Poniedziałek, 30.04.18

Poniedziałek, 30.04.18

Kochana Irenko, polecam Ci feryjnie krótki film o niezwykłych przygodach, jakie mogą nas czekać, gdy zaczniemy  badać okolice niezbyt odległe https://apod.nasa.gov/apod/ap180429.html.

Rozwiązanie: prostokąt dodatkowych ogórków ma wymiary 3x5, stąd jego powierzchnia wynosi 15. Po powiększeniu, powierzchnia ogórków wynosi 5*5=25. Przed powiększeniem powierzchnia ta wynosiła 25-15=10. Wymiary podano w m, pole powierzchni w m2.

Zadanie 13, Kadet 2012.  Basia chce wstawić do tabeli  (10, X, Y, Z, 130), w miejsce nieznanych liczb X, Y, Z,  trzy liczby tak, aby suma pierwszych trzech liczb była równa 100, suma trzech środkowych była równa 200, a suma trzech ostatnich była równa 300. Ile wynosi Y?

Zapraszam Cię na 47 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=PZ06A2VupYM. Radosnych ferii, Tata

Niedziela, 29.04.18

Niedziela, 29.04.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12 usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-04-29. Uważnie przeczytaj Psalm.

Rozwiązanie: najmniejsze, 4-cyfrowe liczby, które można skonstruować z podanych 8 cyfr, tak by ich suma była najmniejsza, mają postać np. 1357 i 2468 i ich suma wynosi 3825.  Czy istnieją inne liczby, spełniające warunki zadania i  dające sumę 3825?

Zadanie 12, Kadet 2012. Ogrodnik uprawia na grządce ogórki i truskawki. W tym roku wydłużył o 3 metry krótszy bok prostokątnej części przeznaczonej pod uprawę ogórków, wskutek czego ta część ma teraz kształt kwadratu. W ten sposób pole części obsadzonej truskawkami zmniejszyło się o 15 m2. Ile było równe pole części obsianej ogórkami przed tą zmianą?

Zapraszam Cię na 46 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=oQ6edTtnpoM. Pogodnej i radosnej niedzieli, Tata

Sobota, 28.04.18

Sobota, 28.04.18

Kochana Irenko, w jaki sposób dokonuje się pomiarów w kosmosie, dowiesz się z 18 odcinka astronarium  https://www.youtube.com/watch?v=4l8KL-9Fj8Q&t=20s.

Rozwiązanie: iloczyn liczb w 4 kwadratach 2x2, posiadających wspólny środkowy kwadrat jednostkowy wynosi 2*2*2*2=16. Ale iloczyn ten składa się z dwóch iloczynów  pierwszej i trzeciej kolumny, środkowego wiersza, i podwojonej środkowej kolumny. To co zostaje, to wartość liczby umieszczonej w środkowym  kwadracie podniesionej do drugiej potęgi (zrób rysunek). Zatem wartość ta jest równa pierwiastkowi z 16, czyli 4

Zadanie 11, Kadet 2012. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, używając każdej z nich dokładnie raz, utworzono dwie liczby czterocyfrowe o możliwie najmniejszej sumie. Jaka jest wartość tej najmniejszej sumy?

Zapraszam Cię na 45 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=VkiAKCcOlj8. Pogodnych, zdrowych i radosnych ferii majowych, Tata

Piątek, 27.04.18

Piątek, 27.04.18

Kochana Irenko, posłuchaj 44 Symfonii Mozarta. Mimo, że ma niewiele wyświetleń w porównaniu z 40 Symfonią, w niczym jednak jej nie ustępuje. Ot, moda!

Rozwiązanie: narysuj zwiniętą linę i przetnij ją tak, jak opisano w zadaniu. Lina zostanie rozcięta na 7 kawałków, z których 2 ma długość a, 3 kawałki mają długość 2*a i 4 kawałki mają długość b, co widać z rysunku. Razem długość liny wynosi 8*a+4*b=4*(2*a)+4*b. Widać, że kawałki o długości 4 i 9 mogą być przyporządkowane   

a=9 i b=4,     długość liny 8*9+4*4=72+16=88,

2*a=9 i b=4, długość liny 4*9+4*4=36+16=52,

a=4 i b=9,    długość liny 8*4+4*9=32+36=68,

2*a=4 i b=9, długość liny 4*4+4*9=16+36=52. Innych możliwości nie ma (sprawdź).

Widzisz, że lina nie może mieć długości 72. Długości w m.

Zadanie 30, Kadet 2012. Kwadrat 3×3 podzielono na kwadraty jednostkowe. W każdym z nich wpisano liczbę dodatnią w taki sposób, że iloczyn liczb w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest równy 1, a w każdym kwadracie 2×2 iloczyn liczb jest równy 2. Jaką liczbę wpisano w jednostkowym kwadracie położonym w środku?

Zapraszam Cię na 44 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=j8SY5sHo-YE. Pogodnego, zdrowego  i radosnego dnia, Tata

Czwartek, 26.04.18

Czwartek, 26.04.18

Kochana Irenko, popatrz na wybuchy na Słońcu https://apod.nasa.gov/apod/ap180409.html.

Rozwiązanie: uporządkujmy opowiadania od najkrótszego do najdłuższego. Z warunków zadania wynika, że długości 30 opowiadań są kolejnymi liczbami od 1 do 30, z czego 15 opowiadań ma parzystą ilość stron, a 15 nieparzystą. Opowiadanie zaczyna się na stronie nieparzystej, gdy suma stron poprzedzających opowiadań jest parzysta. Zauważ, że niezależnie od tego, w jakim porządku umieścimy opowiadania w książce, to po pierwszym napotkanym opowiadaniu o nieparzystej ilości stron, następnie po 3, po 5, … i po 13, strona zacznie się liczbą parzystą. Przypadków, w których opowiadanie zaczyna się na parzystej stronie  jest zatem 7 (policz) lub 8, gdy opowiadanie 15 nie jest ostatnim  opowiadaniem. Umieśćmy opowiadanie 15 na końcu książki, wówczas maksymalna liczba opowiadań rozpoczynających się od strony nieparzystej wynosi 30-7=23

Zadanie 28, Kadet 2012 (trudne). Linę złożono na pół, potem znowu na pół, i jeszcze raz na pół. Następnie przecięto w jednym miejscu całą złożoną linę. Pewne dwa z otrzymanych kawałków są długości 9 i 4 metrów. Długość całej liny A) nie może być równa 52 m. B) nie może być równa 68 m. C) nie może być równa 72 m. D) nie może być równa 88 m. E) może być równa każdej z długości: 52 m, 68 m, 72 m, 88 m.

Zapraszam Cię na 43 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=Qg7D97uV7Ew. Pogodnego i radosnego dnia, Tata

Środa, 25.04.18

Środa, 25.04.18

Kochana Irenko, popatrz na piękne zdjęcie Jowisza, https://apod.nasa.gov/apod/ap180425.html.

Rozwiązanie: wypiszę, z jakim państwem graniczy kolejne państwo tak, aby spełniony był warunek zadania. Przede wszystkim państwo 5 musi graniczyć ze wszystkimi państwami, gdyż prócz państwa 5 istnieje tylko 5 państw. Państwo 4 graniczy ze wszystkimi prócz 1, itd. Państwo o numerze napisanym przed strzałką graniczy z państwami podanymi w nawiasie: 1->(5), 2->(4,5), 3->(4,5,6), 4->(2,3,5,6), 5->(1,2,3,4,6). Wniosek: państwo o numerze 6 graniczy z 3 państwami 6à(3,4,5).

Zadanie 27, Kadet 2012. W książce jest 30 opowiadań. Każde z nich zajmuje inną liczbę stron, od 1 do 30. Każde opowiadanie zaczyna się na nowej stronie, przy czym pierwsze opowiadanie zaczyna się na pierwszej stronie. Jaka jest największa możliwa liczba opowiadań, które mogą zaczynać się na nieparzystej stronie?

Zapraszam Cię na 42 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=--t0As77q6I Pięknego i radosnego dnia, Tata

Wtorek, 24.04.18

Wtorek, 24.04.18

Kochana Irenko, “the 41st Symphony is the last of a set of three that Mozart composed in rapid succession during the summer of 1788. The 39th was completed 26 June and the 40th 25 July. Around the same time, Mozart was writing his piano trios in E and C major, his sonata facile, and a violin sonatina. It is not known whether the 41st Symphony was ever performed in the composer's lifetime.”

Rozwiązanie:  zauważ, że ¾=12/16=24/32 oraz 4/5=12/15=24/30. Ponieważ tango tańczyło tyle samo mężczyzn co kobiet, więc mogło tańczyć 12 par lub 24 pary. Ale przy 24 parach liczba mężczyzn i kobiet wynosi 32+30=52 i jest większa od 50. Zatem na sali było 16 mężczyzn i 15 kobiet, razem 31 osób, a tango tańczyło 2*12=24 osoby.

Zadanie 25, Kadet 2012. Wyspa Kangurów jest podzielona na 6 państw ponumerowanych liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dla n = 1, 2, 3, 4, 5 państwo o numerze n graniczy dokładnie z n państwami. Z iloma państwami graniczy państwo o numerze 6?

Zapraszam Cię na 41 Symfonię  Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=bnK3kh8ZEgA. Pięknego dnia, Tata

Poniedziałek, 23.04.18

Poniedziałek, 23.04.18

Kochana Irenko, jak wielkie są  strugi cząstek? Przy jakich obiektach kosmicznych były obserwowane? W sobotę poleciłem Ci 58 odcinek astronarium.

Rozwiązanie: załóżmy, że pole kwadratu ABCD wynosi 1. Pole trójkąta MDC jest równe połowie z połowy pola kwadratu, czyli ¼. Pole AMN jest 4 razy mniejsze od pola MCD i wynosi 1/16. Zatem pole MNC jest rowne ½-1/4-1/16=3/16 i jest równe stosunkowi pola trójkąta MNC do pola kwadratu ABCD.

Zadanie 24, Kadet 2012. Tango (patrz np. https://www.youtube.com/watch?v=F2zTd_YwTvo&t=134s) tańczy się w parach – kobieta z mężczyzną. Na wieczorku tanecznym było nie więcej niż 50 osób. W pewnym momencie okazało się, że 3/4 mężczyzn tańczy tango z 4/5 kobiet. Ile osób wtedy tańczyło tango na sali?

Mozart napisał 2 symfonie w tonacji G-minor – 40 i 25. Zapraszam Cię na kolejną, 25 https://www.youtube.com/watch?v=rNeirjA65Dk. Zapytaj na muzyce, co oznacza tonacja G-minor. Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 22.04.18

Niedziela, 22.04.18

Kochana Irenko, dzisiaj o 12 usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-04-22. Psalm rozpoczyna się zdaniem „Dziękujcie Panu, bo jest dobry, bo Jego łaska trwa na wieki.”

Rozwiązanie: spełniając warunki zadania możemy 12 liczb ustawić w kolejności 1,3,6,8,11,9,12,10,7,5,2,4,1 (sprawdź). Zauważ, że z podanych w zadaniu przykładów A-E,  tylko liczby z przykładu D: 6 i 8 sąsiadują ze sobą.

Zadanie 23, Kadet 2012. Wyznacz stosunek pola trójkąta MNC do pola kwadratu ABCD, gdzie M jest środkiem boku AD, punkt N leży na przekątnej AC, a odcinek MN jest prostopadły do AC. Zrób rysunek.

Zapraszam Cię na 40 Symfonię, zwaną Wielką,  W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=JTc1mDieQI8. Radosnej i zdrowej niedzieli, Tata

 

Sobota, 21.04.18

Sobota, 21.04.18

Kochana Irenko, polecam Ci następny odcinek astronarium, o strugach cząstek https://www.youtube.com/watch?v=CE6G0o9EkAg.

Rozwiązanie: dwucyfrowe kwadraty liczb mają postać: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Zauważ, że tworząc liczbę 816, złożona jest ona z dwu kwadratów 81 i 16 mających wspólną cyfrę 1. Podobnie wspólną cyfrą jest 6 w liczbach 36 i 64, 16 i 64. Cyfra 4 występuje w 64 i 49. Więcej takich liczb nie ma. Stąd można utworzyć: 816, 364, 164  i 649. Ich suma wynosi: 1993.

Zadanie 22, Kadet 2012.  Paweł chce ustawić dwanaście liczb od 1 do 12 na okręgu w taki sposób, aby sąsiednie liczby zawsze różniły się o 2 lub o 3. Które z podanych liczb muszą ze sobą sąsiadować? A) 5 i 8 B) 3 i 5 C) 7 i 9 D) 6 i 8 E) 4 i 6

Zapraszam Cię na 39 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=H0x_dCrKd4w. Radosnej soboty, Tata

Piątek, 20.04.18

Piątek, 20.04.18

Kochana Irenko, ostatnio pisałem Ci o aktywności Słońca, jego wpływie np. na pogodę na Ziemi. Przypominam Ci 6 odcinek astronarium https://www.youtube.com/watch?v=w2HTtxL6ugw&t=138s.

Rozwiązanie: suma liczb od 1 do 11 wynosi 11*12/2=66. Odejmując 10 dostajemy 66-10=56 (sprawdź). Oznaczmy sumę liczb przyporządkowanych wierzchołkom przez X. Suma liczb przyporządkowana wszystkim krawędziom jest 3 razy większa i wynosi 3*X. Zatem zachodzi X+3*X=56, skąd X=56/4=14. Skoro suma A+B=9 i A+B+C+D=14, to C+D=5. Literami A, B, C, D oznaczyłem liczby przyporządkowane wierzchołkom. Wniosek: krawędzi CD przyporządkowano liczbę 5.

Zadanie 21, Kadet 2012. Niektóre liczby trzycyfrowe mają następujące dwie własności:

• po usunięciu pierwszej cyfry otrzymujemy liczbę dwucyfrową będącą kwadratem liczby naturalnej,

• po usunięciu ostatniej cyfry otrzymujemy liczbę dwucyfrową będącą kwadratem liczby naturalnej.

Ile wynosi suma wszystkich takich liczb trzycyfrowych?

Zapraszam Cię na 38 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=ot3g41rHFqU. Radosnego  i zdrowego dnia, Tata

Czwartek, 19.04.18

Czwartek, 19.04.18

Kochana Irenko, co to jest promieniowanie gamma i jak jest obserwowane dowiesz się z 40 odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=gkouvWGfFGM&t=24s.

Rozwiązanie: w przypadku A dzieci wbiegały po usmażeniu 1 naleśnika, potem 2, potem 3 naleśnika, aż do 6. B)  wbiegały po 1, 2, później wbiegły 3 razy po usmażeniu 5 i zjadły 5, 4, 3. Ostatni raz wbiegły po usmażeniu 6. Podobnie można rozważać przypadki C i E. Przypatrzmy się przykładowi D. Dzieci wbiegły po usmażeniu 4, 5, 6 naleśników. Pamiętajmy, że zostały naleśniki 1, 2, 3.  Więc po wbiegnięciu po naleśniku 6 dzieci powinny zjeść naleśnik 3, jako najgorętszy, a nie naleśnik 2. Dlatego przypadek D należy odrzucić.

Zadanie 29, Kadet 2013. Cztery wierzchołki i sześć krawędzi czworościanu oznaczono dziesięcioma liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 11 (bez liczby 10). Każdej liczby użyto jeden raz. Na każdej krawędzi liczba, którą ją oznaczono, jest równa sumie liczb, którymi oznaczono jej końce. Krawędź AB oznaczono liczbą 9. Jaką liczbą oznaczono krawędź CD?

Zapraszam Cię na 37 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=FDLlF6wz34U. Pogodnego  i zdrowego dnia, Tata

 

Środa, 18.04.18

Środa, 18.04.18

Kochana Irenko, czy Słońce może mieć wpływ na pogodę na Ziemi? Odpowiedź znajdziesz we wczorajszym artykule o Słońcu.

Rozwiązanie: oznaczmy cyframi  (1,2,3,4) numery stron, z których samochód przyjechał i przyporządkujmy samochodowi ze strony 1 zjazd w stronę 2, ze strony 2 w stronę 4, ze strony 3 w stronę 1, ze strony 4 w stronę 3, co możemy symbolicznie zapisać (1,2,3,4)à(2,4,1,3). Mamy wówczas przyporządkowanie zbioru 4 cyfr w ten sam zbiór 4 cyfr, ale w taki sposób, że zawsze cyfra przyporządkowana jest innej cyfrze, tak jak w powyższym przykładzie. Ile jest różnych takich przyporządkowań? Najprostsza metoda to je policzyć. Niech na pierwszym miejscu stoi 2, czyli samochód, który przyjechał ze strony 1 odjeżdża w stronę 2. Wówczas mamy tylko 3 możliwości zjazdu (sprawdź):

(1,2,3,4)à (2,1,4,3),

(1,2,3,4)à (2,3,4,1),

(1,2,3,4)à (2,4,1,3).  

Podobnie, gdy na pierwszym miejscu wpiszemy 3 lub 4, za każdym razem  mamy po 3 różne możliwości. Jedynka nie może stać na pierwszym miejscu, gdyż naruszone są warunki zadania. Razem naliczyliśmy 3*3=9  różnych zjazdów.

Zadanie 28, Kadet 2013. Mama smażyła naleśniki (po jednym) i numerowała je kolejno liczbami od 1 do 6. Jej dzieci kilka razy wbiegały do kuchni i za każdym razem zjadały najgorętszy naleśnik. W której z poniższych kolejności naleśniki nie mogły zostać zjedzone? A) 1, 2, 3, 4, 5, 6 B) 1, 2, 5, 4, 3, 6 C) 3, 2, 5, 4, 6, 1 D) 4, 5, 6, 2, 3, 1 E) 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Zapraszam Cię na 36 Symfonię W.A. Mozarta. https://www.youtube.com/watch?v=hwxNp-LzDYo. Słonecznego i zdrowego dnia, Tata

Wtorek, 17.04.18

Wtorek, 17.04.18

Kochana Irenko, czy Słońce może być niebezpieczne, dowiesz się ze streszczenia  artykułu http://www.swiatnauki.pl/8,1701.html.

Rozwiązanie: jeśli Bolek ukończył bieg jako 21, to przed Bolkiem było 20 zawodników. Za Lolkiem było zatem 1.5*20=30 zawodników.  Oznaczę przez L ilość zawodników przed Lolkiem, przez B ilość zawodników za Bolkiem zachodzą dwa równania:

20+B+1=L+30+1,

B=2*L.

Wstawiając za B=2*L do pierwszego równania dostaję 20+2*L=L+30 lub L=10. Zawodników było 30+1+10=41. Przydatna jest znajomość ułożenia i rozwiązania prostego układu równań.

Zadanie 27, Kadet 2013 (trudne).  Cztery samochody wjeżdżają z czterech stron na rondo w tym samym czasie, każdy z innej strony. Każdy samochód przejeżdża mniej niż jedno okrążenie i każdy odjeżdża w inną stronę. Ile jest rożnych sposobów opuszczenia ronda przez te samochody?

Zapraszam Cię na 35 Symfonię W.A. Mozartahttps://www.youtube.com/watch?v=p3rI-nFMFZE&list=RD-YMjAnanS3o&index=34. Słonecznego i zdrowego dnia, Tata

Poniedziałek, 16.04.18

Poniedziałek, 16.04.18

Kochana Irenko,  popatrz na przepiękny film wykonany przez satelitę Juno z przelotu nad północnym biegunem Jowisza https://apod.nasa.gov/apod/ap180416.html. Zdjęcia wykonane zostały w świetle czerwonym.

Rozwiązanie: najbardziej efektywną strategią jest sadzenie po 4 drzewa na przemian, zaczynając od klonów K, czyli

KKKK LLLL KKKK LLLL KKKK. Razem ogrodnik posadził 12 klonów, zachowując warunki zadania.

Zadanie 26, Kadet 2013.  Bolek i Lolek właśnie ukończyli maraton. Zauważyli, że za Bolkiem uplasowało się dwa razy więcej uczestników niż przed Lolkiem. Ponadto, za Lolkiem uplasowało się 1,5 razy więcej uczestników niż przed Bolkiem. Bolek ukończył bieg na 21. miejscu. Ilu biegaczy wzięło udział w maratonie?

Zapraszam Cię na 39 Symfonię W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=H0x_dCrKd4w&list=RD-YMjAnanS3o&index=28. Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

Niedziela, 15.04.18

Niedziela, 15.04.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-04-15. Uważnie przeczytaj Psalm.

Rozwiązanie: oznaczmy cyfry liczby pięciocyfrowej abcde przez a, b, c, d, e. Skoro ostatnią cyfrą sumy dwóch liczb  jest 3, to oznacza, że Irenka wycięła ostatnia cyfrę e. W przeciwnym razie ostatnia cyfra byłaby parzysta, jako suma dwóch dowolnych identycznych cyfr e+e. Dodano zatem liczby postaci

abcde+

 abcd

--------

52713

Zauważ, że a może być równe 4 lub 5, ale z 5 rezygnujemy dlatego, że z przeniesienia mogła zostać dodana dodatkowa jedynka i zachodzi a+b=11. Stąd a=4, b=7. Rozumując podobnie natychmiast widzisz, że c=9, d=2 i e=1. Poszukiwana liczba 5-cyfrowa ma postać 47921 i suma jej cyfr wynosi 23. Rzeczywiście  zachodzi 47921+4792=52713.

 Zadanie 25, Kadet 2013.  Ogrodnik zamierza posadzić w jednym rzędzie 20 drzew – klonów i lip. Liczba drzew między dowolnymi dwoma klonami nie może być równa 3. Jaka może być największa liczba klonów wśród 20 drzew posadzonych przez ogrodnika?

Zapraszam Cię na muzykę „baletową” Franza Schuberta https://www.youtube.com/watch?v=-N7ltIYWdP4&index=40&list=RD-YMjAnanS3o. Pogodnego dnia i dużo, dużo zdrowia, Tata

Sobota, 14.04.18

Sobota, 14.04.18

Kochana Irenko, popatrz na galaktykę spiralną widzianą prostopadle do powierzchni dysku https://apod.nasa.gov/apod/ap180413.html. Jak daleko galaktyka jest oddalona i w jakiej leży konstelacji?

Rozwiązanie: największa liczba podniesiona do kwadratu ze zbioru liczb od 1 do 2013^6 wynosi 2013^3. Podobnie największa liczba podniesiona do 3 potęgi w tym zbiorze wynosi 2013^2. Zauważ, że te największe liczby są jednocześnie liczbą kwadratów albo sześcianów w rozważanym zbiorze liczb. Zatem stosunek ilości kwadratów do ilości sześcianów wynosi 2013^3/2013^2=2013.

Zadanie 24, Kadet 2013 (trudne).  24. Irenka wybrała liczbę pięciocyfrową, a następnie usunęła z niej jedną cyfrę, otrzymując liczbę czterocyfrową. Wiadomo, że suma wybranej liczby pięciocyfrowej i otrzymanej liczby czterocyfrowej jest równa 52713. Jaka to była liczba pięciocyfrowa i jaką miała sumę cyfr?

Zapraszam Cię na Humoreskę na fortepian  Op. 20 Franza Schuberta https://www.youtube.com/watch?v=ps8rBGbNQtA&index=27&list=RD-YMjAnanS3o. Dużo, dużo zdrowia, Tata

Piątek, 13.04.18

Piątek, 13.04.18

Kochana Irenko, czy roboty mogą być mądrzejsze od dzieci http://www.swiatnauki.pl/8,1709.html?

Rozwiązanie: dla zbiorów: (1,2) ilość nieparzystych liczb stanowi ½=0.5, dla (1,2,3)  2/3, dla (1,2,3,4) 2/4,  dla (1,2,3,4,5) 3/5, …. Zauważ, że co drugi stosunek wynosi ½=0.5, natomiast stosunki dla zbiorów o nieparzystej długości są wszystkie większe od ½ i wynoszą:

2/3, 3/5=0.6, 4/7, 5/9, 6/11 …. i mają postać k/(2*k-1) dla k=2,3 4, …..

Podobnie dla zbiorów rozpoczynających się liczbą parzystą (2,3,4) ilość liczb nieparzystych stanowi 1/3, (2,3,4,5,6) 2/5,…. Zatem dostajemy kolejne stosunki różne od 1/2, ale wszystkie mniejsze od ½:

1/3=0.333, 2/5=0.4, 3/7, 4/9, 5/11=0.454545,….,12/25=0.48 i mają postać k/(2*k+1) dla k=1,2,3,4 …..

Widać, że istnieją stosunki: 0.5, 0.6, 0.4, 0.48.

Wniosek: nie istnieje stosunek liczb nieparzystych do ilości wszystkich liczb w zbiorze kolejnych liczb naturalnych  dokładnie równy 0.45. Najbliższy 0.45 stosunek wynosi 0.454545…dla 5/11.

Zadanie 23, Kadet 2013.   Niech K będzie liczbą kwadratów wśród liczb całkowitych od 1 do 2013^6 (2013 do potęgi 6). Niech S będzie liczbą sześcianów wśród tych samych liczb. Ile wynosi K/S?

Zapraszam Cię na 49 sonatę fortepianową J. Haydna https://www.youtube.com/watch?v=3EWC9-3B8GU&list=RD-YMjAnanS3o&index=21. Dużo, dużo zdrowia, Tata

Czwartek, 12.04.18

Czwartek, 12.04.18

Kochana Irenko, czy inteligentni ludzie mogą być dobrymi przywódcami, dowiesz się z artykułu http://www.swiatnauki.pl/8,1708.html.

Rozwiązanie: od najmniejszej do największej, 18 liczb utworzonych z cyfr 2013 można wypisać (1 na początku, później 2 i 3):

1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320,

2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310,

3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210.

Zauważ, że przyrosty dwóch sąsiednich liczb są największe wtedy, gdy zmienia się pierwsza cyfra. Zbadajmy zatem dwie liczby sąsiednie:

2013-1320=693,

3012-2310=702.

Wniosek: największa różnica pomiędzy sąsiednimi liczbami utworzonymi z cyfr 2013 wynosi 702.

Zadanie 22, Kadet 2013 (trudne).  Irenka napisała kilka kolejnych liczb całkowitych. Liczby nieparzyste nie mogą stanowić

A) dokładnie 40% wypisanych liczb.

B) dokładnie 45% wypisanych liczb.

C) dokładnie 48% wypisanych liczb.

D) dokładnie 50% wypisanych liczb.

E) dokładnie 60% wypisanych liczb.

Zapraszam Cię na 99 Symfonię J. Haydna https://www.youtube.com/watch?v=TmhkJTrcmqM&index=16&list=RD-YMjAnanS3o. Zdrowego i pogodnego dnia, Tata

Środa, 11.04.18

Środa, 11.04.18

Kochana Irenko, przeczytaj o najdalszej gwieździe dotychczas obserwowanej https://apod.nasa.gov/apod/ap180411.html.

Rozwiązanie: zadając trzy kolejne pytania Naprzemiennym, mogli oni odpowiedzieć FTF lub TFT (F- false, T- trouth). Innych możliwości nie ma. Oznaczmy ilość Naprzemiennych pierwszego rodzaju przez  N1, drugiego przez N2, Kłamców przez K, Prawdomównych przez P. Z warunków zadania zachodzą 4 równości:

  K+P+N1=17,

N1+K=12,

N1=8,

N1+N2+P+K=25. 

Z drugiego  i trzeciego równania  dostajemy K=4 i z pierwszego P=5. Naprzemiennych było 8+8=16, Prawdomównych 5 i Kłamców 4.

Zadanie 21, Kadet 2013. Na tablicy napisano, w kolejności rosnącej, wszystkie liczby czterocyfrowe mające te same cyfry co liczba 2013. Jaka jest największa różnica między sąsiednimi liczbami na tablicy?

Zapraszam Cię na koncert fortepianowy J. Haydna https://www.youtube.com/watch?v=kjYE6tR4brc&index=14&list=RD-YMjAnanS3o. Zdrowego dnia, Tata

Wtorek, 10.04.18

Wtorek, 10.04.18

Kochana Irenko, najbliższa sobota będzie dniem otwartym kampusu Ochota w Warszawie. Program znajdziesz na stronie https://www.fuw.edu.pl/aktualnosci-all/news5344.html.

Rozwiązanie: napisane na tablicy liczby są postaci  k*13, przy czym k jest liczbą nieparzystą, za wyjątkiem dwóch przypadków. 13 liczbami mogą być: 1*13, 2*13, 3*13, 4*13, 5*13, 7*13, 9*13, 11*13, 13*13, 15*13, 17*13, 19*13, 21*13. Ostatnia liczba 21*13=273 jest najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania.  

Zadanie 30, Kadet 2014 (trudne). Grupa 25 osób składa się z Prawdomównych, Kłamców i Naprzemiennych. Każdy Prawdomówny zawsze mówi prawdę, każdy Kłamca zawsze kłamie, a każdy Naprzemienny na przemian mówi prawdę i kłamie. Każdemu z nich zadano kolejno trzy pytania: „Czy jesteś Prawdomównym?”, „Czy jesteś Naprzemiennym?”, „Czy jesteś Kłamcą?”. Na pytanie pierwsze 17 odpowiedziało: „Tak”, na pytanie drugie 12 odpowiedziało: „Tak”, na pytanie trzecie 8 odpowiedziało: „Tak”. Ilu Prawdomównych, Kłamców i Naprzemiennych było w tej grupie?

Zapraszam Cię na koncert fortepianowy K. 333 W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=9lLaHB7eGKc&index=11&list=RD-YMjAnanS3o. Słonecznego dnia, Tata

Poniedziałek, 9.04.18

Poniedziałek, 9.04.18

Kochana Irenko, po powstaniu Wszechświata wypełniało go promieniowanie, niczym wielki piec. Wszechświat rozszerzał się, promieniowanie „ostygło”. A jak promieniowanie wygląda teraz, dowiesz się z odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=jzKeBrTiKn8&t=24s. Jaką temperaturę  Wszechświat ma obecnie?

Rozwiązanie: ponumerujmy lilie tak, że para liczb  np. (1,2) oznacza lilię, która rośnie w pierwszym rzędzie od góry i w drugiej kolumnie od lewej strony w kwadracie 4x4 (tak, jak w krzyżówkach). Niech początkowo żaba siedzi  na lilii o numerze (4,1). Pokażę, jak żaba przejdzie wszystkie lilie poruszając się równolegle do boków i za każdym razem przeskakując co najmniej jedną lilię. Zrób rysunek. (4,1)->(4,4)->(4,2)->(1,2)->(3,2)->(3,4)->(1,4)->(1,1)->(3,1)->(3,3)->(1,3)->(4,3)->(2,3)->(2,1)->(2,4)->(2,2). W ten sposób żaba była na każdej z 16 lilii spełniając warunki zadania.

Zadanie 28, Kadet 2014. Na tablicy napisano rożne dodatnie liczby całkowite. Dokładnie dwie z nich są podzielne przez 2 i dokładnie 13 z nich jest podzielnych przez 13. Niech M będzie największą z napisanych liczb. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość M?

Zapraszam Cię na koncert fortepianowy K. 478 W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=j1ylhsp8rZ8&index=7&list=RD-YMjAnanS3o. Po lekcjach pędź na deskę, Tata

Niedziela, 8.04.18

Niedziela, 8.04.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-04-08.

Rozwiązanie: prawidłowe informacje o sumach wag odważników oznaczonych literami A, B, C, D i E są następujące:

1) B+E=800,

2) B+C=900,

3) A+E=700,

4) B+D>1000,

5) C+E>1000.  

Z równań 1, 2, i 4 (mają wspólne B) dostajemy nierówność    D>C>E oraz z równań 1, 3 i 5 (mają wspólne E) nierówność C>B>A. Widzisz, że najwięcej waży D, gdyż D>C, a wszystkie pozostałe odważniki są lżejsze od C.

Zadanie 27, Kadet 2014 (trudne).  W stawie rośnie 16 lilii wodnych w układzie kwadratu 4 × 4 (zrób rysunek). Żaba siedzi na liściu w jednym z rogów. Następnie skacze z liścia na liść zawsze równolegle do boków kwadratu, zawsze przeskakuje przez co najmniej jeden liść i nigdy nie ląduje na liściu, na którym już była. Jaka jest największa możliwa liczba liści (razem z początkowym), które może odwiedzić ta żaba?

Polecam Ci K. 406 W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=FKZz3REfRjw&list=RD-YMjAnanS3o&index=4. Pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 7.04.18

Sobota, 7.04.18

Kochana Irenko, popatrz jak wygląda  Jowisz na podstawie zdjęć przysłanych przez sondę Juno https://apod.nasa.gov/apod/ap180407.html

Rozwiązanie: trójkąty ABC i ABD mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę AB i równe wysokości AD. Wynika stąd, że pole trójkąta BPC wynosi 10. Trójkąty ABP i DCP są podobne - wszystkie odpowiadające kąty w tych trójkątach są równe. Stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Powstały one przez zmianę skali. Jeżeli wysokość w trójkącie ABP  o polu 5  wynosi 1, to wysokość w trójkącie ABD o polu 15 i tej samej podstawie wynosi 3. Stąd wysokość w trójkącie DPC wynosi 3-1=2, a stosunek wysokości trójkątów podobnych ABP i DCP wynosi 1:2, więc ich pola są w stosunku 1:4. Zatem pole trójkąta DPB wynosi 4*5=20 i pole całego trapezu jest równe 10+10+5+20=45 ( w metrach kwadratowych).

 Zadanie 26, Kadet 2014.  Zepsuta waga prawidłowo waży przedmioty lżejsze niż 1000 g, a przy ważeniu przedmiotów cięższych niż 1000 g może pokazać dowolną wartość większą niż 1000 g. Mamy pięć odważników: A, B, C, D i E, z których każdy waży mniej niż 1000 g. Gdy ważymy je parami, wskazania wagi są następujące: 1200 g dla B i D, 2100 g dla C i E, 800 g dla B i E, 900 g dla B i C, 700 g dla A i E. Który z odważników jest najcięższy?

Polecam Ci K. 406 W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=FKZz3REfRjw&list=RD-YMjAnanS3o&index=4. Pięknego dnia, Tata

Piątek, 6.04.18

Piątek, 6.04.18

Kochana Irenko, popatrz, jak wygląda marsjański krajobraz widziany „oczami” robota https://apod.nasa.gov/apod/ap180404.html.

Rozwiązanie: oznaczę długość drogi przez d, całkowity czas  przejazdu przez t. Odcinek ¾*d Dawid przejechał w czasie 2/3*t, więc jego prędkość wynosiła (¾*d)/(2/3*t)=9/8*d/t. Drugi odcinek Dawid przejechał z prędkością (d/4)/(t/3)=3/4*d/t. Stosunek tych prędkości wynosi (9/8)/(3/4)=3/2 (d/t skróciły się).

Zadanie 25, Kadet 2014 (trudne). Trapez prostokątny ABCD o kątach prostych przy wierzchołkach A i D (pozostałe kąty są różne od kąta prostego) podzielono przekątnymi na cztery trójkąty. Przekątne przecięły się w punkcie P. Zadane są pola dwóch trójkątów - pole trójkąta APB=5, pole trójkąta APD=10. Jakie jest pole trapezu ABCD? Zrób rysunek. Pola podano w metrach kwadratowych.

Polecam Ci K. 452 W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=3zxqpLEQcp0&index=3&list=RD-YMjAnanS3o. Pięknego dnia, Tata