Czwartek, 11.07.19

Czwartek, 11.07.19

Kochana Irenko, w kambrze żyły organizmy zwane archeocjatami https://pl.wikipedia.org/wiki/Archeocjaty. Czy możne ich skamieniałości napotkać w Polsce? Moglibyśmy zorganizować wakacyjną wyprawę w ich poszukiwaniu. I nie tylko ich!!!

Rozwiązanie zadania: środek n-kąta foremnego można połączyć z jego wierzchołkami otrzymując n trójkątów równoramiennych. Zauważ, że miara kąta wewnętrznego (zrób rysunek) n-kąta jest równa sumie dwóch jednakowych kątów w powstałych trójkątach. Ile ta suma wynosi? Jest równa sumie kątów w trójkącie, a ta jest rowna 180 stopni, pomniejszonej o kąt przy środku wielokąta, a ten wynosi 360/n. Zatem kąt wewnętrzny wynosi

180-360/n.

Kiedy miara tego kąta  jest liczbą naturalną? Wtedy, gdy n dzieli 360. Pytanie sprowadza się do podania wszystkich dzielników liczby 360. 1 i 2 odrzucamy, gdyż nie istnieje 1-kąt ani 2-kąt foremny. Zatem n może być równe: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 i 360. Ile jest dzielników 360. Pamiętasz, że 360 należy rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych 360=2^3*3^2*5^1. Ilość wszystkich dzielników jest równa iloczynowi wykładników 3, 2 i 1 zawsze powiększonych o jeden, czyli (3+1)*(2+1)*(1+1)=24, co jest zgodne z powyższym.

Zadanie wakacyjne: dłuższy bok i przekątne deltoidu mają równe długości. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta. Definicja: deltoid tworzą dwa równoramienne trójkąty umieszczone po obu stronach wspólnej podstawy. Często latawce mają krztałt deltoidu.

Posłuchaj Katicy https://www.youtube.com/watch?v=gqOHNP-RThU&list=RDsQqO5YrKiHY&index=6. Pięknego i pogodnego  dnia, Tata

Środa, 10.07.19

Środa, 10.07.19

Kochana Irenko, przypatrz się, jak działa klepsydra odmierzajaca czas w kryształkach cyrkonu, gdzie następuje „przesypywanie” albo zamiana jąder uranu w jądra ołowiu. Jej zasada opiera się na rozpadzie jąder uranu 238. Uran ma 92 protony i 146 neutronów razem 238 nukleonów. Połowa próbki uranu 238 rozpada się po czasie ok. 4.5 miliarda lat do jąder toru 234 (patrz na schemat). Ten czas nazywamy czasem połowicznego rozpadu. Ale tor także rozpada się, a czas połowicznego rozpadu jest krótki i wynosi ok. 24 dni. Pełny szereg rozpadów znajdziesz w artykule   https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_promieniotw%C3%B3rczy. Na końcu szeregu znajduje się ołów z 82 protoami i 124 neutronami. Ale te jądra już się nie rozpadają - żyją wiecznie!! Podobnie działa klepsydra z rozpadami jąder uranu 235. Dla tych jąder czas połowicznego rozpadu jest znacznie krótszy i wynosi ok. 700 milionów lat (w artykule omówiony niżej).

Rozwiązanie zadania: z treści zadania można wywnioskować, że cena myszki w zł była liczbą naturalną, dwucyfrową. Oznaczę cenę myszki przed podwyżką przez 10*x+y, gdzie x i y to cyfry. Po podwyżce jej cena wynosi 10*y+x  i zachodzi równanie na mocy warunków zadnia

10*y+x=1.2*(10*x+y)=12*x+1.2*y lub

8.8*y=11*x.

Ponieważ x i y są liczbami naturalnymi, to 8.8*y musi być liczbą naturalną. Jedynym rozwiązaniem jest y=5. Wówczas 44=11*x i x=4. Stąd cena myszki przed podwyżka wynosiła 45 zł, po podwyżce 54 zł.

Zadanie wakacyjne: Ile jest liczb naturalnych n, takich że miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego wyraża się całkowitą liczbą stopni?

Posłuchaj Katicy https://www.youtube.com/watch?v=zOjOLXkvSQA&list=RDsQqO5YrKiHY&index=4. Pięknego, lipcowego dnia, Tata

Wtorek, 9.07.19

Wtorek, 9.07.19

Kochana Irenko, kilka dni temu pisałem Ci o wielkiej ekspansji gatunków kilka milionów lat przed kambrem. Pamiętasz, że wówczas pojawiły się żyjątka  mające wapienny szkielet, taki jak nasz. Na temat kambru przeczytasz https://pl.wikipedia.org/wiki/Kambr  Pamiętasz, że mechanizm datowania podobny jest do działania klepsydry, zamiast przesypującego się piasku, uran w kryształkach cyrkonu rozpada się (przesypuje się) do ołowiu. Przed 570 mln lat żadnych szkieletów się nie obserwuje – pływały w morzach stwory podobne do dzisiejszych meduz. To wtedy powstały projekty dzisiejszych zwierząt, w tym także ludzi. A nasze słońce od tego czasu okrążyło tylko 2.5 raza centrum Galaktyki z czarną dziurą w środku. Każde okrążenie trwa ok. 200 mln lat.

Rozwiązanie zadania: liczba 5400 rozkłada się na czynniki pierwsze: 5400=2^3*3^3*5^2 (sprawdź). Z warunków zadania wynika, że

liczby I i II nie dzielą się przez 2,

liczby II i III nie dzielą się przez 3,

liczby I i III nie dzielą się przez 5.

Oznacza to, że I liczba dzieli się tylko przez 3, II dzieli się tylko przez 5, III dzieli się tylko przez 2. Zatem tymi liczbami są (numer liczby, po minusie jej wartość):

I – 2^3=8,

II – 5^2=25,

III – 3^3=27.

Zadanie wakacyjne: Cenę myszki do komputera podwyższono o 20%. W tym celu wystarczyło zmienić kolejność cyfr. Ile kosztuje teraz myszka, jeżeli wiadomo, że cena jej jest niższa od 100 zł i wyraża się w pełnych złotówkach?

Posłuchaj Katicy https://www.youtube.com/watch?v=LEq65v7f6mk&list=RDsQqO5YrKiHY&index=5. Pięknego, wakacyjnego dnia, Tata

Niedziela, 7.07.19

Niedziela, 7.07.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-07-07.

Rozwiązanie zadania: np. wartość funkcji sqrt(-x*x) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych dla dowolnego x. sqrt(x) to pierwiastek z x, np. sqrt(9)=3.

Zadanie wakacyjne: Lena pomnożyła trzy liczby naturalne i otrzymała 5400. Ani pierwsza, ani druga liczba nie dzielą się przez dwa, ani druga, ani trzecia nie dzielą się przez trzy, a ani pierwsza, ani trzecia nie dzielą się przez 5. Jakie to liczby?

Posłuchaj  Psalmu 66 https://www.youtube.com/watch?v=LyRCw790V9Q. Pięknej niedzieli, Tata

Sobota, 6.07.19

Sobota, 6.07.19

Kochana Irenko, co spowodowało pojawienie się mnóstwa żyjątek ok. 550 mln lat temu. Polecam Ci film (krótki) w j. angielskim https://www.shapeoflife.org/video/cambrian-explosion. Na podstawie odcisków w skałach, w filmie odtworzono wygląd tamtych żyjątek. To wówczas powstała cała różnorodność żyjątek, żyjących po dziś. „This Cambrian explosion is a significant event in the evolution of animal life because it was at this time that the body plans of the major groups of modern animals appeared.”

Rozwiązanie zadania: zauważ, że ilość liczb w podanym wyrażeniu, podniesionych do potęgi 3 jest liczbą parzystą. Dodając pierwszą i ostatnią 1^3+2018^3=(1+2018)*(1^2-1*2018+2018^2) dostajemy liczbę podzielną przez 2019. Podobnie postępujemy  dla drugiej i drugiej od końca: 2^3+2017^3=(2+2017)*costam=2019*costam, gdzie costam to pewna liczba całkowita. Tak wybrane symetrycznie od początku i końca, wszystkie  sumy par są liczbami podzielnymi przez 2019. Ponieważ suma tych par wyczerpuje całą liczbę, dowodzi to, że suma też dzieli się przez 2019.

Zadanie wakacyjne: Podaj przykład równania z niewiadomą x, którego dziedzina w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiorem pustym.

Wakacyjnie posłuchaj Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=H5WwXtXA56E&list=RDsQqO5YrKiHY&index=2. Kolejnego, pięknego dnia wakacyjnego, Tata

Piątek, 5.07.19

Piątek, 5.07.19

Kochana Irenko, wczoraj pytałem Cię, jak datuje się czas powstawania skały osadowej? Jaka jest dokładność tego datowania? Kryształki cyrkonu często powstawały w wybuchach wulkanów. W kryształkach były więzione atomu uranu, ale nie ołowiu. Połowa atomów uranu rozpada się do atomów ołowiu  po czasie ok. 4.5 miliarda lat. Wystarczy policzyć stosunek atomów uranu do ołowiu. Jeśli jest ich np. tyle samo, oznacza to, że upłynęło od czasu uwięzienia uranu w kryształkach cyrkonu  ok. 4.5 miliarda lat. Proste! Ale proste sprawy czasami się komplikują, podobnie jak w tym artykule http://naukawpolsce.pap.pl/aktualnosci/news%2C404559%2Ccyrkon-moze-wywodzic-w-pole-badajacych-poczatki-ziemi.html.

Rozwiązanie zadania: ułamek 0.121212.. można uzyskać z ułamka wymiernego 12/99. Zatem 0.3212121212=0.32+0.12121212/100=32/100+12/9900=(32+12/99)/100=(32+4/33)/100=1060/3300=106/330=53/165. Ostatni ułamek się nie skraca (dlaczego?). 

Zadanie wakacyjne: Wykaż, że liczba 1³ + 2³ + 3³ + … + 2017³ + 2018³ dzieli się przez 2019. Wskazówka: wykaż, że dla rzeczywistych liczb a i b zachodzi równość

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).

Wakacyjnie posłuchaj „Trzmiela”  Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=qeVJLXpk9UU&list=RDsQqO5YrKiHY&index=2. Kolejnego, pięknego dnia, Tata

Czwartek, 4.07.19

Czwartek, 4.07.19

Kochana Irenko, kiedy w dziejach Ziemi pojawiły się pierwsze stwory mające wapienny szkielet, taki jak nasz? Na ten temat opublikowano w lipcowym „Świecie Nauki” bardzo ciekawy artykuł z wykopalisk prowadzonych głównie na Syberii https://www.swiatnauki.pl/8,1808.html. Pierwszych szkieletów można doszukać się w osadach skalnych  z ok. 540 mln lat temu. Jak datuje się czas powstawania skały osadowej? Jaka jest dokładność tego datowania? Wcześniej, żadnych szkieletów się nie obserwuje – pływały wtedy w morzach stwory podobne do dzisiejszych meduz. Co spowodowało wybuch różnorodności pół miliarda lat temu? Jakie są hipotezy?

Rozwiązanie zadania: oznaczmy przez F fałsz, przez P prawdę. Załóżmy, że dzban zbił Jakub. Wówczas oceniając wypowiedzi chłopców dostaniemy (początkowe litery to litery imion chłopców, po minusie ocena wypowiedzianego zdania): J-FF, K-PP, L-PP. Jeśli wazon zbił Karol, to ocena wygląda następująco:  J-PF, K-PF, L-PF. Jeśli wazon zbił Leszek, to ocena wypowiedzi wygląda: J-PP, K-FF, L-FP. Ponieważ ocena wypowiedzi chłopców wg treści zadania  jest: FF,FP,PP, to ocena ta jedynie zgadza się przy założeniu, że Leszek zbił wazon.  

Zadanie wakacyjne: Przedstaw liczbę 0,32(12) w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Oznaczenie: 0.32(12) oznacza nieskończony ułamek dziesiętny 0.321212121212… z okresem 12.

Wakacyjnie posłuchaj „Bubamara”  Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=sQqO5YrKiHY. Pięknego i radosnego wakacyjnego dnia, Tata

Środa, 3.07.19

Środa, 3.07.19

Kochana Irenko, popatrz na piękną galaktykę spiralną złożoną z ok. miliarda gwiazd, odległą o 40 mln lat świetlnych https://apod.nasa.gov/apod/ap190702.html. W centrum widać potężną czarną zjadającą wszystko, co się w pobliżu kręci.

Rozwiązanie zadania:  należy ustalić, ilu jest pracowników mówiących po angielsku A, francusku F i niemiecku N. Na początek, dla ustalenia uwagi, przepiszę w postaci symbolicznej treść zadania: A-24, N-16, F-10, AN-12, AF-5, FN-3, ANF-2. Z teorii zbiorów (zrób rysunek) wiesz, że trzy zbiory można podzielić na 7 rozłącznych, nie mających wspólnych części  zbiorów (dlaczego):  ANF=2, AN=12-2=10, AF=5-2=3, FN=3-2=1, A=24-2-10-3=9, F=10-2-3-1=4, N=16-2-10-1=3. Zatem wszystkie 7 zbiorów mają: 2+10+3+1+9+4+3=32 elementów. Stąd po polsku mówi 34-32=2 osoby.

Zadanie wakacyjne: W pokoju, w którym było trzech chłopców, zbito wazon. Na pytanie, kto zbił wazon, chłopcy udzielili następujących odpowiedzi:

Jakub: -Ja nie zbiłem wazonu, Leszek go zbił.

Karol: -Leszek nie zbił wazonu. Jakub go zbił.

Leszek: -Ja nie zbiłem wazonu. Karol też go nie zbił.

Ustal, który z chłopców zbił wazon, wiedząc, że jeden z nich dwa razy skłamał, drugi skłamał raz i raz powiedział prawdę, a trzeci dwa razy powiedział prawdę.

Wakacyjnie posłuchaj Katicy Illenyi https://www.youtube.com/watch?v=cSq-1VxG3hY https://www.youtube.com/user/katicaillenyi. Pięknego dnia wakacyjnego, Tata

Poniedziałek, 1.07.19

Poniedziałek, 1.07.19

Kochana Irenko, Westa, to mała planetka, krążąca pomiędzy Marsem a Jowiszem https://pl.wikipedia.org/wiki/(4)_Westa.  Na podstawie zdjęć z satelity Dawn, dostarczonych na Ziemię przed laty, wykonano symulację przelotu nad Westą https://apod.nasa.gov/apod/ap190630.html.

Rozwiązanie zadania: jeśli długości boków prostopadłościanu są liczbami naturalnymi, to powierzchnie boczne można rozłożyć na iloczyny długości tych boków: 18=1*18=3*6=2*9, zaś 45=1*45=3*15=5*9. Dwie ściany prostopadłościanu o różnych polach mają zawsze  wspólną krawędź. W obu iloczynach występują wspólne długości: 1 (1*18) i (1*45), 3 (3*6) i (3*15) oraz 9 (2*9) i (5*9). Trzy krawędzie  mogą mieć zatem długości:  (3,6,15), (2,5,9) lub (18,45,1). W pierwszym przypadku objętość prostopadłościanu wynosi 3*6*15=3*90=270, w drugim 2*5*9=10*9=90, a w trzecim 1*18*45=9*90=810.

Zadanie wakacyjne: W pewnej firmie jest 34 pracowników, wśród których 24 włada językiem angielskim, 16 - językiem niemieckim i 10 - językiem francuskim. Ponadto 12 włada niemieckim i angielskim, 5 - angielskim i francuskim, 3 - francuskim i niemieckim, a 2 osoby władają wszystkimi wymienionymi językami. Pozostali pracownicy mówią  tylko po polsku. Ile osób w tej firmie posługuje się tylko językiem polskim?

Wakacyjnie posłuchaj Katicy Illenyi https://www.youtube.com/user/katicaillenyi. Pięknego dnia wakacyjnego, Tata