/ap180504.html Messiera. Oto jedna z nich.

Rozwiązanie: istnieje 6 możliwości wypowiedzenia 4 zdań, w tym 2 prawdziwych (P) i 2 fałszywych (F), a  bok kwadratu, na mocy warunków zadania,  po wypowiedzeniu tych zdań jest równy:

PPFF:  8->6->4->8->16

PFPF:  8->6->12->10->20

PFFP:  8->6->12->24->22

FFPP:  8->16->32->30->28

FPFP:  8->16->14->28->26

FPPF:  8->16->14->12->24. Sprawdź!

Widać, że największy możliwy obwód kwadratu wynosi 4*28=112.

Zadanie 20, Kadet 2012.   Zbyszek ma 5 sześcianów. Gdy ułoży je od najmniejszego do największego, to wysokości każdych dwóch sąsiednich sześcianów różnią się o 2 cm. Wysokość największego sześcianu jest równa wysokości wieży zbudowanej z dwóch najmniejszych sześcianów. Jaka jest wysokość wieży zbudowanej z wszystkich 5 sześcianów?

Zapraszam Cię na  54 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=IyXA4a1isMg. Radosnego dnia, Tata

Piątek, 4.05.18

Piątek, 4.05.18

Kochana Irenko, polecam Ci wywiad z Almą Deutscher https://www.youtube.com/watch?v=C-2XfzCqP98.

Rozwiązanie: myszy mogły zebrać mniej niż 10  kawałków sera. Jeśli założyć, że jedna z myszy zebrała jeden kawałek, to inna mysz nie mogła zebrać dwa razy więcej niż pierwsza, czyli 2 kawałków. Spełniając warunki zadania, myszy mogły zebrać 1,3,4,5,7,9 kawałków sera i myszy było 6. Myszy z najmniejszą ilością kawałków sera równą 2 zebrały 2,3,5,7,8,9 kawałków, czyli też myszy było 6. Jeśli najmniejsza ilość kawałków wynosi 3, wtedy myszy zebrały 3,4,5,7,9 kawałków. Czyli ilość myszy zmniejsza się i wynosi 5. Widać, że największa ilość myszy jest równa 6.

Zadanie 18, Kadet 2012.  Gadający kwadrat miał na początku bok długości 8 cm. Jeśli kwadrat mówi prawdę, każdy jego bok skraca się o 2 cm, a jeśli kwadrat kłamie, każdy jego bok się podwaja. Kwadrat wypowiedział cztery zdania, z których dwa były prawdziwe, a dwa fałszywe, ale nie wiemy w jakiej kolejności. Jaki jest największy możliwy obwód kwadratu po wypowiedzeniu takich czterech zdań?

Zapraszam Cię na radosną  52 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=aGdBG96jidM. Radosnego dnia, Tata

 

Czwartek, 3.05.18

Czwartek, 3.05.18

Kochana Irenko, popatrz na zachodzące słońce, Jowisz i jego księżyce https://apod.nasa.gov/apod/ap180503.html.

Rozwiązanie: obwód sześciokąta jest rowny sumie obwodów 3 malych trójkątów wtedy, długość boku małego trójkąta jest rowna 1/3 boku dużego, czyli jest rowna 6/3=2 (zrób rysunek).

Zadanie 17, Kadet 2012. Ser pocięto na małe kawałki. Myszy wynosiły te kawałki, biorąc za każdym razem po jednym. Leniwy kot Mruczek zauważył, że każda mysz zebrała mniej niż 10 kawałków, przy czym każda inną ich liczbę, a ponadto żadna mysz nie zebrała dwa razy więcej kawałków niż inna mysz. Jaka jest największa możliwa liczba myszy, które mogły wynosić ten ser?  

Zapraszam Cię na 51 Symfonię Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=dLWWyMWcfoY. Pogodnych  i zdrowych ferii, Tata

Środa, 2.05.18

Środa, 2.05.18

Kochana Irenko, popatrz na zorzę i wschód słońca https://apod.nasa.gov/apod/ap180501.html.

Rozwiązanie: liczbami pierwszymi są 2, 5  i 7. Zatem napis „liczba pierwsza” przyporządkowano 12, jako nieprawdziwy. „Liczba nieparzysta” przyporządkowano 2, zaś 5 przyporządkowano „liczba podzielna przez 7” i „liczba większa od 100” przyporządkowano 7.

Zadanie 16, Kadet 2012. Trzy trójkąty równoboczne, o tym samym boku, odcięto w narożach dużego trójkąta równobocznego o boku 6 cm. Suma obwodów tych trzech małych trójkątów jest równa obwodowi pozostałego sześciokąta. Jaka jest długość boku małych trójkątów?

Przeglądając symfonie Mozarta, zapraszam Cię na 50 https://www.youtube.com/watch?v=B9fnFJeXdkg. Radosnych i zdrowych ferii, Tata