Listy do Irenki: listopada 2019

sobota, 30 listopada 2019

Niedziela, 1.12.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-12-01.

Rozwiązanie zadania: jeśli zadany jest ostrosłup o podstawie wielokąta (koła), objętość możemy policzyć rozcinając ostrosłup na N plastrów płaszczyznami równoległymi do podstawy i jednakowo od siebie oddalonymi. Wówczas odległość pomiędzy plastrami wynosi h/N, gdzie h wysokość ostrosłupa. Każdą warstwę możemy ponumerować numerem k, zmieniającym się od 1 do N. Zauważ, że każda warstwa jest w przybliżeniu graniastosłupem, którego pole podstawy jest zmniejszone w stosunku (k/N)*(k/N) do podstawy ostrosłupa przez jednokładność i wynosi S*(k/N)^2, zaś wysokość h/N.

Zatem objętość warstwy wynosi S*(k/N)^2*h/N.

Objętość ostrosłupa wynosi jest sumą warstw i wynosi

V=[(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+…+(N/N)^2]*S*h/N. Widzisz, że ogólny wzór na objętość ostrosłupa

V=a(N)*S*h, gdzie współczynnik a(N) jest stały dla wszystkich ostrosłupów i wynosi

a(N)= [(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+…+(N/N)^2]/N=[(1*1+2*2+3*3+…N*N]/N^3, przy czym sumę tę należy policzyć dla bardzo, bardzo dużych N. Na początek podzielmy na 4 warstwy wówczas

a(4)=(1*1+2*2+3*3+4*4)/64=30/64=0.46. Policzę dla 6:

a(6)=(1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6)/216=91/216=0.42.

Czy można znaleźć wzór na sumę kwadratów N kolejnych liczb naturalnych? Tak i nie jest to zadanie trudne. Założę, że suma ta wynosi ((a1*N+a)*(b1*N+b)*(c1*N+c))/d, gdzie a, b, c, a1, b1, c1, d to 9 stałych i niewielkich liczb. Dla kolejnych N powinno zachodzić

1*1=(a1*1+a)*(b1*1+b)*(c1*1+c)/d=1

1*1+2*2=(a1*2+a)*(b1*2+b)*(c1*2+c)/d=5

1*1+2*2+3*3=(a1*3+a)*(b1*3+b)*(c1*3+c)/d=14=2*7

1*1+2*2+3*3+4*4=(a1*4+a)*(b1*4+b)*(c1*4+c)/d=30=3*2*5

Zauważ, że z pierwszego równania d=(a1+a)*(b1+b)*(c1+c).

Z drugiego 5*d=(2*a1+a)*(2*b1+b)*(2*c1+c). Będę zgadywał. Położę d=6, wtedy a1=2, a=1, b1=1,b=3, c1=1, c=0.

Wzór powinien mieć postać (2*N+1)*(N+1)*N/6. Możesz sprawdzić wzór dla kilku N i zobaczyć, że jest poprawny.

Można wówczas wyrazić a(N)=(2*N+1)*(N+1)*N/N^3 tylko przez N. Zauważ, że dla dużych N można pominąć jedynki i dostaje się a(N)=2*N^3/6/N^3=2/6=1/3.

Po dosyć skomplikowanych, jak na 8 klasę, przekształceniach znaleźliśmy wzor na objętość ostrosłupa (stożka) V=1/3*S*h.

Zadanie: Udowodnij, że jeśli suma dwóch liczb dodatnich jest równa 1, to suma ich kwadratów jest równa co najmniej ¹/₂.

Zapraszam Cię na Psalm 122 https://www.youtube.com/watch?v=CHZEVx60txQ&feature=emb_logo . Pięknej niedzieli, Tata

czwartek, 28 listopada 2019

Piątek, 29.11.19

Kochana Irenko, polecam Ci https://www.swiatnauki.pl/8,1834.html konkurs dla uczniów.

Rozwiązanie zadania: jeśli wielokąt wypukły ma n boków, ma także n wierzchołków. Z każdego wierzchołka można poprowadzić n-1 przekątnych, zatem liczba przekątnych P wynosi P=n*(n-1)/2, gdyż każda przekątna w powyższym wzorze liczona jest podwójnie. Zatem P/n=(n-1)/2 powinno być równe k. Stąd n-1=2*k lub n=2*k+1. Odpowiedź: liczba wierzchołków jest liczbą nieparzystą i wyraża się przez k wzorem n=2*k+1.

Zadanie: jak uzasadnisz wzór na objętość V ostrosłupa (lub stożka) V=1/3*h*S, gdzie h – wysokość, S - pole podstawy?

Zapraszam Cię na Benjamina Brittena https://www.youtube.com/watch?v=jFeRels8AyY . Pogodnego dnia, Tata

wtorek, 26 listopada 2019

Środa, 27.11.19

Kochana Irenko, w jaki sposób dwutlenek węgla przekształcany jest z pomocą światła w cukry i tlen dowiesz się z krótkiego filmu https://www.youtube.com/watch?v=eOPEn2qYff4. Ten cykl jest arcydziełem natury.

Rozwiązanie zadania: niech reszty z dzielenia dwóch liczb przez 3 wynoszą r1 i r2 (reszty te są równe 1 lub 2). Zauważ, że z wszelkich kombinacji tych reszt, różnica kwadratów wynosi 3 lub 0: 2*2-1*1=3, 2*2-2*2=0, 1*1-1*1=0. Zatem różnica kwadratów tych liczb zawsze dzieli się przez 3.

Zadanie: ile boków musi mieć wielokąt, aby liczba jego przekątnych była k razy większa od liczby boków, gdzie k jest liczbą naturalną?

Zapraszam Cię na utwór Benjamina Brittena https://www.youtube.com/watch?v=4vbvhU22uAM . Pogodnego dnia, Tata

sobota, 23 listopada 2019

Niedziela, 24.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-24

Rozwiązanie zadania: wystarczy wybrać boki 1,1,2,3. Z boków tych można zbudować czworokąt, zaś z żadnych nie można zbudować trójkąta.

Zadanie: Pokaż, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=622Qgzoa3cY&feature=emb_logo. Pogodnej niedzieli, Tata

środa, 20 listopada 2019

Czwartek, 21.11.19

Kochana Irenko, na filmie zobaczysz, w jaki sposób w komórce powstają białka, których struktura zapisana jest w genach przy pomocy DNA https://www.youtube.com/watch?v=gG7uCskUOrA. Żeby to opowiedzieć, ilu to ludzi ciężko pracowało przez prawie 20 lat.

Rozwiązanie zadania: reszta z dzielenia liczby postaci (3*k+1) (np. 4, 10) podniesionej do potęgi n (3*k+1) ^n wynosi 1 (dlaczego?). Zatem reszta z dzielenia liczb 10^n+4^n wynosi 2, po odjęciu 2, reszta wynosi 0. Wniosek: 10^n+4^n–2 jest podzielna przez 3.

Zadanie: Czy w każdym czworokącie można wybrać trzy boki, z których da się zbudować trójkąt? Uzasadnij odpowiedź.

Zapraszam Cię https://www.youtube.com/watch?v=hbKlDCKJtqE&list=RDPT_8pqwwOqY&index=5 na przygody Abramka w wykonaniu Olgi M. Pogodnego i radosnego dnia, Tata

poniedziałek, 18 listopada 2019

Wtorek, 19.11.19

Kochana Irenko, popatrz na dochody na osobe (w doloarach) w poszczególnych państwach https://pl.wikipedia.org/wiki/Lista_pa%C5%84stw_%C5%9Bwiata_wed%C5%82ug_PKB_nominalnego_per_capita. Na którym miejscu jest Polska?

Rozwiązanie zadania: oznaczę wierzchołki trapezu przez ABCD, gdzie długość podstawy AB wynosi a, CD zaś b. Oznaczę punkt przecięcia przekątnych trapezu przez N. Wówczas pole trójkąta ANB wynosi S1=a*h1/2, DNC zaś S2=b*h2/2. Wysokość trapezu wynosi h=h1+h2, a jego pole (sprawdź)

S=(a+b)*(h1+h2)/2=a*h1/2+b*h2/2+(a*h2/2+b*h1/2)=S1+S2+b*h2/2*[ a/b+h1/h2]

Trójkąty ANB i DNC są podobne, więc stosunki podstaw są równe stosunkowi wysokości

a/b=h1/h2. Mnożąc ostatnią równość przez a/b stronami dostajemy

a*a/b*b=a*h1/(b*h2)=S1/S2, skąd po wyciągnięciu pierwiastka a/b=sqrt(S1)/sqrt(S2)=h1/h2, gdzie sqrt oznacza pierwiastek.

Przekształcę wzór na S

S=S1+S2+S2*[a/b+h1/h2]=S1+S2+S2*2*sqrt(S1)/sqrt(S2)=
=S1+S2+2*sqrt(S1)*sqrt(S2)=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2.

Wniosek: jeśli znane są pola trójkątów ANB i DNC w trapezie ABCD, to pole trapezu S jest równe sumie pierwiastków tych pól podniesionej do kwadratu

S=(sqrt(S1)+sqrt(S2))^2.

Zadanie: Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba 10^n+4^n–2 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię Tango w wykonaniu Olgi M. Ktoś napisał „Wunderschön , unvergesslich ! Eine Stimme aus einer singulären Zeit begleitet von einer verbleibenden Melodie” https://www.youtube.com/watch?v=1L2oGYNwJoA&list=RDPT_8pqwwOqY&index=12 Pogodnego dnia, Tata

sobota, 16 listopada 2019

Niedziela, 17.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-17.

Rozwiązanie zadania: oznaczę szukane liczby pierwsze przez p1, p2, p3. Zachodzi

p1*p2*p3=5*(p1+p2+p3). Z równania tego wynika, że jedna z liczb jest równa 5, załóżmy p1=5. Wówczas równanie na pozostałe dwie liczby ma postać

p2*p3=5+p2+p3. Co można przepisać

(p2*p3-p2-p3+1)-1=(p2-1)*(p3-1)-1=5 lub

(p2-1)*(p3-1)=6 (sprawdź).

Równanie to ma następujące rozwiązania w liczbach naturalnych

p2=2 i p3=7 lub p2=3 i p3=4. Ponieważ p2 i p3 mają być liczbami pierwszymi, to tylko p2=2 i p3=7 są rozwiązaniem zadania.

Odpowiedź: trzema szukanymi liczbami pierwszymi są (2,5,7).

Zadanie (trudne): oblicz pole trapezu, znając pola dwóch trójkątów opartych na podstawach trapezu i o wspólnym wierzchołku w punkcie przecięcia przekątnych trapezu.

Zapraszam Cię na Psalm 98 https://www.youtube.com/watch?v=d9dYmMmreyE&feature=emb_logo. Pogodnej i radosnej niedzieli, Tata

czwartek, 14 listopada 2019

Piątek, 15.11.19

Kochana Irenko, popatrz, jak Merkury przelatuje na tle tarczy Słońca https://apod.nasa.gov/apod/ap191114.html.

Rozwiązanie zadania: oznaczmy kwadrat o boku r przez ABCD (zrób rysunek). Poprowadźmy koła z wierzchołków A i B o promieniu r, przecinające się w punkcie S wewnątrz tego kwadratu. Wówczas trójkąt ABS jest równoboczny o boku r i wysokości równej sqrt(3)/2*r (dlaczego?). Z rysunku widzisz, że długość przekątnej kwadratu wyznaczonego przez 4 punkty przecięcia kół wynosi

r-2*[ r-sqrt(3)/2*r]=(sqrt(3)-1)*r. Jeśli znamy długość przekątnej d kwadratu, to jego pole wynosi d*d/2 (dlaczego?). Zatem pole kwadratu z zadania jest równe

(sqrt(3)-1)^2*r*r/2

Zadanie: Iloczyn trzech liczb pierwszych równa się pięciokrotności ich sumy. Jakie to liczby?

Zapraszam Cię na „Śpij kochanie” w wykonaniu Olgi Mieleszczuk https://www.youtube.com/watch?v=PT_8pqwwOqY. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

poniedziałek, 11 listopada 2019

Wtorek, 12.11.19

Kochana Irenko, jak pracują minidetektory fal grawitacyjnych dowiesz się z artykułu https://www.swiatnauki.pl/8,1830.html. Czym różnią się od wielkich urządzeń LIGO i VIRGO?

Rozwiązanie zadania: liczbą szczęśliwą, która spełnia warunki zadania, jest liczba 4-cyfrowa postaci x99y, gdzie x i y to dwie cyfry. Zauważ, że po dodaniu 10 liczba ta przechodzi w (x+1)00y, czyli suma jej cyfr zmniejsza się o 17. Najmniejszą liczbą tego typu jest liczba powstała z cyfr, których suma x+y=16, gdyż x+y+9+9=34 i suma cyfr dzieli się przez 17. Najmniejszą liczbą szczęśliwą jest liczba, dla której x jest najmniejsze, a zachodzi to dla pary 7+9=16, czyli liczba 7999.

Zadanie: środki czterech kół o promieniu r znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku r. Ile wynosi pole kwadratu, którego wierzchołkami są 4 punkty przecięcia tych kół, znajdujące się wewnątrz kwadratu?

Zapraszam Cię na „Ostatnią niedzielę” w wykonaniu Olgi Mieleszczuk https://www.youtube.com/watch?v=weC8aGkiU4s. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

sobota, 9 listopada 2019

Niedziela, 10.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-10.

Rozwiązanie zadania: niech kolejne trzy liczby naturalne mają postać k-1,k,k+1 i na mocy warunków zadania powinna zachodzić równość dla pewnego n

(k-1)*k*(k+1)=n^3.

Wyrażenie można przepisać w postaci

(k*k-1)*k=k^3-k=n^3. Wypiszę dla kilku liczb k>1, te liczby, ich sześciany k^3 oraz k^3-k (sprawdź):

2, 8, 6;

3, 27, 24;

4, 64, 60;

5, 125,120;

……………

Zauważ, że liczba k^3-k jest znacznie bliżej liczby k^3 niż liczb (k-1)^3 lub (k+1)^3 i odległość ta ze wzrostem k się zwiększa. Zatem nie istnieje taka liczba n, musiałaby być równa k-1, k+1 lub k, której sześcian jest iloczynem kolejnych 3 liczb naturalnych.

Zadanie: Nazwijmy liczbę naturalną szczęśliwą, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 17 oraz suma cyfr liczby o 10 większej też dzieli się przez 17. Jaka jest najmniejsza liczba szczęśliwa?

Zapraszam Cię na Psalm https://www.youtube.com/watch?v=Tn_EWkUco2s&feature=emb_logo. Pogodnej niedzieli, Tata

piątek, 8 listopada 2019

Sobota, 9.11.19

Kochana Irenko, popatrz, w jaki sposób galaktyka zadziałała w roli soczewki, a obrazem jest https://apod.nasa.gov/apod/ap170227.html quasar. Parę miliardów lat temu w centrum każdej galaktyki formowała się czarna dziura. Z niezwykłym apetytem pożerała okoliczne gwiazdy. Jasność z jaką wówczas świeciła odpowiadała jasności wszystkich pozostałych gwiazd. Ten twór zwany jest quasarem. W astronomii można studiować historię i to odległą.

Rozwiązanie zadania: niech odcinek, o którym mowa w zadaniu, wychodzi z wierzchołka A rombu ABCD o kącie DAB równym 60 stopni. Jeśli pole trójkąta powstałego z przecięcia tego odcinka z przeciwległym bokiem BC w punkcie S ma być równe 1/3 pola rombu, to musi przeciąć ten bok w odległości BS=4 od wierzchołka B (o kącie 120 stopni). Dlaczego? Zauważ, że wówczas przekątna rombu AC i poprowadzony odcinek AS tworzą trójkąt ASC o polu 1/6 pola rombu, a dwa takie trójkąty, po obu stronach przekątnej mają pole 2*1/6=1/3. Przedłużmy przeciwległy bok BC do punktu Q i opuśćmy wysokość QA. Wysokość na mocy prawa Pitagorasa ma wartość QA*QA+3*3=6*6, stąd QA=sqrt(27). Zatem szukana długość AS spełnia znowu na mocy prawa Pitagorasa równanie

27+(3+4)*(3+4)=AS*AS, skąd AS=sqrt(76).

Zadanie: znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że n³ jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że znalazłeś wszystkie takie liczby.

Zapraszam Cię yjdisz tango https://www.youtube.com/watch?v=ENSFSYqqfOk. Z komentarzy >>"Rebeka" - polish tango written by Zygmunt Białostocki (music) and Andrzej Włast (lyrics) in the year 1933. It was translated into yiddish in '80 by Robert Stiller<<. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

27+(3+4)*(3+4)=AS*AS, skąd AS=sqrt(76).

Zadanie: znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że n³ jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że znalazłeś wszystkie takie liczby.

27+(3+4)*(3+4)=AS*AS, skąd AS=sqrt(76).

Zadanie: znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że n³ jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że znalazłeś wszystkie takie liczby.

27+(3+4)*(3+4)=AS*AS, skąd AS=sqrt(76).

Zadanie: znajdź wszystkie liczby naturalne n takie, że n³ jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że znalazłeś wszystkie takie liczby.

czwartek, 7 listopada 2019

Czwartek, 7.11.19

Kochana Irenko, kilka dni temu na seminarium pan opowiadał o kwazarach https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwazar i ich promieniowaniu. Kwazary to obiekty podobne do gwiazdy, ale o mocy promieniowania całej galaktyki. Nie obserwuje się ich w odległości mniejszej niż miliard lat świetlnych. Są to galaktyki widziane w czasach, gdy rosła centralna czarna dziura i pożerała gwiazdy z okolic centrum.

Rozwiązanie zadania: oznaczę cyfry liczby dwucyfrowej przez x i y, sumę cyfr przez s=x+y. Wartość liczby wynosi x*10+y=(s-y)*10+y. Wg zadania powinien zachodzić związek

(s-y)*10+y=s*s-6 lub

s*s-10*s-6+9*y=0. Po niewielkich przekształceniach (sprawdź, że (s-5)^2=s*s-10*s+25)

(s-5)^2=31-9*y.

Widać, że jedynym rozwiązaniem (aby lewa strona była dodatnia, musi zachodzić y<4, dlaczego) w liczbach naturalnych jest y=3 i s-5=2. Wówczas s=7, stąd y=4. Wniosek: istnieje jedna liczba dwucyfrowa równa 43, której kwadrat sumy cyfr równy 7*7=49 jest o 6 większy od tej liczby.

Zadanie: dany jest romb o boku długości 6 i o kącie ostrym rozwartości 60^o. Romb ten podzielono na trzy części o równych polach odcinkami o wspólnym końcu w wierzchołku kąta ostrego i o drugich końcach na bokach rombu. Wyznacz długości tych odcinków. Zrób staranny rysunek.

Zapraszam Cię na stare tango po polsku i po żydowsku https://www.youtube.com/watch?v=wEL0RL_bBkw. Dużo pogody i zdrowia, Tata

środa, 6 listopada 2019

Środa, 6.11.19

Kochana Irenko, Kochana Irenko, 66 milionów lat temu, w wyniku zderzenia planetoidy z Ziemią, wyginęły pterozaury https://www.swiatnauki.pl/8,1829.html. Jak duże były pterozaury i czy miały pióra, podobne do ptasich?

Rozwiązanie zadania: ustalmy, że zbiorem liczb naturalnych są liczby {1,2,3,4, ….}, bez zera. Spośród 4 liczb naturalnych mogą być nieparzyste N lub parzyste P: {NNNN}, {PNNN}, {PPNN}, {PPPN}, {PPPP}. Innych możliwości nie ma. Pamiętasz, że suma dwóch liczb parzystych daje liczbę parzystą, P+P=P oraz suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą, N+N=P. Zauważ, że w pięciu możliwych kombinacjach, zawsze znajdą się dwie różne pary liczb NN lub PP, których sumy są liczbami parzystymi. Ponieważ istnieje tylko jedna liczba parzysta i pierwsza równa 2, przeczy to stwierdzeniu, że można z każdej sumy otrzymać liczbę pierwszą.

Zadanie: Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych, które są o 6 mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr?

Zapraszam Cię na M. Fogga https://www.youtube.com/watch?v=tdtCWf-ndBk&list=PLD0B9745DF8438FEC&index=13 . Dużo pogody i zdrowia, Tata

poniedziałek, 4 listopada 2019

Wtorek, 5.11.19

Kochana Irenko, popatrz na jeden z największych cudów przyrody. Z początkowo jednej komórki, po wielu, wielu podziałach, powstaje skomplikowany zbiór zawierający miliardy komórek. Zbiór ten nie jest chaotyczny, komórki są zorganizowane tworząc organizm salamandry https://www.youtube.com/watch?v=SEejivHRIbE. Wszystkie informacje o podziałach są zapisane za pomocą kwasów DNA.

Rozwiązanie zadania: tymi 6 liczbami są 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, a ich suma wynosi 9+99+999+9999+99999+999999=1111104.

Zadanie: czy istnieją cztery różne liczby naturalne takie, że suma każdych dwóch spośród nich jest liczbą pierwszą? Odpowiedź uzasadnij.

Zapraszam Cię na mszę koronacyjną, napisaną przez W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=1hv5sJe-Fr0. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

niedziela, 3 listopada 2019

Poniedziałek, 4.11.19

Kochana Irenko, około roku 1950 roku nie wiedziano, jak zapisywana jest informacja o organizmie i jak przekazywana jest potomstwu - za pomocą białek, czy za pomocą kwasu, zwanego dzisiaj DNA. W 1952 roku Alfred Hershey https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Hershey wraz z Marthą Chase https://en.wikipedia.org/wiki/Martha_Chase wykonali bardzo proste doświadczenie pokazane na krótkim filmie https://www.youtube.com/watch?v=g9JQURwseIY. Bohaterami filmu są fagi i bakterie. Fag wstrzykuje do wnętrza bakterii informację o sobie, ta powoduje namnażanie się wirusa, powstaje wiele jego kopii, a bakteria ginie. Co fag wstrzykiwał do wnętrza bakterii: białko, z którego był zbudowany, czy kwas zawarty w główce? Aby odpowiedzieć na to pytanie, autorzy zauważyli, że białka zawierają siarkę, która nie występuje w kwasie, zaś fosfor występuje w kwasie, ale nie występuje w białkach. Podmieniono, więc siarkę w białkach na siarkę radioaktywną i badano, czy nowopowstałe wirusy ją zawierają. Nie zawierały. Następnie podmieniono fosfor występujący tylko w kwasie, na radioaktywny. Tym razem nowe wirusy zawierały radioaktywny fosfor, co świadczyło, że informacja o nowym wirusie została przekazana za pomocą kwasu. Za doświadczenie to Hershey otrzymał Nagrodę Nobla.

Rozwiązanie zadania: transformacją, która nie zmienia równania y=x^4+5 ma postać xà-x. Transformacja ta ma punkt stały równy 0: 0à0. Dlatego dla zera funkcja ta przyjmuje minimum.

Zadanie: dodano 6 liczb, z których każda następna miała o jedną cyfrę więcej niż poprzednia, i otrzymano 1111104. Jakie liczby dodano?

Każda msza jest także wydarzeniem muzycznym. Trudno dociec, kto napisał muzykę (pisało wielu) do posoborowej mszy. Zapraszam Cię na mszę napisaną przez W. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=oWWeL8YvS2g. Pogodnego dnia, Tata

Niedziela, 3.11.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-11-03.

Rozwiązanie zadania: transformacją, która nie zmienia równania y=x*x+5 ma postać xà-x. Transformacja ta ma punkt stały równy 0: 0à0. Dlatego dla zera funkcja ta przyjmuje minimum. Dla równania y=x*x+2*x+6=(x+1)^2+5 transformacją, ktopra nie zmienia równania ma postać x+1à-(x+1). Jaki jest punkt stały tej transforamcji? Można policzyć z równania x+1=-x-1, czyli x=-1. Zatem dla x=-1 funkcja przyjmuje minimum. Na tym przykładzie zobaczyłaś, jakie znaczenie mają przekształcenia, nie zmieniające równania, czyli jego symetrie.

Zadanie: znajdź transformację nie zmieniającą wartości y, podobną do tej z wczorajszego zadania, dla równania y=x^4+5, gdzie x jest liczbą rzeczywistą.

Polecam Ci Psalm https://www.youtube.com/watch?v=RM3G17Sn0qs . Pięknej niedzieli, Tata

piątek, 1 listopada 2019

Sobota, 2.11.19

Kochana Irenko, popatrz, jak Markury przemieszcza się na tle słońca https://apod.nasa.gov/apod/ap191021.html.

Rozwiązanie zadania: jeśli x jest bardzo małą liczbą, to 1/x jest dużą i wyrażenie y=x+1/x przyjmuje duże wartości. Gdy x jest dużą liczbą, 1/x jest małą i y znowu ma duże wartości. Zauważ, że y nie zmienia się, gdy dokonać zamiany xà1/x, gdyż 1/x+1/1/x=1/x+x=x+1/x.

Transformacja ta przekształca całą oś liczbową x w siebie, np. 2 w ½, a ½ w 2. Oznacza to, że dla x=2 i dla x=1/2 wartości y są jednakowe (jest oczywiste, że 2+1/2=1/2+2). Zauważ, że transformacja ta przekształca punkt x=1 w siebie, jedynka pozostaje niezmieniona. Dla x=1 wyrażenie y=x+1/x przyjmuje minimum i jego wartość wynosi 2. Dlaczego? Dla nieco większej wartości niż 1, dla x=3/2 i nieco mniejszej od 1, dla x=2/3 wartość funkcji wynosi 3/2+2/3=(9+4)/6=2+1/6, o 1/6 przewyższa wartość minimalną! Transformacje równań, nie zmieniające ich postaci, odgrywają bardzo ważną rolę w matematyce i w fizyce. Czasami transformacje te są ważniejsze od samych rownań, dla których zachodzą. Ale sprawy te nie są nauczane w szkole. Szkoda.

Zadanie: znajdź transformację nie zmieniającą wartości y, podobną do tej z wczorajszego zadania, dla równania y=x*x+5, gdzie x jest liczbą rzeczywistą. Zastanów się, czy taka transformacja istnieje dla równania y=x*x+2*x+6, a jeśli tak, to jak wygląda.

Polecam Ci „Starszy pan” M. Fogga https://www.youtube.com/watch?v=fzEt0TpTDmw&list=PLD0B9745DF8438FEC&index=16 . Pięknego dnia, Tata