Poniedziałek, 1.04.19

Poniedziałek, 1.04.19

Kochana Irenko, na przykładzie bardzo prostego doświadczenia z  satelitami https://www.swiatnauki.pl/8,1790.html dowiesz się w jaki sposób testowano ogólną teorię względności Alberta Einsteina.

Rozwiązanie: kiedyś pisałem Ci, że badając reszty sumy lub iloczynu dwóch liczb, wystarczy liczby te zastępować ich resztami. Reszta z dzielenia liczby 2017 przez 3 wynosi 1. Zatem reszta (oznaczam resztę z dzielenia liczby a przez 3 przez [a])

[2017*2017+ 4*2017+4]=[1*1+4*1+4]=[9]=0. Oznacza to, że liczba 2017*2017+ 4*2017+4 dzieli się przez 3.

Zadanie z konkursu: dane są liczby 2^600, sqrt(3)^480, 25^180.  Uporządkuj te liczby rosnąco. Odpowiedź uzasadnij. Oznaczenia: a^b oznacza a podniesione do potęgi b, np. 2^3=2*2*2, sqrt(3) oznacza pierwiastek z 3, czyli sqrt(3)*sqrt(3) =3.

Zapraszam Cię na koncert Telemanna https://www.youtube.com/watch?v=IPdmzLutnjs&list=RDUDofgIr3LOY&index=21. Życzę Ci pięknego tygodnia bogatego w oceny doskonałe, Twój Tata

Niedziela, 31.03.19

Niedziela, 31.03.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-03-31. Pomyśl nad fragmentem „Lecz ojciec powiedział do swoich sług: „Przynieście szybko najlepszą szatę i ubierzcie go; dajcie mu też pierścień na rękę i sandały na nogi! Przyprowadźcie utuczone cielę i zabijcie: będziemy ucztować i weselić się, ponieważ ten syn mój był umarły, a znów ożył; zaginął, a odnalazł się”. I zaczęli się weselić.”

Rozwiązanie: jedna z części jest ostrosłupem o wysokości a i podstawie równej połowie ściany sześcianu, czyli a*a/2. Zatem objętość ostrosłupa wynosi (1/3*pole_podstawwy*wysokość) a*a*a/2/3=a^3/6. Widać, że stosunek objętości wynosi a^3*(1-1/6)/(a^3/6)=5.

Zadanie z konkursu: Uzasadnij, że liczba 2017*2017+ 4*2017+4 jest podzielna przez 3.

Zapraszam Cię na Psalm 34 https://www.youtube.com/watch?v=7unYv9aMK_s. Życzę Ci pięknej niedzieli, Twój Tata

Piątek, 29.03.19

Piątek, 29.03.19

Kochana Irenko, czy żałobę przezywają tylko ludzie? Z artykułu https://www.swiatnauki.pl/8,1791.html dowiesz się, jak zachowują się orki podczas utraty najbliższego.

Rozwiązanie: z warunków zadania mamy a/c=3/4 i b/d=2/5 lub a=c*3/4 i b=d*2/5. Na mocy kolejnego warunku zachodzi:

a/b-c/d=0.1. Wstawiając za a i b, równanie przyjmuje postać (sprawdź)

c/d*(3/4*5/2-1)=0.1 lub c/d*(7/8)=1/10 skąd wnioskujemy, że jeden z ułamków ma wartość c/d=8/70=4/35 (jest nieskracalny). Aby uzyskać drugi ułamek nieskracalny, należy c/d pomnożyć przez 15/8, co daje a/b=4/35*15/8=3/14.

Zadanie z konkursu: sześcian przecięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez trzy jego wierzchołki i nie zawierającą żadnej jego krawędzi. Określ stosunek objętości tak otrzymanych części. Zapisz obliczenia.

Zapraszam Cię na koncert F.M. Sardelli https://www.youtube.com/watch?v=RKCuIlSsNdY&index=21&list=RDUDofgIr3LOY. Życzę Ci pięknego, wiosennego  dnia, Twój Tata

Środa, 27.03.19

Środa, 27.03.19

Kochana Irenko, zapraszam Cię na wyprawę do Terzana, skupiska gwiazd https://apod.nasa.gov/apod/ap190324.html.

Zadanie z konkursu: dane są takie dwa ułamki nieskracalne  a/b i c/d, że ich różnica jest równa 0.1. Stosunek liczby a  do liczby c jest równy 3:4, a stosunek liczby b do liczby d jest równy 2:5. Znajdź te ułamki.

Zapraszam Cię na koncert (z 1958 roku, na skrzypce) J.S. Bacha https://www.youtube.com/watch?v=DJh6i-t_I1Q&list=RDUDofgIr3LOY&index=12. Życzę Ci słonecznego  dnia, Twój Tata

Wtorek, 26.03.19

Wtorek, 26.03.19

Kochana Irenko, wczoraj pytałem Cię, czy galaktyki mogą się łączyć. Przypatrz się uważnie, gdzie powstają gwiazdy (niebieski kolor). Powstają pomiędzy łączącymi się galaktykami. Dlaczego? https://apod.nasa.gov/apod/ap190325.html.

Rozwiązanie: oznaczę prędkość wykonywania pracy przez 1,2,3 pracownika przez v1, v2, v3 (jednostki: wykonana praca na dobę). Zachodzi

8*(v1+v2+v3)=v1*20,

v1*20=v2*24 lub v2=v1*5/6. Podstawiając do pierwszego równania

2*(v1+v1*5/6-5*v1)=-2*v3 lub po uproszczeniach 19/6*v1=2*v3 lub v1/v3=12/19. Zatem czas wykonania pracy przez 3 pracownika wynosi 12/19*20 dni.

Zadanie z konkursu: trzech pracowników wykonało pewną pracę w ciągu 8 dni. Pierwszy z nich mógłby wykonać sam całą pracę w ciągu 20 dni. Drugi pracownik na wykonanie tej samej pracy potrzebowałby 24 dni. W ciągu ilu dni wykonałby tę pracę trzeci pracownik?

Zapraszam Cię na fragment Psalmu 25 https://www.youtube.com/watch?v=U2DcBkCCIeE. Życzę Ci pięknego dnia, Twój Tata

Poniedziałek, 25.03.19

Poniedziałek, 25.03.19

Kochana Irenko, czy galaktyki mogą się łączyć? Popatrz, co dzieje się z gromadą galaktyk https://apod.nasa.gov/apod/ap190325.html.

Rozwiązanie: niech nieznana 3-cyfrowa (bcd, gdzie  b,c,d to cyfry) liczba ma wartość a. Dopisanie 2 na początku zmienia jej wartość (2bcd) na 2000+a, zaś dopisanie na końcu (bcd2) zmienia na 10*a+2 (sprawdź). Iloczyn tych liczb pomniejszony o podwójną wielokrotność liczby a ma wartość

(2000+a)*(10*a+2)-2*a=20000*a+4000+10*a*a+2*a-2*a=10*(2000*a+400+a*a) i liczba, jak widzisz, dzieli się przez 10.

Zadanie z konkursu: Trzech pracowników wykonało pewną pracę w ciągu 8 dni. Pierwszy z nich mógłby wykonać sam całą pracę w ciągu 20 dni. Drugi pracownik na wykonanie tej samej pracy potrzebowałby 24 dni. W ciągu ilu dni wykonałby tę pracę trzeci pracownik?

Zapraszam Cię na fragment Psalmu 40 https://www.youtube.com/watch?v=HBlYYsycwbM. Życzę Ci pięknego tygodnia, Twój Tata

Niedziela, 24.03.19

Niedziela, 24.03.19

Kochana Irenko,  w kościele usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-03-24.

Rozwiązanie: oznaczę ilość poszczególnych ocen: trójek przez x3, czwórek przez x4 i piątek i piątek przez x5. Zachodzi

x3+x4+x5=11. Ponadto zachodzą

x5=3*x3  lub x3=x5/3,

x5=x4+3 lub x4=x5-3. Podstawiając do pierwszego równania, dostaję

x5/3+x5-3+x5=11 lub x5*(1/3+2)=14 lub x5*(7/3)=14. Ostatecznie x5=6. Łatwo widać, że x3=2, x4=3. Maciek otrzymał: 6 piątek, 3 czwórki i dwie trójki, a średnia jego ocen wynosiła

(1*6+6*5+3*4+2*3)/12=54/12=4.5.

Zadanie z konkursu: z liczby trzycyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwszą przez dopisanie cyfry 2 na początku, a drugą przez dopisanie cyfry 2 na końcu. Uzasadnij, że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o dwukrotność liczby a jest podzielny przez 10.

Zapraszam Cię na Psalm 103 https://www.youtube.com/watch?v=GrsFG3IiF-Q. Życzę Ci pięknej niedzieli, Twój Tata

Piątek, 22.03.19

Piątek, 22.03.19

Kochana Irenko,  kto złamał szyfr Enigmy, niemieckiej maszyny szyfrującej z czasów II WŚ,  dowiesz się z poniższego artykułu. Jak tłumaczy w książce autor, D. Turing,  Polacy mieli unikalne doświadczenie i wiedzę na temat wykorzystywania matematyki w kryptologii, sięgające jeszcze wojny polsko-bolszewickiej, Francuzi - dostęp do tajnych materiałów i gotowość pośredniczenia między trzema krajami, a Brytyjczycy - możliwość dalszego badania i zasoby pozwalające na stworzenie wielkoskalowych metod łamania szyfru. "To było absolutnie wyjątkowe i nie przychodzi mi do głowy żaden inny przykład tak szerokiej współpracy wywiadowczej w historii" – zastrzegł  https://dzieje.pl/aktualnosci/bratanek-turinga-enigme-zlamano-dzieki-wyjatkowej-wspolpracy.

Rozwiązanie: tylko pływać potrafi 31-8=23 uczniów, tylko grać w koszykówkę potrafi 23-8=15 uczniów, zaś obie umiejętności potrafi 8 uczniów. Oznacza to, że ilość uczniów nie potrafiących grać w kosza, ani pływać wynosi 50- (23+15+8)=50-46=4  uczniów.

Zadanie z konkursu: na świadectwie Maćka jest 12 ocen. Maciek ma jedną szóstkę, pozostałe oceny to trójki, czwórki i piątki. Piątek jest trzy razy więcej niż trójek i o trzy więcej niż czwórek. Ile trójek, czwórek i ile piątek jest na świadectwie Maćka? Ile jest równa średnia ocen Maćka?

Zapraszam Cię na kantatę Antonia Vivaldiego  https://www.youtube.com/watch?v=Z39KxbbtCC0&list=RDUDofgIr3LOY&index=20.  Życzę Ci moc radości płynącej z odwagi i samodzielności, Twój Tata

Czwartek, 21.03.19

Czwartek, 21.03.19

Kochana Irenko, dzisiaj jest pierwszy dzień wiosny https://apod.nasa.gov/apod/ap190320.html. Na północnej półkuli dzień wkrótce będzie dłuższy od nocy. A jak będzie na półkuli południowej?

Rozwiązanie: liczba dzieli się przez 12 wtedy, gdy dzieli się przez 3 i przez 4. Cecha podzielności przez 3 jest Ci znana: suma cyfr dzieli się przez 3. Cecha podzielności przez 4: liczba powstała z ostatnich dwóch cyfr dzieli się przez 4. Liczbami dzielącymi się przez 4 są 24 liczby dwucyfrowe: 04,08,12,16,   20,24,28,32,  36,40,44,48,  52,56,60,64,  68,72,76,80,  84,88,92,96. Sumy cyfr w naszym szeregu wynoszą odpowiednio: 4,8,3,7,  2,6,10,5,    9,4,8,12,   7,11,6,10,  14,9,13,8,  12,16,11,15. Ponieważ suma pozostałych cyfr wynosi 2+2+1=5, więc musimy dodać 5 do wszystkich sum 2 ostatnich cyfr: 9,13,8,12,  7,11,15,10, 14,9,13,17,  12,16,11,15, 19,14,18,17,  17,21,16,20. Zauważ, że przez 3 dzieli się tylko: 9,12,15,9,12,15,18,21. Tym 8 sumom odpowiadają 8 gwiazdkowych zakończeń liczby2002001**, o którą pytają w zadaniu: 04,16,28,40,52,64,76,88.

Zadanie z konkursu: spośród 50 uczniów klas siódmych 23 gra w koszykówkę, 31 umie pływać, a 8 posiada obie te umiejętności. Ilu uczniów nie umie grać w koszykówkę ani pływać?

Zapraszam Cię na Adagio https://www.youtube.com/watch?v=fk_xDw5qAus&list=RDUDofgIr3LOY&index=8 Alessandro Marcello.  Moc radości płynącej z odwagi i samodzielności, Twój Tata

Środa, 20.03.19

Środa, 20.03.19

Kochana Irenko, najwyższą nagrodę z matematyki, Nagrodę Abela, otrzymała Karen Uhlenbeck https://en.wikipedia.org/wiki/Karen_Uhlenbeck.

Rozwiązanie: napiszę 7 kolejnych liczb n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6. Suma pięciu pierwszych wynosi 5*(n+2), suma pięciu ostatnich 5*(n+4) (sprawdź). Jeśli n jest liczbą parzystą i 5*(n+2) jest 3-cyfrową liczbą, a 5*(n+4) jest liczbą 4 cyfrową, to oznacza, że n+4=200 i n+2=198. Stąd suma tych 7 liczb wynosi 7*(n+3)=7*199=1397.

Zadanie z konkursu: pan Jabłoński zapomniał, jakie są dwie ostatnie cyfry dziewięciocyfrowego kodu do sejfu. Pamięta tylko siedem pierwszych cyfr: 2002001**. Pamięta także, że cały numer był liczbą podzielną przez 12. Jakie mogły być dwie ostatnie cyfry tego numeru? Podaj wszystkie możliwości.

Zapraszam Cię na „Doświadczenie” Ludvico Einaudi https://www.youtube.com/watch?v=_VONMkKkdf4&list=RDUDofgIr3LOY&index=16.  Pogodnego i odważnego dnia, Twój Tata

Wtorek, 19.03.19

Wtorek, 19.03.19

Najdroższa Córeczko, popatrz na wschód Ziemi na Księżycu https://apod.nasa.gov/apod/ap181223.html.

Rozwiązanie: jeśli a krów daje b litrów mleka w ciąg c dni, to jedna krowa w ciągu jednego dnia daje b/(a*c). Łatwo policzyć, że d krów w ciągu e dni da d*e*b/(a*c) litrów mleka.

Zadanie z konkursu: Rozpoczynając od pewnej liczby parzystej, wypisano siedem kolejnych liczb naturalnych. Suma pięciu początkowych jest trzycyfrowa, suma pięciu końcowych jest czterocyfrowa. Ile jest równa suma wszystkich siedmiu liczb?

Zapraszam Cię na Concerto Grosso Rudego Księdza https://www.youtube.com/watch?v=UZfp27edTPg&list=RDUDofgIr3LOY&index=28.  Pogodnego dnia, Twój Tata

Poniedziałek, 18.03.19

Poniedziałek, 18.03.19

Kochana Irenko, popatrz na piękną galaktykę spiralną, podobną do naszej Drogi Mlecznej https://apod.nasa.gov/apod/ap190317.html. Co może być przyczyną pojaśnienia centrum?

Rozwiązanie: liczbę
n^3+3n^2-n-3=n*(n*n-1)+3*(n*n-1)=
=(n*n-1)*(n+3)=(n-1)*(n+1)*(n+3).
Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to n-1, n+1 i n+3 są liczbami parzystymi (dlaczego?), co oznacza, że dzieli  się przez 2. Stąd prosty wniosek, że całe wyrażenie dzieli się przez 2*2*2=8.

Zadanie z konkursu: Załóżmy, że a krów  daje b litrów mleka w ciągu c dni. Ile litrów mleka da d krów w ciągu e dni? Zakładamy, że wydajność wszystkich krów jest jednakowa.

Zapraszam Cię na „Tajemniczy Ogród” F. Chopina https://www.youtube.com/watch?v=L1F3sHklg9k&index=12&list=RDUDofgIr3LOY.  Pięknego dnia i jeszcze piękniejszego wieczoru, Twój Tata

Niedziela, 17.03.19

Niedziela, 17.03.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-03-17. Pomyśl nad dzisiejszym fragmentem Psalmu 27 „Usłysz, Panie, kiedy głośno wołam, zmiłuj się nade mną i mnie wysłuchaj. O Tobie mówi serce moje: «Szukaj Jego oblicza! Będę szukał oblicza Twego, Panie.”

Rozwiązanie: oznaczę odległość od domu Dawida do lotniska przez x, a czas od wyjazdu do odlotu samolotu przez t (droga w km, czas w godzinach). Zachodzą dwa równania, w pierwszym Dawid jedzie na lotnisko o godzinę dłużej

70*(t+1)=x,

70*1+100*(t-1-0.5)=x. Jak rozwiązać ten układ równań? Ponieważ prawe strony są równe, zachodzi

70*t+70=70+100*t-150. Stąd 30*t=150 i t=5. Z pierwszego równania 70*6=420. Odległość z domu na lotnisko wynosiła 420.

Zadanie z konkursu: udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej n liczba n^3+3n^2-n-3 jest podzielna przez 8.

Zapraszam Cię na koncert J.S. Bacha https://www.youtube.com/watch?v=G6eLS4evqes&list=RDUDofgIr3LOY&index=15.  Pięknego dnia, Tata

Czwartek, 14.03.19

Czwartek, 14.03.19

Kochana Irenko, kiedyś pokazywałem Ci Enceladus, księżyc Saturna  https://apod.nasa.gov/apod/ap190309.html.

Rozwiązanie: niech szukana liczba ma postać xy, gdzie x i y to dwie cyfry. Wg zadania zachodzi

(x*10+y)-(y*10+x)=5*(x+y). Po uproszczeniach 9*x-9*y-5*x-5*y=4*x-14*y=0 lub

2*x=7*y. Widzisz, że jedynymi cyframi są x=7, y=2. Liczbą ta jest 72. Rzeczywiście zachodzi

72-27=45=5*(2+7) oraz suma 72+27=99.

Zadanie z konkursu: Dawid wyjechał z domu w kierunku lotniska. Przez pierwszą godzinę jechał z prędkością 70 km/h na godzinę, ale stwierdził, że jadąc nadal z tą prędkością spóźni się na samolot o równą godzinę. Zwiększył prędkość jazdy o 30 km/h i dojechał na lotnisko pół godziny przed czasem. Ile kilometrów jest od domu Dawida do lotniska?

Zapraszam Cię na koncert J.S. Bacha https://www.youtube.com/watch?v=UDofgIr3LOY.  Pięknego dnia, Tata

Wtorek, 12.03.19

Wtorek, 12.03.19

Kochana Irenko, popatrz jak wygląda pole magnetyczne odległej galaktyki https://apod.nasa.gov/apod/ap190311.html.

 Rozwiązanie: liczba A jest sumą trójek liczb. Pierwsza trójka 10+11-12=9, następna 13+14-15=12. Widzisz, że wartość każdej trójki wzrasta o 3. Ostatnia trójka ma wartość 199+200-201=198. Ile jest trójek? Pomiędzy 12 a 9 są dwie trójki. Należy zatem wziąć największą liczbę (198-9)/3+1=64. Zauważ, że pierwsza trójka i ostatnia dają 9+198=207, 12+195=207, ….. Zatem mamy 32 sumy, a każda suma ma wartość 207. Stąd liczba A=32*207=6624 i jej suma cyfr wynosi 18.

Zadanie z konkursu: różnica liczby dwucyfrowej i liczby o przestawionych cyfrach jest pięć razy większa od sumy jej cyfr. Jaka jest suma liczby dwucyfrowej i liczby z przestawionymi cyframi?

Zapraszam Cię na 4 pory roku Antonia Vivaldiego https://www.youtube.com/watch?v=GRxofEmo3HA.  Pięknego i pogodnego dnia, Tata

Poniedziałek, 11.03.19

Poniedziałek, 11.03.19

Kochana Irenko, Jan Kochanowski był sekretarzem wojskim sandomierskim. Jakie zadania do wykonania miał taki urzędnik?

Rozwiązanie: oznaczę przez x cenę worka pszenicy, przez y cło, jakie od każdego worka należało zapłacić. Na mocy warunków zadania zachodzą dwa równania (sprawdź):

64*y=40+5*x,

20*y=2*x-40.

Dodając równania stronami dostaję 84*y=7*x lub x=12*y. Wstawiając zamiast x  wartość 12*y do pierwszego równania dostaję równanie:

64*y=40+5*12*y.

Po niewielkich przekształceniach 4*y=40 i y=10. Wniosek: cena worka wynosi x=12*10=120, a cło od jednego worka wynosi 10 (ceny w lirach). 

Zadanie z konkursu: wiadomo, że A=10+11−12+13+14−15+16+17−18+⋯+199+200−201. Ile wynosi suma cyfr liczby A?

Zapraszam Cię koncert skrzypcowy Antonia Vivaldiego https://www.youtube.com/watch?v=F34QYKVsLrc.  Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 10.03.19

Niedziela, 10.03.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-03-10. Ewangelista powie: „Nie samym chlebem żyje człowiek”. A czym jeszcze?

Rozwiązanie:  podnosząc do kwadratu wyrażenie a*b=a-b dostaję (a*b)*(a*b)=a*a+b*b-2*a*b i po niewielkich przekształceniach dostaję

a*a+b*b-a*a*b*b=2*a*b.

Z drugiej strony zachodzi (sprowadzam do wspólnego mianownika)

a/b+b/a-a*b=(a*a+b*b-a*a*b*b)/(a*b)=2*a*b/(a*b)=2.

Odpowiedź: wyrażenie  a/b+b/a-a*b dla dwóch liczb rzeczywistych a i b, spełniających  warunek  a*b=a-b,  jest równe 2.

Zadanie z konkursu: dwóch kupców handlujących zbożem przybyło do Rzymu. Każdy worek pszenicy ma tę samą cenę i każdy podlega cłu o ustalonej wartości. Pierwszy kupiec wwoził 64 worki pszenicy i zapłacił 40 lirów i 5 worków pszenicy. Drugi kupiec, który miał 20 worków pszenicy, dał 2 worki i otrzymał od celnika 40 lirów reszty. Jaka była cena worka pszenicy i ile wynosiło cło od niego?

Zapraszam Cię na Mszę (K-220)  skomponowaną przez 19-letniego W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=XATBP_VWGoQ.  Pięknej niedzieli, Twój Tata

Sobota, 9.03.19

Sobota, 9.03.19

Kochana Irenko, polecam Ci biografię Jana Kochanowskiego https://pl.wikipedia.org/wiki/Jan_Kochanowski. W jaki sposób Kochanowski wszedł w posiadanie Czarnolasu? Kto zarządzał majątkiem? Kiedyś musimy Czarnolas odwiedzić  w drodze do Krasnego.

Rozwiązanie:  zrób rysunek. Nie jest trudno udowodnić, że przekątne przecinają się pod katem prostym, gdyż trójkąt równoboczny powstały z dłuższej podstawy i fragmentów dwóch przekątnych, ma dwa katy po 45 stopni, zatem trzeci kąt wynosi 90 stopni. Długość przekątnej wynosi sqrt(2)*4.5. Jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym, to pola trójkątów (w całości pokrywające trapez) są równe długości przekątnej podniesionej do kwadratu i dzielonej przez 2, czyli 2*4.5*4.5/2=4.5^2. Pole trapezu wynosi 4.5*4.5=20.25. 

Zadanie z konkursu: Dwie różne od zera rzeczywiste liczby a i b, spełniają warunek  a*b= a-b.

Oblicz wartość wyrażenia a/b+b/a-a*b.

Zapraszam Cię na koncert skrzypcowy  (K-219) młodego W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=2TUIQjZT_8Y. Niech ta muzyka daje Ci radość i odwagę na weekend, Twój Tata

Poniedziałek, 4.03.19

Poniedziałek, 4.03.19

Kochana Irenko: dlaczego niektóre idee rozprzestrzeniają się błyskawicznie, a inne, chociaż równie dobre, nie wykraczają poza środowiska lokalne?  https://www.swiatnauki.pl/8,1785.html

Rozwiązanie:  niech cena tarczy wynosi x, to cena miecza wynosi 0.75*x. Ich łączna cena to

x+0.75*x=140, albo 1.75*x=140. Dzieląc obie strony przez 1.75 dostaję x=80. Cena tarczy wynosi 60, a różnica 80-60=20. O 20 talarów tarcza była droższa od miecza.

Zadanie z konkursu: przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt 45º. Wysokość trapezu jest równa 4.5 cm. Oblicz pole trapezu.

Zapraszam Cię na koncert skrzypcowy  (K-218) W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=La08LYpRiWY. Niech ta muzyka daje Ci radość i odwagę, Twój Tata

 

Niedziela, 3.03.19

Niedziela, 3.03.19

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2019-03-03. Zastanów się nad słowami „Czy może niewidomy prowadzić niewidomego? Czy nie wpadną w dół obydwaj? […] Czemu to widzisz drzazgę w oku swego brata, a nie dostrzegasz belki we własnym oku?”  

Rozwiązanie:  niech prostopadłościan ma różne boki o długościach a>b>c. Wówczas pole powierzchni bocznej jednego prostopadłościanu wynosi 2*(a*b+a*c+b*c) (dlaczego?). Po sklejeniu dwóch identycznych prostopadłościanów, pola powstałych prostopadłościanów wynoszą, od największego do najmniejszego:  4*(a*b+a*c+b*c)-2*b*c, 4*(a*b+a*c+b*c)-2*a*c,  4*(a*b+a*c+b*c)-2*a*b (dlaczego?). Jeżeli teza zadania jest prawdziwa, to powinno zachodzić równanie

4*(a*b+a*c+b*c)-2*b*c=2.5*[4*(a*b+a*c+b*c)-2*a*b]. Ale po uporządkowaniu dostaję:

a*b+6*a*c+8*b*c=0. Ostatnia równość nie może zachodzić, gdyż a, b i c są liczbami dodatnimi i lewa strona jest zawsze większa od zera i nigdy nie przybiera wartości 0!

Zadanie z konkursu: tarcza i miecz kosztują łącznie 140 talarów. Cena miecza stanowi 0.75 ceny tarczy. Oblicz, o ile talarów tarcza jest droższa od miecza.

Zapraszam Cię na koncert skrzypcowy  (K-216) W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=N4BH3G_R9wY. Niech muzyka 19-letniego Mozarta daje Ci radość i odwagę, Twój Tata

Sobota, 2.03.19

Sobota, 2.03.19

Kochana Irenko, w sobotę, w tym czasie kiedy  zwykle jesteśmy razem,  zapraszam Cię na wyprawę w głąb naszego mózgu https://www.swiatnauki.pl/8,1783.html. Jak człowiek rozpoznaje twarze?

Rozwiązanie: w równaniu a (a – 18) = – 77 liczba 77 w rozkładzie na czynniki pierwsze ma postać 77=11*7. Musi zatem zachodzić a=7, 7-18=-11 lub a=11, 11-18=-7. Innych możliwości nie ma.

Zadanie z konkursu: jaką liczbę otrzymamy odejmując od sumy kwadratów czterech liczb:

a–2, a–1, a+1,a+2 różnicę kwadratów dwóch liczb: 2a i 4?

Zapraszam Cię na koncert (K-299) W.A. Mozarta https://www.youtube.com/watch?v=nheif2BuFz0&list=RDYT_63UntRJE&index=10. Życzę Ci na sobotę dużo odwagi i radości, Tata