Sobota, 30.06.18

Sobota, 30.06.18

Kochana Irenko, w marcu 2014 roku pisałem do Ciebie „niejednokrotnie widziałaś, że główka mrówki jest nie większa od łebka szpilki. W główce znajduje się mały mózg. Jest podobny do mózgu muchy lub pszczoły. Jest jednym z najwspanialszych wynalazków przyrody. Jego budowa jest bardziej skomplikowana niż budowa naszej galaktyki. Zawiera około 250 tysięcy neuronów, połączonych ze sobą specjalnymi przewodami. Odbiera bodźce przekazywane przez oczy. Oznacza to, że światło wpadające do oka zamieniane jest na wzbudzenia elektryczne, które są przez mózg analizowane.” Wczoraj słuchałaś wykładu noblowskiego Erica Kandela. On analizował mózg ślimaka, mający tylko 10 tysięcy neuronów. 

Rozwiązanie: jeśli dowolne wyrażenie typu x+y podniesiemy do 3 potęgi dostajemy

(x+y)^3= x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 (sprawdź).

Podnosząc do 3 potęgi wyrażenie

(a+1/a)^3=a^3+3*a^2/a+3*a*(1/a)^2+1/a^3=a^3+1/a^3+3(a+1/a). Zatem

a^3+1/a^3=(a+1/a)^3-3*(a+1/a)

Ale (a+1/a)^3 jako sześcian liczby całkowitej, jest też liczbą całkowitą. Podobnie 3*(a+1/a) jest liczbą całkowitą. Różnica dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.

Zadanie (trudne): oblicz pole trapezu o długościach przekątnych 15cm i 20cm, oraz o długości wysokości 12cm.  Wskazówka: skorzystaj z prawa Pitagorasa, mówiącego, że w trójkącie prostokątnym o bokach przy kącie prostym a i b i przeciwprostokątnej c zachodzi a*a+b*=c*c.

Polecam Ci wakacyjnie Czardasz  w wykonaniu Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=BF9uQI-SRv4&list=RDsQqO5YrKiHY&index=3. Czardasz można usłyszeć w Czardzie w Szczawnicy. Radosnego, wakacyjnego dnia, Tata

 

Piątek, 29.06.18

Piątek, 29.06.18

Kochana Irenko, w wolnej chwili popatrz na wykład Erica Kandela, odbierającego nagrodę Nobla za rok 2000, https://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=898 właśnie za obserwacje ślimaczych mózgów. Jeśli zrozumiesz nawet niewiele, będzie to sukces. Mózg ten jest wciąż nieznany. Wakacje z nauką, mogą być niezwykle ciekawe. Widziałaś na filmie z wykładu Kandela, 8 minuta, że ślimak miał zawieszony na szyi medal Nobla. Ślimak ma bardzo prosty mózg i procesy związane z pamięcią można wyśmienicie studiować na jego przykładzie. Ponadto sztuczny mózg, wielkości tego jakim obdarzony jest ślimak, to doskonałe  narzędzie w głowach robotów, np. opiekujących się ludźmi.

Rozwiązanie: koniecznie zrób rysunek. Po przedłużeniu ramion trapezu, ramiona te przecięły się, tworząc trójkąt. Podstawą trójkąta jest krótszy bok trapezu. Długość dwóch ramion trapezu wynosi 7-2-3=2. Pozostałe boki trójkąta mają długość rowną  podwojonej długości ramion trapezu (dlaczego?). Zatem obwód trójkąta wynosi 2+2*2=6.

Zadanie (trudne): udowodnij, że jeżeli  dla pewnej liczby a (nie jest calkowita) a+1/a jest liczbą całkowitą, to a^3+1/a^3 też jest liczbą całkowitą. Oznaczenie: a^3=a*a*a.

Polecam Ci wakacyjnie „Węgierską rapsodię” Franza Liszta w wykonaniu Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=yMU4SO7rp5w&list=RDsQqO5YrKiHY&index=2. Zdrowego  i radosnego  dnia, Tata

Czwartek, 28.06.18

Czwartek, 28.06.18

Kochana Irenko, przed rokiem pisałem Ci o Ericu Kandelu, badaczu mózgów ślimaczych https://www.nytimes.com/2017/05/05/nyregion/eric-kandel-neuroscientist-sunday-routine.html. Kandel dobiega 90’tki (ur. 1929).

Rozwiązanie: jeśli w pensjonacie jest 45 pokojów, to 2/5*45=18 pokojów było jednoosobowych, dwuosobowych było 18-3=15 i 45-18-15=12 pokojów 3-osobowych. Maksymalnie można w pensjonacie pomieścić 18*1+15*2+12*3=18+30+36=84 gości.

Zadanie: trapez o obwodzie 7 cm ma podstawy długości 2 cm i 3 cm. Ramiona przedłużono do przecięcia, dobudowując w ten sposób do trapezu trójkąt. Oblicz obwód trójkąta.

Polecam Ci wakacyjnie Bubamarę w wykonaniu Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=sQqO5YrKiHY. Podobne „granie” usłyszeć można w Szczawnicy, w Czardzie. Oczywiście nie w tak doskonałym wykonaniu. Pięknego i radosnego  dnia, Tata

Środa, 27.06.18

Środa, 27.06.18

Kochana Irenko, przed rokiem, wakcyjnie zaprosiłem Cię na proste doświadczenia o ślimakach i ich mózgach. Przypominam Ci ciekawy artykuł http://naukawpolsce.pap.pl/aktualnosci/news,410000,dwie-komorki-wystarcza-do-podejmowania-decyzji.html.

Rozwiązanie: dwa sześciany mają łącznie 12 ścian. Po sklejeniu dwóch ścian, boczne ściany powstałego prostopadłościanu składały się z 10 kwadratów. Ponieważ pole boczne prostopadłościanu wynosi 250 (w cm^2), więc jeden kwadrat ma powierzchnię 25. Bok sześcianu ma długośc 5. Wymiary prostopadłościanu 5x5x10 i jego objętość 5*5*10=250 (cm^3).

Zadanie: w pensjonacie jest 45 pokojów, z czego 2/5 to pokoje jednoosobowe. Pokojów dwuosobowych jest o 3 mniej niż jednoosobowych, a pozostałe to pokoje trzyosobowe. Oblicz, ile osób maksymalnie może nocować w tym pensjonacie.

Polecam Ci skrzypce  Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=gF-qs_jxrH0. Pięknego i radosnego  dnia, Tata

 

Wtorek, 26.06.18

Wtorek, 26.06.18

Kochana Irenko, przed rokiem pisałem Ci, jak skomplikowany jest mózg ślimaka. Ale pamiętasz, że zawiera tylko 10 tys. neuronów. Mózg człowieka to niezbadana dżungla z blisko 100 miliardami neuronów. Porównywalną liczbą do liczby neuronów u człowieka jest  liczba gwiazd w naszej Galaktyce  - ok 200-300 miliardów. Dowiedziałaś się także, że liczba swobodnych planet podążających bez celu  przez  Drogę Mleczną jest kilka razy większa od liczby gwiazd, czyli może wynosić ok. 1000 miliardów. Krótko mówiąc gdzie nie spojrzeć mamy do czynienia z wielkimi liczbami.

Rozwiązanie: prócz Ewy biegło 27 dzieci. Łatwo widać, że warunki zadania są spełnione, gdy przed Ewą przybiegło 9 dzieci, za nią 18 dzieci. Ewa była 10-ta.

Zadanie: po sklejeniu ścianami dwóch jednakowych sześciennych klocków Ania otrzymała prostopadłościan o podstawie kwadratu. Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 250 cm2 . Oblicz wymiary i objętość prostopadłościanu.

Wakacyjnie polecam Ci tango w wykonaniu Itzhka Perlmana https://www.youtube.com/watch?v=kigoRVhyaf4. Pięknego, wakacyjnego  dnia, Tata

 

Poniedziałek, 25.06.18

Poniedziałek, 25.06.18

Kochana Irenko, proponuję Ci wakacyjnie popatrzeć na listę zwierząt, z podaną  liczbą neuronów https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_animals_by_number_of_neurons. Ile neuronów ma ślimak (snail) a ile kot (np. nasza Fizia)?  Wakacyjnie, przed rokiem, badaliśmy mózg ślimaka.

Rozwiązanie: niedawno obliczyliśmy, że liczba przekątnych w n-kącie wypukłym wynosi n*(n-3)/2. Jeśli liczba ta ma się dzielić przez n, to (n-3)/2 musi być liczbą naturalną. Ale dla n parzystej, n-3 jest liczbą nieparzystą i  (n-3)/2 nie jest liczbą naturalną, gdyż n-3 nie dzieli się przez 2.

Zadanie: klasa Ewy liczy 28 osób. Wszyscy uczniowie tej klasy wzięli udział w biegu na 2 kilometry i go ukończyli. Przed Ewą na metę przybiegło dwa razy mniej uczniów niż za nią. Które miejsce zajęła Ewa?

Zapraszam Cię na  11 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=rB3gnP2hbDY. Dużo, dużo zdrowia i  wakacyjnej radości, Tata

 

Niedziela, 24.06.18

Niedziela, 24.06.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-06-24. Zastanów się nad Psalmem.

Rozwiązanie: pierwsze równanie ma postać

x*y-x*x=3, drugie

4*y*y-3*x*y=2. Odejmując od drugiego równania pierwsze  dostaję

4*y*y-4*x*y+x*x=(2*y+x)^2=-1. Nie istnieją takie liczby rzeczywisye x i y, dla których wyrażenie 2*y+x podniesione do kwadratu daje liczbę ujemną -1. Kwadrat liczby rzeczywistej zawsze jest liczbą dodatnią.

Zadanie: czy istnieje wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków i taki, że liczba przekątnych jest wielokrotnością liczby boków?

Zapraszam Cię na  13 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=b2pa9WmJ-78. Dużo wakacyjnej radości, Tata

Sobota, 23.06.18

Sobota, 23.06.18

Kochana Irenko, wiesz, że na Marsie wieją obecnie huragany. Popatrz na lądownik https://apod.nasa.gov/apod/ap180623.html Curiosity Mars Rover. Przetłumacz opis zdjęcia.

Rozwiązanie: suma odległości dowolnego punktu rombu do jego boków jest równa podwojonej wartości wysokości, a ta jest stała.

Zadanie: czy istnieją takie dwie liczby x i y, aby jednocześnie zachodziły równości:

x(y-x) = 3,

y(4y-3x) = 2?

Wakacyjnie zapraszam Cię na bardzo pogodny  13 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=FUwoiYrUQ9w. Radosnego dnia, Tata

Piątek, 22.06.18

Piątek, 22.06.18

Kochana Irenko, koniec roku szkolnego, rozdanie świadectw. Wakacje! W Regułach ochłodziło się, tylko 12C. Oby wakacje były tak ciepłe, jak odchodząca wiosna.

Rozwiązanie: a) kolejne potęgi 7 maja cyfry jedności (7,9,3,1) (sprawdź), dla 16 (6), dla 21 (1). Zauważ, że żadna z cyfr (7,9,3,1) dodana do 6 nie daje cyfry jedności równej 1.

b) liczba 2^k jest parzysta, 3^m nieparzysta. Suma liczby parzystej i nieparzystej daje liczbę nieparzystą, a 4^n jest liczba parzystą.

Zadanie: wykaż, że suma odległości dowolnego punktu rombu od prostych zawierających boki rombu jest stała.

Zapraszam Cię wakacyjnie na 14  koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=JJiE8OQSQyc. Dużo, dużo   wakacyjnej radości, Tata

Czwartek, 21.06.18

Czwartek, 21.06.18

Kochana Irenko, zobacz, co dzieje się na Marsie https://apod.nasa.gov/apod/ap180616.html. Ustal, kiedy zdjęcie zostało wykonane. Kilka dni temu donosiłem Ci o marsjańskich huraganach.

Rozwiązanie: liczba 1999 po podzieleniu przez 3 daje resztę 1, można ją zapisać w postaci 3*666+1. Podnieśmy do kwadratu liczbę typu (3*k+1)*(3*k+1)=3*L+1. Widzisz, że liczba posiadająca z dzielenia przez 3 resztę 1, po pomnożeniu przez siebie daje także resztę 1 z dzielenia przez 3. Zatem liczba 1999^2018 po podzieleniu przez 3 daje resztę 1, zaś cała rozważana liczba 1999^2018+2 daje resztę 1+2=3 i dzieli się przez 3.

Zadanie: Wykaż, że nie istnieją liczby naturalne k, m, n takie, że:

a) 7^k+16^m=21^n,

b) 2^k+3^m=4^n. Zapis 7^k oznacza 7 podniesione do potęgi k.

Zapraszam Cię na 14 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=EUrovt0eIXc. Dużo, dużo   wakacyjnej radości, Tata

Środa, 20.06.18

Środa, 20.06.18

Kochana Irenko, nareszcie wakacje. Popatrz na rozmieszczenie planet naszego Układu, widocznych nocą. https://apod.nasa.gov/apod/ap180614.html. Poczynajac od zachodu , nw nocy widać Jowisz, Saturn i Mars.

Rozwiązanie: sprowadzając do wspólnego mianownika wyrażenie w nawiasie dostaję

(x+y)*(1/x+1/y)=(x+y)*(x+y)/(x*y).

Niech x*y przyjmuje określoną wartość x*y=a. Wówczas x+y przyjmuje najmniejszą wartość dla

x=y=sqrt(a), skąd x+y=2*sqrt(a). Zatem rozpatrywane wyrażenie jest mniejsze od 2*sqrt(a)*2*sqrt(a)/a=4.

Zadanie: wykaż, że liczba 1999^2018+2 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię na 15 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=W1yj94oyLpo. Dużo, dużo  radości, Tata

Wtorek, 19.06.18

Wtorek, 19.06.18

Kochana Irenko, prawie wakacyjnie polecam Ci krótki film o słonecznej aktywnoci https://apod.nasa.gov/apod/ap180618.html.

Rozwiązanie: wymnażając lewą stronę nierówności dostaję

(2+3*x)*(2+3*y)=4+6*(x+y)+9*x*y=31+6*(x+y). Powstaje pytanie, jaka jest najmniejsza wartość x+y przy ustalonym x*y=3. Zauważ, że jest to pytanie równoważne pytaniu o najmniejszy obwód prostokąta, którego pole jest stałe i wynosi 3. Otóż najmniejszy obwód, spośród prostokątów o ustalonym polu, ma kwadrat. Bok jest równy sqrt(3). Zatem dwa boki mają długość 2*sqrt(3). Stąd zachodzi

(2+3*x)*(2+3*y)=4+6*(x+y)+9*x*y=31+6*(x+y)>=31+12*sqrt(3).

Zadanie: wykaż, że jeśli x, y są liczbami dodatnimi, to (x+y)*(1/x+1/y)>=4. Wskazówka: wykorzystaj dzisiejsze rozwiązanie do znalezienia najmniejszej wartości x+y przy ustalonej wartości x*y=a.

Zapraszam Cię na bardzo radosny  16 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=EUrovt0eIXc. Dużo, dużo   zdrowia, Tata

 

Poniedziałek, 18.06.18

Poniedziałek, 18.06.18

Kochana Irenko, popatrz na  huragany wiejące na Marsie https://apod.nasa.gov/apod/ap180617.html.

Rozwiązanie: proste równoległe podzieliły wysokość na 3 równe części, po 3 każda. Natomiast podstawy powstałych 3 trapezów mają długości 12, 14, 16, 18 (w cm). Zatem ich pola wynoszą 3*(12+14)/2=3*13=39, 3*(14+16)/2=3*30/2=3*15=45, 3*(16+18)/2=3*17=51.

Zadanie (trudne): wykaż, że jeżeli x, y są liczbami dodatnimi takimi, że x*y=3, to  zachodzi (2+3*x)*(2+3*y)>=31+12*sqrt(3), gdzie sqrt(3)*sqrt(3)=3.

Zapraszam Cię na bardzo radosny  17 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=ZiT8ertTTGE. Dużo, dużo   zdrowia, Tata

 

Niedziela, 17.06.18

Niedziela, 17.06.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-06-17.

Rozwiązanie:  spośród każdych 3 kolejnych  liczb naturalnych, jedna z nich dzieli się przez 3. Ponieważ n i n+2 są liczbami pierwszymi, nie dzielą się przez 2 i nie dzielą się przez 3. Zatem n+1 jest liczbą parzystą i podzielną przez 3, co oznacza, że n dzieli się przez 6.

Zadanie: podstawy trapezu mają długość 18 i 12, a wysokość 9 (długości w cm). Dwie proste równoległe dzielą każde z ramion trapezu na trzy równe odcinki. Oblicz pole każdej części, na które te proste dzielą trapez.

Zapraszam Cię na 18 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=qBKjmZ0Q_J4. Dużo  zdrowia i pogodnej niedzieli, Tata

Sobota, 16.06.18

Sobota, 16.06.18

 

Kochana Irenko,
oglądając ostatni odcinek astronarium, doszłaś zapewne do wniosku, że kosmiczne „glazy” są bardzo, bardzo niebezpieczne.

 

Rozwiązanie: pomnóżmy obie strony równości 5/a+3/b=1 przez iloczyn a*b. Dostajemy 5*b+3*a=a*b. Jeżeli obie liczby a i b są nieparzyste, to 5*b i 3*a są też nieparzyste, ale ich suma jest liczbą parzystą. Z drugiej strony a*b, na mocy założenia, jest liczba nieparzystą. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności. Wnioskujemy, że a i b nie mogą być nieparzyste. Jeśli jedna z tych liczb jest nieparzysta a druga parzysta, to suma 5*b+3*a jest nieparzysta, ale tym razem a*b jest liczbą parzystą, co znowu prowadzi do sprzeczności.
Jedynie  założenie, że a i b są parzyste nie prowadzi do sprzeczności.

Zadanie: liczba naturalna n jest większa od 2000. Wykaż, że liczba n+1 jest podzielna przez 6, jeżeli wiesz, że n oraz n+2 są liczbami pierwszymi.

Zapraszam Cię na 19 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=k9zgbGmHahs.
Dużo  zdrowia i pogodnej soboty, Tata

Piątek, 15.06.18

Piątek, 15.06.18

Kochana Irenko, o najbliższych obiektach bliskich Ziemi dowiesz się z najnowszego (62) odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=wumQv2vGEjs.

Rozwiązanie: jeśli otrzymano resztę 23, to oznacza, że liczba dzieląca a>23 oraz, że liczba 133-23=110 dzieli się przez a. Ale w rozkładzie na liczby pierwsze 110=2*5*11. Z tych liczb można utworzyć 2 podzielniki a większe od 23: 5*11=55 oraz 110.

133=2*55+23, 133=1*110+23. Odpowiedź: a i k są równe (55,2), (110,1).

Zadanie: dane są takie liczby naturalne a i b, że zachodzi równość 5/a+3/b=1. Wykaż, że
obie liczby a i b są parzyste.

Zapraszam Cię na 20 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=yM8CFR01KwQ. Dużo  zdrowia, Tata

Czwartek, 14.06.18

Czwartek, 14.06.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś wczoraj krótki film o rozmiarach planet i gwiazd. Jakie rozmiary może osiągać największa gwiazda. Gdyby taką gwiazdę umieścić zamiast słońca, co widzielibyśmy na niebie?

Rozwiązanie: wyrażenie można przepisać w postaci

[x*x+(2*y)*(2*y)-2*x*2*y]+[x*x-2*x*3+3*3]+2008=

(x-2*y)^2+(x-3)^2+2008.

Ale (x-3)^2 przyjmuje najmniejszą wartość, równą 0, gdy x=3.  Natomiast pierwsze wyrażenie przyjmuje najmniejsza wartość, także równą 0, gdy x=3 i y=3/2. Całe wyrażenie przyjmuje wtedy wartość 2008 i jest to jego najmniejsza wartość.

Zadanie: liczbę 133 podzielono przez liczbę naturalną a i otrzymano iloraz k oraz resztę 23, czyli 133=a*k+23. Wyznacz liczby a, k. Podaj wszystkie rozwiązania.

Zapraszam Cię na 21 koncert fortepianowy Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=fNU-XAZjhzA&t=31s. Radosnego i zdrowego dnia, Tata

Środa, 12.06.18

Środa, 12.06.18

Kochana Irenko, polecam Ci bardzo interesujący film https://apod.nasa.gov/apod/ap180612.html rozmiary gwiazd i planet.

Rozwiązanie: rozważmy 4 przypadki  - resztami z dzielenia liczby k przez 5 są: 1,2,3,4. Jeśli resztami są 2 i 4, kwotę k złotych można wypłacić 5 złotówkami oraz jedną lub dwiema 2 złotówkami. Jeśli resztami są 1 i 3, wówczas zamieniamy jedną 5 złotówkę i 1 zł na 3 dwuzłotówki, a 5 zł i 3 na 4 dwuzłotówki. Jeśli dołączyć przypadek, gdy k dzieli się przez 5, to innych przypadków nie ma.

Zadanie (trudne): wyznacz takie liczby rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie 2*x*x+4*y*y-4*x*y-6*x+2018  przyjmuje najmniejszą wartość.

Zapraszam Cię na 22 koncert fortepianowy, skomponowany przez 29-letniego  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=8hgaxI3JRgg. Radosnego i zdrowego dnia, Tata

 

Wtorek, 12.06.18

Wtorek, 12.06.18

Kochana Irenko, popatrz na mgławicę Kocie Oko https://apod.nasa.gov/apod/ap180610.html. Obserwacji dokonał teleskop Hubble.

Rozwiązanie: ponieważ x i y są dodatnie, więc istnieją takie a i b, że x=a*a i y=b*b. Podstawiając do równania dostajemy a*a+b*b>=2*a*b. Odejmując od obu stron 2*a*b dostaję

a*a+b*b-2*a*b=(a-b)^2>=0. Ostatnia równość jest oczywista, gdyż kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy lub równy 0.

Zadanie: wykaż, że jeżeli k jest liczbą naturalną większą od 3, to kwotę k złotych można wypłacić mając do dyspozycji tylko monety dwuzłotowe i pięciozłotowe.

Zapraszam Cię na 23 koncert fortepianowy  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=Qll0vK3uTHA. Radosnego i zdrowego dnia, Tata

 

Poniedziałek, 11.06.18

Poniedziałek, 11.06.18

Kochana Irenko, popatrz, w jaki sposób Fermi został wyniesiony na orbitę  https://apod.nasa.gov/apod/ap180611.html. Od tego czasu minęło, jak Ci pisałem, 10 lat. Wtedy miałaś 2 lata.

Rozwiązanie: na mocy warunków zadania możemy założyć, że x=sqrt(3)+a, y=sqrt(3)+b, z=sqrt(3)+c, gdzie a>0, b>0, c>0. Wówczas

x*y*z=3*sqrt(3)+3*(a+b+c)+ sqrt(3)*(a*b+b*c+c*a)+a*b*c, natomiast

x+y+z=3*sqrt(3)+1*(a+b+c). Widać, że dla dowolnych a, b, c dodatnich wyrażenie x*y*z jest większe od wyrażenia x+y+z o dodatnie wyrażenie równe

2*(a+b+c)+ sqrt(3)*(a*b+b*c+c*a)+a*b*c. Stąd wynika nierówność x*x*z>x+y+z.

Zadanie: wykaż,  że dowolne liczby dodatnie x, y spełniają nierówność (x+y)/2>=sqrt(x*y), gdzie >= oznacza większy lub równy, sqrt(x*y) oznacza pierwiastek z liczb x*y.

Zapraszam Cię na  58 Symfonię (dorosłego) Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=gYOBKHkT8T8&t=164s. Radosnego i zdrowego tygodnia, Tata

 

Niedziela, 10.06.18

Niedziela, 10.06.18

Kochana Irenko, czy wybierzesz się do kościoła? Tam usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-06-10. Zastanów się nad Psalmem.

Rozwiązanie: ilość przekątnych w n–kącie wypukłym wynosi n*(n-3)/2. Dlaczego? Z każdego wierzchołka prowadzimy n-3 przekątne, razem n*(n-3), ale nie zapominajmy podzielić przez 2, gdyż każda przekątna przy takim zliczaniu jest liczona dwukrotnie. Zatem n i n*(n-3)/2 są nieparzyste. Stąd wynika, że (n-3)/2 jest także nieparzysta, co można zapisać w postaci

(n-3)/2=2*k+1, gdzie k pewna liczba naturalna. Mnożąc obie strony równania przez 2, dostajemy

n-3=4*k+2. Dodając do obu stron 2

n-1=4*k+4=4*(k+1), co dowodzi, że n-1 dzieli się przez 4.

Zadanie (trudne): dane są liczby rzeczywiste x, y, z takie, że x>sqrt(3), y>sqrt(3), z>sqrt(3). Wykaż, że xyz > x+y+z. W zadaniu sqrt(3) oznacza pierwiastek z 3, tzn. sqrt(3)*sqrt(3)=3.

Zapraszam Cię na  1 Symfonię  8-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=b4IXXpTHjok Radosnej i zdrowej niedzieli, Tata

Sobota, 9.06.18

Sobota, 9.06.18

Kochana Irenko, czy galaktyki magą się zderzać? Dowiesz się z analizy zdjęcia https://apod.nasa.gov/apod/ap180607.html.

Rozwiązanie: zapiszę iloczyn  pewnej liczby n i liczby o 2 większej n+2 w postaci  n*(n+2)=n*n+2*n+1-1=(n+1)^2-1. Ostatnie wyrażenie jest o 1 mniejsze od kwadratu n+1. Np. 2*(2+2)=8=3^2-1. Niech dla pewnego N zachodzi n*(n+2)=N*N. Widać, że N jest zawarte pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi n i n+1 (n<N<n+1) i nie może być liczbą naturalną. Wniosek: wyrażenie typu n*(n+2) nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.

Zadanie (trudne): w n-kącie wypukłym liczby boków i przekątnych są nieparzyste. Wykaż, że liczba (n-1) jest podzielna przez 4.

Zapraszam Cię na  2 Symfonię  8-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=61v2N-LMC5w. Być może symfonię napisał ojciec Wolfiego - Leopold. Radosnej i zdrowej soboty, Tata

Piątek, 8.06.18

Piątek, 8.06.18

Kochana Irenko, 10 lat temu rozpoczął zbieranie danych satelita Fermi https://apod.nasa.gov/apod/ap180608.html. Jakie zjawiska udało się zaobserwować dzięki Fermiemu?

Rozwiązanie: kolejne potęgi 2 to (2,4,8,6,2,4,8,6,….), a okres ma długość 4. Ale liczba 2016 dzieli się przez 4, zatem ostatnia cyfra liczby 2^2016 wynosi 6. Podobnie ostatnia cyfra 2016^2 jest równa  6, zatem cyfra jedności 2^2016+2016^2 jest równa 6+6=12, czyli 2.

Zadanie (trudne): czy iloczyn dwóch dodatnich liczb naturalnych różniących się o 2 może być kwadratem liczby naturalnej? Np. 2*4=8, 3*5=15, 4*6=24,  …, ogólnie n*(n+2).

Zapraszam Cię na  3 Symfonię  8-letniego https://en.wikipedia.org/wiki/Symphony_No._3_(Mozart) Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=ukImpxbXm78. Czy rzeczywiście symfonia jest autorstwa Mozarta? Radosnego i pogodnego dnia, Tata

Czwartek, 7.06.18

Czwartek, 7.06.18

Kochana Irenko, popatrz na jeden z księżyców Saturna, Iapetus https://apod.nasa.gov/apod/ap180603.html. Spróbuj zrozumieć i przetłumacz angielski opis zdjęcia.

Rozwiązanie: oznaczając dziewczęta przez litery ich imion, zaś relacje wygrał-przegrał zastępując relacją większości, mamy następujący ciąg nierówności:

B>A, C>D, G>H, G>C, C>B, E>F, G>E. Nierówności można połączyć i zastąpić przez ciągi nierówności (sprawdź)

G>C>D,

G>C>B>A,

G>H,

G>E>F.

Widać, że w drugim przypadku G>C>B>A, co oznacza, że  rozegrano 3 mecze (3 znaki nierówności) i w finale grała Gosia z Czesią. Wygrała Gosia!

Zadanie 16,  Kadet 2016: jaka jest cyfra jedności liczby 2^2016+2016^2?

Zapraszam Cię na  4 Symfonię https://en.wikipedia.org/wiki/Symphony_No._4_(Mozart)  9-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=P22v_HOJ7mM. Radosnego dnia, Tata

Środa, 6.06.18

Środa, 6.06.18

Kochana Irenko, popatrz na zdjęcie Jowisza https://apod.nasa.gov/apod/ap180605.html, króla nocnego nieba, przysłane przez satelitę Juno. Jowisz jest widoczny po zachodzie słońca na południu (u Ciebie nad Arhelanem).

Rozwiązanie: przekształcę

m*k^3–k*m^3=k*m*(k^2-m^2)=k*m*(k-m)*(k+m) (sprawdź, m^3=m*m*m).

Jeśli k i m są nieparzyste, to k-m dzieli się przez 2. Jeśli jedna z liczb k lub m (lub obydwie)  dzieli(-lą) się przez 2, to całe wyrażenie dzieli się przez 2. Zatem dla dowolnych k i m wyrażenie dzieli się przez 2.

Niech reszta z dzielenia (oznaczana jako [k], [m]) k lub m przez 3 wynosi 1 lub 2. Gdy reszty są identyczne, wyrażenie k-m dzieli się przez 3, np. [k-m]=[k]-[m]=1-1=2-2=0.  Jeśli reszty są różne i wynoszą 1, 2 wówczas [k+m]=[k]+[m]=1+2=3, i k+m dzieli się przez 3. Ponadto, jeśli jedna z liczb k lub m dzieli się przez 3, całe wyrażenie także dzieli się przez 3. Wykazaliśmy, rozpatrując wszystkie możliwe przypadki reszt, że całe wyrażenie dzieli się przez 3.

Udowodniliśmy, że wyrażenie dzieli się przez 2 i przez 3, zatem dzieli się przez 6=2*3.

Zadanie 30, Kadet 2016: osiem dziewcząt rozegrało 4 mecze ćwierćfinałowe, dwa mecze półfinałowe i jeden mecz finałowy. Okazało się, że Basia wygrała z Asią, Czesia z Dosią, Gosia z Hanią, Gosia z Czesią, Czesia z Basią, Ela z Felą i Gosia z Elą. Która para grała w finale?

Zapraszam Cię na  5 Symfonię  9-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=lzicvVsKrRk. The Symphony No. 5 in B-flat major, K. 22, was composed by Wolfgang Amadeus Mozart in Hague in December, 1765, at the age of nine, while he was on his musical tour of Western Europe. Mozart fell seriously ill during his stay in Hague, and he wrote that composition probably while he was convalescing from his illness. Pięknego i radosnego dnia, Tata

Wtorek, 5.06.18

Wtorek, 5.06.18

Kochana Irenko, przeglądając dzieła Mozarta docieramy do tych najwcześniejszych, komponowanych w wieku  11 lat. Młody Mozart był bardzo pogodnym i odważnym nastolatkiem. Te cechy chodzą w parze, tak jak zgryźliwość i  strach. Postaraj się przetłumaczyć opis dzisiejszej symfonii. W czerwcu odbędzie się 28 Festiwal Mozartowski w Warszawie http://bilety.operakameralna.pl/.

Rozwiązanie: oznaczmy ilość dziewczynek, które zjadły po 2 ciastka przez x. Wówczas ilość dziewczynek, które zjadły 1 ciastko wynosi 10-x. Ilość zjedzonych ciastek wyniosła 1.5*12=18. Zachodzi 2*x+(10-x)=18, skąd łatwo ustalić, że x=8. Uwaga: przy obliczaniu średniej w zadaniu, wzięto pod uwagę ilość wszystkich dziewczynek, dlatego do ustalenia liczby ciastek średnią należy pomnożyć przez 12, a nie przez 10.

Zadanie (trudne): udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej k i dla każdej liczby naturalnej m liczba m*k^3 – k*m^3 jest podzielna przez 6.

Zapraszam Cię na  6 Symfonię  11-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=wGb0j-xUd-Q. Symphony No. 6 in F major, K. 43, was composed by Wolfgang Amadeus Mozart in 1767. According to Alfred Einstein in his 1937 revision of the Köchel catalogue, the symphony was probably begun in Vienna and completed in Olomouc, a Moravian town to which the Mozart family fled to escape a Viennese smallpox epidemic. The symphony is in four movements, and is Mozart's first in the key of F. Its initial performance was at Brno on 30 December 1767. The autograph of the score is today preserved in the Biblioteka Jagiellońska in Kraków. The instrumentation for the first performance was: 2 flutes; 2 oboes; 2 horns; bassoon; strings and keyboard continuo. The flutes are used in the second movement in place of the oboes. For the first time in a symphony, Mozart uses two obligatory viola parts. Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Poniedziałek, 4.06.18

Poniedziałek, 4.06.18

Kochana Irenko, wg mnie bardzo wczesne utwory Mozarta są doskonalsze od tych późniejszych. A jakie jest Twoje zdanie?

Rozwiązanie: kangur A po n-sekundach pokona drogę 6*n (w metrach). Kangur B, którego długość kolejnych skoków wynosi 1,2,3,4,5,6,7,8…., ogólnie n, pokona drogę 1+2+3+…n=n*(n+1)/2 (sprawdź). Jeżeli kangur B dogoni kangura A, te dwie drogi muszą być równe

6*n=n*(n+1)/2,

stąd 6=(n+1)/2, lub 12=n+1. Widzisz, że po 11 sekundach kangur B dogoni kangura A.

Zadanie 24, Kadet 2016: 12 dziewcząt spotkało się w kawiarni. Średnia liczba zjedzonych ciastek wyniosła 1.5. Każda z nich zjadła 2 lub 1 ciastko, lub nie zjadła żadnego. Ile dziewczynek zjadło po dwa ciastka, jeśli ciastek nie jadły 2 dziewczynki.

Zapraszam Cię na  7 Symfonię  12-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=ABOle_eSq9c. Composed in Vienna and dated January 16, 1768. Later reworked into the overture to La finta simplice. Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 3.06.18

Niedziela, 3.06.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12 usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-06-03.

Rozwiązanie: liczbami, które spełniają warunki zadania są:

10,11,12,13,…19,

20,21,

30,31,

 ……,

90,91. Razem liczb, dla których suma cyfr jest większa od ich iloczynu, jest  2*8+10=26.

Zadanie 20, Kadet 2016 (trudne): dwa kangury A i B rozpoczynają bieg z tego samego miejsca, w tym samym czasie i w tym samym kierunku. Każdy z nich wykonuje co sekundę jeden skok. Długość skoku kangura A wynosi 6 m. Pierwszy skok kangura B ma 1 m, każdy następny jest o 1 metr dłuższy od poprzedniego. Po ilu skokach kangur B dogoni kangura A?

Zapraszam Cię na  8 Symfonię  12-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=1IJPQIYcAxQ. The Symphony No. 8 in D major, (K. 48), by Wolfgang Amadeus Mozart is dated December 13, 1768. It was written in Vienna, at a time when the family were already due to have returned home to Salzburg. In a letter to his friend in Salzburg, Lorenz Hagenauer, Leopold Mozart says of the delay that "we could not bring our affairs to a conclusion earlier, even though I endeavored strenuously to do so." The autograph of the Symphony No. 8 is today preserved in the Staatsbibliothek Preusischer Kulturbesitz in Berlin. The symphony is in four movements, and is scored for two oboes, two horns, two trumpets, timpani and strings. The inclusion of trumpets and timpani is unusual for Mozart's early symphonies. It has described as a "ceremonial work". Niedzieli pełnej radości, Tata

Sobota, 2.06.18

Sobota, 2.06.18

Kochana Irenko, czy oglądałaś ostatni odcinek astronarium? W jaki sposób ludzie zamierzają walczyć z kosmicznymi śmieciami?

Rozwiązanie: gdyby liczba sąsiadów pasażera w pierwszym wagonie wynosiła 10, to liczba sąsiadów pasażera z wagonu nr 2 byłaby większa od 10 (w trzecim wagonie podróżuje przynajmniej jeden pasażer), a to przeczy warunkowi zadania. Zatem liczba sąsiadów pasażera w pierwszym i ostatnim wagonie wynosi 5. Jednak pasażer w 3 wagonie ma za sąsiadów pasażerów z własnego wagonu, z wagonu nr 2 i nr 4, zatem liczba jego sąsiadów jest większa od 5 i równa 10. Widać, że warunki zadania spełnia następujący rozkład pasażerów w kolejnych wagonach: 3,3,5,3,3. W pierwszym wagonie każdy pasażer  ma 5 sąsiadów (3+3-1)=5, w drugim (3+3+5-1)=10, w trzecim (3+5+3-1)=10,  w czwartym (5+3+3-1)=10, w piątym (3+3-1)=5. Razem pasażerów jest 17.

Zadanie 27, Kadet 2016: ile jest liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest większa od ich iloczynu?

Zapraszam Cię na  9 Symfonię  13-letniego Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=dh8LxxhGjfU. Przyznasz, że bardzo odważnym dzieckiem był Wolfi? Radosnego i zdrowego   dnia, Tata