Sobota, 10.06.17
Kochana Irenko,
pisałem Ci, że zadaniem uniwersytetu dziecięcego jest rozbudzenie u dzieci
zainteresowań poprzez wykonywanie najrozmaitszych ćwiczeń i doświadczeń. Pięć
lat temu Mama kupiła Ci piękną książkę na Dzień Dziecka - 365 doświadczeń. Czy
pamiętasz, jak byłaś książką zachwycona. Chciałaś mieć własne laboratorium,
chciałaś wykonywać doświadczenia. A doświadczenia opisane w książce były
wyjątkowe i niezmiernie ciekawe. Czy masz wciąż tę książkę? To był prawdziwy
uniwersytet dziecięcy! Obejrzyj krótki
film z ostatniego przelotu satelity Juno nad Jowiszem. Nad tym samym Jowiszem,
którego podziwiamy z okna każdego pogodnego wieczoru https://apod.nasa.gov/apod/ap170607.html.
Rozwiązanie: Zbadajmy podzielność przez 5 kolejnych potęg 2 i ustalmy kiedy pojawi się
reszta 1. Jeśli pojawi się reszta 1, wówczas cykl powtórzy się na nowo. [2^1]=2,
[2^2]=4, [2*2*2]=[2^3]=[8]=3, [2^4]=[16]=1. Widać, że dla potęg 1,2,3,4 reszty
wynoszą 2,4,3,1. Dla potęg 5,6,7,8 reszty będą identyczne (sprawdź). Zauważ, że
liczba 1004 dzieli się przez 4 i liczba 2^1005 daje resztę z dzielenia przez 5
taką samą jak [2^1005]=[2^1]=2.
Zbadajmy
podzielność przez 5 kolejnych potęg 3.
[3^1]=3, [3^2]=[9]=4, [3^3]=[27]=2, [3^4]=[81]=1, [3^5]=[3^1]=3. Widzisz, że podobnie jak w przypadku potęg
liczby 2, cykl 3,4,2,1,3,4,2,1… ma
długość 4. Zatem [3^1005]=[3^1]=3 i zachodzi
[2^1005+3^1005]=[2+3]=[5]=0.
Udowodniliśmy, że
badana liczba dzieli się przez 5. W tym
zadaniu nawias kwadratowy z liczby naturalnej
np. [23]=3 oznaczał resztę z dzielenia przez 5.
Zadanie (trudne): rozważmy następujący ciąg liczb
naturalnych: pierwsza równa się 138, a każda następna jest iloczynem cyfr
liczby poprzedniej powiększonym o 11. Jaka liczba znajduje się w tym ciągu na
2017 pozycji? Wskazówka: wylicz
przynajmniej 20 początkowych liczb ciągu i poczyń obserwacje.
