Poniedziałek, 1.01.18

Poniedziałek, 1.01.18

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2018-01-01. Przeczytaj uważnie Psalm 67.

Rozwiązanie: wszystkich klocków jest w  pudełku 8*5*2=80. Ponieważ pudełko jest otwarte, górna i środkowa warstwa klocków o wymiarach (8-2)x(5-2)x(2-1) nie dotyka ścianek bocznych. Jeśli odejmiemy te klocki 6*3*1=18, to otrzymamy 80-18=62  klocki stykające się ze ścianami pudełka (sprawdź).

Zadanie: Maria i Darek ważą razem 59 kg. Maria i Ania ważą razem 53 kg. Darek i Ania ważą razem 62 kg. Ile waży każda z osób?

Polecam Ci krótki utwór na fortepian https://www.youtube.com/watch?v=Zk9ASyG6jag (op. 129) L. van Beethovena. Dziewczynka ma 11 lat. Dużo zdrowia, Tata  

 

Niedziela, 31.12.17

Niedziela, 31.12.17

Kochana Irenko,  w kościele usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-31.  Jak nazywał się syn Abrahama?

Rozwiązanie: od godziny 22.00 do godziny 7:00 dnia następnego jest 9 godzin, co stanowi 9/24 część doby. Skoro zegar spóźnia się 8 minut na dobę, to aby wskazywał prawidłową godzinę 9 godzin później, należy nastawić 8*9/24=3 minuty do przodu, czyli nastawić na godzinę 22:03.

 Zadanie: otwarte pudełko ma wymiary: 8 cm długości, 5 cm szerokości i 2 cm wysokości. Wkładamy do niego mniejsze klocki sześcienne o wymiarach 1cm x 1cm x 1cm. Ile z tych klocków będzie dotykało ścianek pudełka?

Polecam Ci krótki utwór na fortepian „Pocałunek” https://www.youtube.com/watch?v=QTRfoksf6K0 (op. 128) L. van Beethovena. Pięknej niedzieli, Tata  

Sobota, 30.12.17

Sobota, 30.12.17

Kochana Irenko, czy zastanawiałaś się, jak umyć włosy w stanie nieważkości.  Obejrzyj, jak robi to amerykańska astronautka Karen Nyberg https://apod.nasa.gov/apod/ap171220.html.

Rozwiązanie: łatwo zgadnąć, że chłopców było 12, a dziewczynek 16. Suma ocen dziewczynek wynosiła 16*4.40, sumę ocen chłopców oznaczę przez X. Suma ocen wszystkich dzieci wynosiła 28*4.25. Zatem X=28*4.25-16*4.40=4*(7*4.25-4*4.40), a średnia ocen chłopców wynosi X/12=(7*4.25-4*4.40)/3=(29.75-17.6)/3=12.15/3=4.03.

Zadanie: stary zegar spóźnia się 8 minut na dobę. Jaką godzinę trzeba na nim ustawić wieczorem o 22:00, aby następnego ranka o godzinie 7:00 wskazał dokładną godzinę?

Polecam Ci kwartet skrzypcowy nr 12 https://www.youtube.com/watch?v=lMyyDEixTYg (op. 127) L. van Beethovena. Pięknej soboty, Tata

 

Piątek, 29.12.17

Piątek, 29.12.17

Kochana Irenko, popatrz na piękną galaktykę https://apod.nasa.gov/apod/ap171226.html. Ile galaktyka ma ramion?

Rozwiązanie: 3 podnoszone do kolejnych potęg ma cyfry jedności {3,9,7,1} (sprawdź). Cykl ma długość 4. 117 po podzieleniu przez 4 daje resztę 1, zatem cyfra jedności dla pierwszej liczby zadania  wynosi 3. Kolejne potęgi 5 mają cyfrę jedności 5. Cyfry jedności kolejnych potęg 4 mają wartości {4,6} i cykl jest długości 2. Zatem 4 podniesione do potęgi parzystej ma cyfrę jedności 6. Cyfra jedności sumy dwóch liczb wynosi 5+6=11, czyli 1.

Zadanie: na koniec roku szkolnego średnia ocen w pewnej 28-osobowej klasie wynosiła 4.25. Chłopców było o 4-ech  mniej niż dziewcząt. Średnia ocen dziewcząt wynosiła 4.40. Jaka była średnia ocen chłopców?

Polecam Ci 6 bagatelek https://www.youtube.com/watch?v=cr1q5W9oQgA (op. 126) L. van Beethovena. Pięknego i zdrowego kolejnego wakacyjnego dnia życzy, Tata

Czwartek, 28.12.17

Czwartek, 28.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj polecam Ci wykład Noblowski, jaki kilka dni temu wygłosił Kip Thorne https://pl.wikipedia.org/wiki/Kip_Thorne, nagrodzony za odkrycie fal grawitacyjnych. Nie przejmuj się, jeśli większości wykładu nie zrozumiesz. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2017/thorne-lecture.html

Rozwiązanie: suma kątów w trapezie wynosi 360 stopni, zatem suma kątów rozwartych wynosi 360-60=300. Jeden kąt rozwarty ma miarę 300/2=150 stopni.

Zadanie: jaka jest cyfra jedności liczb:  3^(117) oraz 5^(555) + 4^(444)?

Polecam Ci fragment 9 Symfonii https://www.youtube.com/watch?v=jeO4RF7eXBc (op. 125) L. van Beethovena. Pięknego i zdrowego wakacyjnego dnia, Tata

 

 

Środa, 27.12.17

Środa, 27.12.17

Kochana Irenko, polecam Ci kolejny odcinek astronarium o naszej galaktyce, Drodze Mlecznej https://www.youtube.com/watch?v=5_fZAka7wfE&t=331s. Jakie są rozmiary naszej galaktyki? Jak długo biegnie światło z jednego krańca na kraniec przeciwny?

Rozwiązanie: obwód równoległoboku składa się z 6 boków rombów (2 wspólne, powstałe po rozcięciu, leżą wewnątrz równoległoboku). Zatem bok rombu ma długość 36/6=6. Obwód rombu wynosi 4*6=24. Długości podano w metrach.

Zadanie: w trapezie równoramiennym suma miar kątów ostrych wynosi 60 stopni. Jaka jest miara kąta rozwartego?

Polecam Ci uwerturę https://www.youtube.com/watch?v=LRwP7yMqEwg (op. 124) L. van Beethovena. O utworze (Konsekracja Domu) możesz przeczytać https://en.wikipedia.org/wiki/The_Consecration_of_the_House_(overture). Pięknego, radosnego i zdrowego dnia, Tata

 

Wtorek, 26.12.17

Wtorek, 26.12.17

Kochana Irenko, wciąż Święta. Dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-26. Przeczytaj uważnie dzisiejszy Psalm.

Rozwiązanie: podzielmy odcinek AB na dwa odcinki o długościach a i b (zrób rysunek), będącymi bokami mniejszych prostokątów, podobnie odcinek BC na odcinki c i d. Pole przy wierzchołku A: c*a=2, przy B: b*c=7, przy C: d*b=14, przy D: a*d=? Ale

(c*a)*(d*b)/(b*c)=2*14/7=4=a*d. Odpowiedź: pole przy wierzchołku D jest równe 4. Pola podano w metrach kwadratowych.

Zadanie: równoległobok o obwodzie 36 m rozcięto na dwa przystające romby. Jaki obwód ma romb?

Polecam Ci „Mszę Uroczystą” https://www.youtube.com/watch?v=3u1EduLH7L8 (op. 123) L. van Beethovena. Ktoś napisał “I've convinced myself that Missa Solemnis is the greatest Beethoven's work”.  A Ty co myślisz? Radosnego i zdrowego dnia, Tata

Poniedziałek, 25.12.17

Poniedziałek, 25.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-25. Zastanów się nad słowami dzisiejszego Psalmu.

Rozwiązanie: oznaczmy ilość dni, w których Irenka czytała po 20 stron dziennie przez x. Wówczas na mocy warunków zadania zachodzi równanie

4*12+x*20+1*10=(4+x+1)*14 lub

58+20*x=70+14*x skąd 6*x=12, skąd x=2. Zatem Irenka czytała książkę 4+2+1=7 dni, czyli jeden tydzień.

Zadanie: prostokąt ABCD podzielono dwiema prostymi równoległymi do jego boków (na krzyż) na 4 mniejsze prostokąty. Prostokąt przy wierzchołku A miał pole 2, przy B pole 7, przy C pole 14 (zrób rysunek). Jakie pole miał  prostokąt przy wierzchołku D?  Pole podano w metrach kwadratowych.

Polecam Ci „Papuzie wariacje” https://www.youtube.com/watch?v=JsfjcIxhzps (op. 121) L. van Beethovena.  Radosnego i zdrowego Bożego Narodzenia, Tata

Niedziela, 24.12.17

Niedziela, 24.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-24. Kim był Dawid i kiedy panował?

Rozwiązanie: suma dzielników liczby x*y*5 wynosi x+y+5+5*x+5*y+x*y=41. Stąd dostaję

x+y+5*(x+y)+x*y=36 lub

6*(x+y)+x*y=36. Jedynym rozwiązaniem jest x=2, y=3 lub odwrotnie. Niewiadoma liczba wynosi 2*3*5=30.

Zadanie: Irenka przez 4 pierwsze dni czytała każdego dnia średnio po 12 stron. Przez następne dni czytała dziennie po 20 stron. Ostatniego dnia przeczytała ostatnie 10 stron książki. Okazało się, że gdyby czytała po 14 stron dziennie, całą książkę przeczytałaby w tyle samo dni. Ile dni zajęło Irence przeczytanie książki?

Polecam Ci „bagatelki” na fortepian https://www.youtube.com/watch?v=hpQBbomOMj0 (op. 119) L. van Beethovena.  Radosnej i zdrowej niedzieli, Tata

 

Sobota, 23.12.17

Sobota, 23.12.17

Kochana Irenko, wakacyjnie popatrz na misję sondy Cassini, o której wielokrotnie Ci pisałem https://www.youtube.com/watch?v=nDCEOmIcOxI&index=49&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm.

Rozwiązanie: pole trapezu wynosi (a+b)/2*H, gdzie a, b to długości podstaw, H jest jego wysokością. Odcinek MN jest równoległy do AB i CD i dzieli trapez na dwa trapezy o wysokościach H/2 i podstawach (a, x) i (x, b), gdzie x długość odcinka MN=x. Pola dwóch trapezów AMNB i MNCD z wysokościami H/2

(a+x)/2*H/2+(b+x)/2*H/2=H/2*(a+b+2x)/2=H*(a+b)/2 są równe polu trapezu ABCD. Stąd widać, że wyrażenie to równe jest polu trapezu (a+b)/2*H tylko wtedy, gdy x=(a+b)/2.

Zadanie: suma dzielników pewnej liczby naturalnej, bez 1 i bez dzielnika będącego tą liczbą, wynosi 41. Znajdź tę liczbę wiedząc, że rozkłada się ona na trzy czynniki pierwsze, a jednym z nich jest 5. Wskazówka: jeśli liczba rozkłada się na trzy czynniki pierwsze x*y*5, to jej dzielnikami są: x, y, 5, 5*x, 5*y i x*y (bez 1   i 5*x*y).

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=H7LyNefn0fM (op. 118) L. van Beethovena z pięknymi widokami. Ktoś napisał “This was written to baron Pasqualatti's wife who died young”.  Radosnego i zdrowego dnia ferii, Tata

Piątek, 22.12.17

Piątek, 22.12.17

Kochana Irenko, zaczyna się astronomiczna zima. Dni będą coraz dłuższe, ale może pogodniejsze. Kilka dni temu widziałaś krótki film, pokazujący w jaki sposób kształtują się chmury nad Atlantykiem. Może będzie ich mniej.

Rozwiązanie: uzupełnijmy trójkąt ABC o trójkąt ABD w taki sposób, że ADBC jest prostokątem o przekątnych AB i CD. W prostokącie przekątne przecinają się w połowie i są równej długości, zatem odcinek CM, jako połowa przekątnej jest dwa razy mniejszy od drugiej przekątnej AB: CM*2=AB (zrób rysunek).

Zadanie: dany jest trapez ABCD o podstawach AB=a oraz CD=b. Punkty M i N są odpowiednio środkami ramion BC i AD. Wyznacz długość odcinka MN.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=NMoNBLA_atg (op. 117) L. van Beethovena.  Radosnego i zdrowego dnia, Tata

Czwartek, 21.12.17

Czwartek, 21.12.17

Kochana Irenko, zobacz jak wygląda kosmos z wysokości 20 km https://www.youtube.com/watch?v=XcP4rkGVh1w&index=45&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm.

Rozwiązanie: pokryjmy kwadrat 8x8, którego środek pokrywa się ze środkiem  kwadratu 14x14 8 prostokątami 1x8. Powstałe po bokach paski można pokryć 4 prostokątami złożonymi z 3 prostokątów 1x11 każdy. Wniosek: kwadrat 14x14 można pokryć 8 prostokątami 1x8 i 12 prostokątami 1x11 i jego pole 14*14=196=8*8+4*3*11=64+132=196.

Zadanie: dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt M jest środkiem przeciwprostokątnej AB. Wykaż, że zachodzi 2*MC=AB.

Polecam Ci „Imieniny” https://www.youtube.com/watch?v=-W3nTTgsBwk (op. 115) L. van Beethovena.  Pogodnego i zdrowego dnia, Tata

Środa, 20.12.17

Środa, 20.12.17

Kochana Irenko, popatrz na tzw.  krzyż Einsteina https://apod.nasa.gov/apod/ap171217.html. W jaki sposób powstaje krzyż?

Rozwiązanie: na każdej krawędzi opierają się dwa trójkąty z wierzchołkami w środku ścian przylegających do tej krawędzi. Zatem dla jednej krawędzi suma kątów tych trójkątów wynosi 2*180=360. Zatem suma kątów płaskich dla wszystkich ścian wynosi k*360-s*360=(k-s)*360. Odjęliśmy sumę tych kątów (=360) w trójkątach, powstałych  wokół środków s ścian (patrz wczorajsze zadanie). Ale wiesz, że dla wielościanu wypukłego zachodzi równość Eulera k-s =w-2, gdzie w liczba wierzchołków. Zachodzi zatem prosty wzór na sumę kątów płaskich w wielościanie wypukłym o liczbie wierzchołków w:

(w-2)*360.

Np. sześcian ma 8 wierzchołków i (8-2)*360=6*360. Jest to prawda, gdyż każda ściana jest kwadratem, którego suma kątów =360 stopni, a ścian jest 6.

Zadanie: czy kwadrat o boku 14 można pokryć w całości prostokątami  1x8 i 1x11?

Polecam Ci „Ruiny Aten” https://www.youtube.com/watch?v=SUPAf7eEo0o z 1811 roku (op. 113) L. van Beethovena.  Radosnego i zdrowego dnia, Tata

 

Wtorek, 19.12.17

Wtorek, 19.12.17

 Kochana Irenko, popatrz na system planetarny Kepler-90 https://apod.nasa.gov/apod/ap171218.html i porównaj z Układem Słonecznym. Jak daleko jest oddalony od nas Kepler-90?

Rozwiązanie: po podzieleniu n-kąta, w sposób opisany we wskazówce,  powstaje n trójkątów, z których każdy ma 180 stopni. Ale suma wszystkich kątów trójkątów jest równa sumie kątów n-kąta, pomniejszona o sumę kątów wokół punktu leżącego niedaleko środka, a ta wynosi 360. Zatem suma kątów n-kąta wynosi n*180-360=(n-2)*180.

Zadanie (trudne): pewien wielościan wypukły o s  ścianach ma k krawędzi. Oblicz sumę kątów płaskich wszystkich jego ścian. Spróbuj wyrazić tę sumę tylko przez liczbę wierzchołków. Czy się uda? Wskazówka: skorzystaj z metody wyznaczania kątów w wielokącie z wczorajszego zadania.

Polecam Ci „Ciszę morską i szczęśliwą podróż” https://www.youtube.com/watch?v=uXyE74VMf6g (op. 112) L. van Beethovena.  Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Poniedziałek, 18.12.17

Poniedziałek, 18.12.17

Kochana Irenko, co to jest promieniowanie gamma i dlaczego dociera z kosmosu  https://www.youtube.com/watch?v=gkouvWGfFGM&index=40&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium.

 Rozwiązanie: w prostokącie można w jednym z rogów wpisać kwadrat o boku 75x75, który dzieli się na kwadraty 5x5. Wówczas powstanie pasek o boku 2x75, który można pokryć 37  kwadratami 2x2 oraz dwoma kwadratami 1x1. Najmniejsza liczba kwadratów 1x1 wynosi 2.

Zadanie: oblicz sumę kątów n-kąta wypukłego. Wskazówka:   wybierz dowolny punkt należący do n-kąta, niedaleki środka, i połącz go ze wszystkimi  wierzchołkami. Jak suma kątów powstałych  trójkątów jest związana z sumą kątów n-kąta?

Polecam Ci krótki koncert skrzypcowy Haendla https://www.youtube.com/watch?v=DUDhxZKUvEg op. 6. Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 17.12.17

Niedziela, 17.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-17. Pomyśl nad dzisiejszym Psalmem

Gdyż wielkie rzeczy uczynił mi Wszechmocny,
a Jego imię jest święte.
Jego miłosierdzie z pokolenia na pokolenie
nad tymi, którzy się Go boją.

Głodnych nasycił dobrami,
a bogatych z niczym odprawił.
Ujął się za swoim sługą, Izraelem,
pomny na swe miłosierdzie.

Rozwiązanie: np. n000/10=n00, gdzie n należy do zbioru 1-9.

Zadanie: rozważmy wszystkie możliwe podziały prostokąta 77×75 na kwadraty 1×1, 2×2 i 5×5. Wyznacz najmniejszą liczbę kwadratów 1×1, jaka może pojawić się w takim podziale.

Na niedzielę polecam Ci, prawie godzinny, koncert organowy Haendla (istna perełka) https://www.youtube.com/watch?v=enRgTJtGiAo (bez numeru opusu). Pięknej i zdrowej niedzieli, Tata

Sobota, 16.12.17

Sobota, 16.12.17

Kochana Irenko, jak wyglądają inne układy planetarne https://www.youtube.com/watch?v=Za8fsyzOK-M&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=36

Rozwiązanie: warunki zadania spełnia bryła o podstawie trójkąta, 3 ścianach bocznych w kształcie 2 prostokątów i jednego prostokąta zakończonego trójkątem, oraz dwóch trójkątów tworzących „dach” bryły. Razem mamy 6 ścian i 7 wierzchołków.

Zadanie: pewna liczba naturalna ma w układzie dziesiętnym postać x0yz, gdzie x, y, z są cyframi oraz x>0. Liczba ta podzielona przez pewną liczbę naturalną n daje iloraz, który w układzie dziesiętnym jest postaci xyz. Znaleźć przynajmniej jeden przykład x, y, z oraz n.

Polecam Ci sonatę (32) https://www.youtube.com/watch?v=1ljq4MwzAbo&t=905s (Op. 111) L. van Beethovena.  Pięknej soboty, Tata

 

 

Piątek, 15.12.17

Piątek, 15.12.17

Kochana Irenko, czym są planetaria, dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=sxWlL3m38_k&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=29.

Rozwiązanie: w wyniku operacji zastąpienia dwóch liczb a, b  dwiema liczbami o wartości (a+b)/2, (a+b)/2 suma liczb przed i po operacji pozostaje stała, gdyż a+b=2*(a+b)/2=a+b. Na początku suma liczb wynosiła 1+2+4+5=12. Natomiast po pewnej liczbie operacji suma liczb wynosi 2.5+2.5+4+2=11 i różni się od początkowej liczby 12. Zatem na tablicy nigdy nie pojawią się liczby podane w zadaniu.

Zadanie: narysuj wielościan wypukły o sześciu ścianach i siedmiu wierzchołkach?

Polecam Ci piękną sonatę (31) https://www.youtube.com/watch?v=lPpy5YrhMp4&t=245s (Op. 110) L. van Beethovena.  Pięknego dnia i dużo zdrowia, Tata

 

Czwartek, 14.12.17

Czwartek, 14.12.17

Kochana Irenko, czym jest radioteleskop dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium  https://www.youtube.com/watch?v=95ti5J9mm3o&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=28. Gdzie zbudowano radioteleskop?

Rozwiązanie: odejmując od drugiego równania pierwsze  równanie dostajemy

a+b*c-a*b-c=1, lub po przekształceniach

(c-a)*(b-1)=1. Jedynka rozkłada się na iloczyn 1=1*1 lub 1=(-1)*(-1). W pierwszym przypadku b=2, c-a=1, lub c=1+a. Podstawiając zależność c od a do 1 równania dostajemy 2*a+1+a=2011, lub 3*a=2010, skąd a=670, c=671, b=2.

W drugim przypadku: b=0, a=2012, c=2011.  

Zadanie: na tablicy napisano liczby: 1, 2, 4, 5. Operacja polega na wybraniu dwóch liczb a i b — spośród napisanych na tablicy — i zastąpieniu ich 2 identycznymi liczbami (a+b)/2, (a+b)/2. Czy po pewnej liczbie takich operacji można otrzymać na tablicy liczby 2.5,  2.5, 4, 2?

Polecam Ci 30 Sonatę https://www.youtube.com/watch?v=e5kTffxNROM (Op. 109) L. van Beethovena w wykonaniu Sviatoslava Richtera.  Pięknego dnia i dużo zdrowia, Tata

Środa, 13.12.17

Środa, 13.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj dowiesz się o Wielkim Zderzaczu Hadronów https://www.youtube.com/watch?v=E3DKrtD48H0&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=27. Gdzie Zderzacz został zbudowany?

Rozwiązanie: oznaczmy kolejne liczby przez n-2, n-1, n, n+1, n+2. Suma ich kwadratów ma wartość

(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5*(n^2+2) (sprawdź).

Aby ostatnia liczba była równa kwadratowi pewnej liczby naturalnej,  wyrażenie n^2+2 musi dzielić się przez 5. Dlaczego? Ponieważ w rozkładzie na czynniki pierwsze kwadratu liczby naturalnej, 5 musi występować w potędze parzystej, a jedna 5 już występuje w powyższym wyrażeniu. Zbadajmy, jakie są reszty z dzielenia przez 5 wyrażenia n^2+2 dla 5 kolejnych reszt: dla 1, 1^2+2=3, reszta 3, dla n=2, 2*2+2=6, reszta 1, dla 3à1, dla 4à3, 5à2. Wniosek: wyrażenie n^2+2 nie dzieli się przez 5 i suma 5 kolejnych kwadratów liczb naturalnych nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie: Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb naturalnych,  spełniających układ 2 równań

a*b+c=2011,

a+b*c=2012.

Polecam Ci „Szkockie Pieśni” https://www.youtube.com/watch?v=wsgYUYB-jqM  (Op. 108) L. van Beethovena.  Pięknego dnia, dużo zdrowia i  radości, Tata

Wtorek, 12.12.17

Wtorek, 12.12.17

Kochana Irenko, czy istnieją  planety krążące wokół innych gwiazd  https://www.youtube.com/watch?v=6zwK2MXUGvg&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=25? W jaki sposób są poszukiwane?

Rozwiązanie: rozważmy liczbę P, leżącą pośrodku  kolejnych liczb pierwszych p i q większych od 2. Wówczas istnieją takie liczby naturalne P i k, że zachodzi  p=P-k, q=P+k (dlaczego). Ponieważ liczba P leży pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, zatem nie jest liczbą pierwszą i rozkłada się  na iloczyn, co najmniej, dwóch liczb większych od 1, czyli P=P1*P2. Dodając p+q=P-k+P+k=2*P=2*P1*P2. Wykazaliśmy, że suma p+q rozkłada się na iloczyn, co najmniej, 3 liczb większych od 1.  

Zadanie (trudne): czy istnieje pięć kolejnych liczb całkowitych, których suma kwadratów jest kwadratem liczby całkowitej?

Polecam Ci Minkę https://www.youtube.com/watch?v=O5-pMQ6kxF4  (Op. 107) L. van Beethovena.   Dużo zdrowia i  radości, Tata

Poniedziałek, 11.12.17

Poniedziałek, 11.12.17

Kochana Irenko, o efektywnej metodzie nauczania matematyki przeczytasz w „Świecie Nauki” http://www.swiatnauki.pl/8,1686.html. Co powiedział Konfucjusz?

Rozwiązanie: rozłożę 360=(2^3)*(3^2)*5. Wykorzystując rozkład wyrażenia

 p^4−5*p*p+4=(p*p-4)*(p*p-1)=(p-2)*(p+2)*(p-1)*(p+1)  na iloczyn liczb p-2, p-1, p+1, p+2 zauważamy, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p-1, p+1 są kolejnymi liczbami parzystymi  i ich iloczyn dzieli się przez 8 (dlaczego?). Zawsze wśród 5 kolejnych liczb p-2, p-1, p, p+1, p+2, jedna dzieli się przez 5. Ponieważ p jest liczba pierwszą, to dla p>5 jedna z czterech liczb p-2, p-1, p+1, p+2 dzieli się przez 5. Ponadto wśród kolejnych trzech liczb jedna dzieli się przez 3. Takimi trójkami mogą być {p-2, p-1, p} i {p, p+1, p+1}. Ponieważ p jest liczbą pierwszą, więc wśród liczb p-2, p-1, p+1,p+2 dwie dzielą się przez  3, czyli ich iloczyn dzieli się przez 9. Oczywiście wywody są słuszne dla p>5. Zatem tylko dla p=3,5 iloczyn nie dzieli się przez 360=8*9*5. Dla p>5, np. dla p=7 iloczyn dzieli się (sprawdź).

Zadanie: niech p i q będą dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, większymi od 2. Udowodnić, ze liczba p+q jest iloczynem, co najmniej, trzech (niekoniecznie różnych) liczb naturalnych większych od 1. Np.:  3+5=2*2*2, 5+7=3*2*2, 11+13=4*2*3, 19+23=2*3*7.

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=8TwysjbPmus  (Op. 106) L. van Beethovena w wykonaniu V. Lisitsy.  Ktoś napisał “This is one of Beethoven's most difficult pieces, it was considered unplayable for 15 years!”.   Dużo, dużo zdrowia, radości i pogody, Tata

 

 

Niedziela, 10.12.17

Niedziela, 10.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj czytane są http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-10. Co oznacza werset z Psalmu 85 „Będę słuchał tego, co Pan Bóg mówi:
oto ogłasza pokój ludowi i swoim wyznawcom.”?

Rozwiązanie: podobne zadanie rozwiązywaliśmy wcześniej. Kwadrat możemy podzielić na 4 równe kwadraty (na krzyż). Zauważ, że jeden kwadrat zamienia się wówczas na cztery mniejsze  kwadraty, czyli liczba kwadratów wzrasta o 4-1=3. Zauważ, że w ten sposób możemy dostać podziały na 4, 4+3=7, 4+2*3=10, 13,16, 19, …. mniejszych kwadratów. Możemy skonstruować podział kwadratu na 6 mniejszych: w jednym rogu kwadratu o boku 1 umieszczamy kwadrat o boku 2/3 oraz wokół 5 kwadracików o bokach 1/3. Możemy, zatem skonstruować podziały na 6+3*L kwadratów, L liczba naturalna. Wreszcie możemy umieścić w jednym rogu kwadrat o boku ¾ i wokół niego 7 kwadracików o boku ¼, czyli podział na 8 kwadratów. W opisany sposób dostajemy podziały 8+3*L. Ale liczby postaci (6+3*L, 7+3*L, 8+3*L), gdzie L jest dowolną liczbą naturalną  wyczerpują wszystkie liczby naturalne >5 (sprawdź).

 Zadanie (trudne): znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których wartość wyrażenia p^4−5*p*p+4 nie jest podzielna przez 360. Wskazówka: wykaż, że zachodzi równość

p^4−5*p*p+4=(p*p-4)*(p*p-1)=(p-2)*(p+2)*(p-1)*(p+1).

Polecam Ci „Starą  francuską piosenkę” P. Czajkowskiego https://www.youtube.com/watch?v=gGD51yfiFGE. Pięknego i zdrowego dnia, Tata

Sobota, 9.12.17

Sobota, 9.12.17

Kochana Irenko, o pomiarze czasu (wczorą o odległości) dowiesz się z filmu https://www.youtube.com/watch?v=IHFnolhfhyM&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=19. Jak dokładnie wyznacza się czas w astronomii?

Rozwiązanie: zauważ, że 27=3*3*3=3^3. Załóżmy, że zachodzi  p+3^3=L^3, gdzie L jest pewną liczbą naturalną. Ale zachodzi równość (ze wskazówki)

L^3-3^3=(L-3)*(L^2+3*L+9) (sprawdź tę równość). Wobec tego

p= L^3-3^3=(L-3)*(L^2+3*L+9), co oznacza, że liczba p rozkłada się na czynniki i w ogólności nie mogłaby być liczbą pierwszą.  Istnieje jeden wyjątek: L-3=1. Wówczas L=4 i p=16+12+9=37. Ale 37 jest liczbą pierwszą. Jest to jedyne rozwiązanie.

Zadanie: udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n>5 kwadrat można rozciąć na n kwadratów.

Polecam Ci 6 wariacjihttps://www.youtube.com/watch?v=5H5yioI86fI (Op. 105) L. van Beethovena.    Dużo, dużo zdrowia, radości i pogody Ci życzę, Tata

Piątek, 9.12.17

Piątek, 9.12.17

Kochana Irenko, w jaki sposób mierzy się odległości we Wszechświecie https://www.youtube.com/watch?v=4l8KL-9Fj8Q&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm&index=18 dowiesz się z filmu. Jak wyznaczono odległość Ziemi do Słońca? Ile wynosi odległość Ziemia Słońce?

Rozwiązanie: rozłóżmy n na 2^(k)*Reszta=n, gdzie Reszta nie dzieli się przez 2. Widać, że k+1 musi być liczbą parzystą, aby 2*n było kwadratem pewnej liczby. Zauważ, że 1024=2^10 (sprawdź). Zatem k+10 musiałoby być liczbą podzielną przez 4. Ale ponieważ k+1 jest liczba parzystą, to k+10=(k+1)+9 jest liczbą nieparzystą (parzysta+9) i nie dzieli się przez 4. Odpowiedź: liczba o własnościach opisanych w zadaniu nie istnieje.

Zadanie (trudne): znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że p+27 jest sześcianem liczby naturalnej. Wskazówka: 27=3^3 oraz zachodzi równość

a^3-b^3=(a-b)*(a*a+a*b+b*b), słuszna dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b (sprawdź).

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=c_1Lq28INlE quintet smyczkowy (Op. 104) L. van Beethovena.    Dużo, dużo zdrowia i radości Ci życzę, Tata

Czwartek, 7.12.17

Czwartek, 7.12.17

Kochana Irenko, polecam Ci bardzo prosty artykuł  o badaniu bakterii przeprowadzonym przez studenta http://www.swiatnauki.pl/8,1682.html. Jakie cechy bakterii chciał zaobserwować, a jakie zaobserwował Kuehn? Na czym polegały różnice pomiędzy prognozą a wynikami obserwacji?

Rozwiązanie: dla sześcianu liczba wierzchołków wynosi w=8, liczba krawędzi k=12, liczba ścian s=6. Stąd w-k+s=8-12+6=2. Jest to tzw. wzór Eulera. Jest on słuszny dla dowolnego wielościanu wypukłego. Dla czworościanu ten wzór także zachodzi: w=4, k=6, s=4, zatem w-k+s=2 .

Zadanie: czy istnieje taka całkowita dodatnia liczba n, ze 2*n jest kwadratem liczby całkowitej, zaś 1024*n jest czwartą potęgą liczby całkowitej? Wskazówka: do jakiej potęgi należy podnieść 2, aby otrzymać 1024?

Polecam Ci https://www.youtube.com/watch?v=5L1kbHRbUGw oktet (Op. 103) L. van Beethovena.    Dużo, dużo zdrowia i pogody Ci życzę, Tata

 

Środa, 6.12.17

Środa, 6.12.17

Kochana Irenko, czym są komety,  dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=8qb1dEq7xfo&index=15&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm. Skąd przybywają i dokąd się udają?

Rozwiązanie: podzielmy najpierw prostokąt na dwa prostokąty o wymiarach 90x10 i 90x81. Pierwszy prostokąt łatwo dzieli się na prostokąty 9x10, drugi po podzieleniu na 9 pasków  o wymiarach 10x81 dzieli się na 9 prostokątów każdy. Wniosek: można dokonać podziału prostokąta 90x91 na prostokąty 9x10.

Zadanie: oblicz dla sześcianu i czworościanu wielkość w-k+s, gdzie w - ilość wierzchołków, k – ilość krawędzi, s – ilość ścian.

Polecam Ci 4 Sonatę https://www.youtube.com/watch?v=rRoogaNKMuQ (Op. 102, no 1) L. van Beethovena.    Dużo, dużo zdrowia Ci życzę, Tata

Wtorek, 5.12.17

Wtorek, 5.12.17

Kochana Irenko, popatrz, jak wygląda powstawanie huraganów https://apod.nasa.gov/apod/ap171127.html. Popatrz na olbrzymie chmury pyłu znad Sahary. Czy pył ten bierze udział w powstawaniu huraganów?

Rozwiązanie: ustalmy, że jeśli liczba dzieli się przez 9, to suma jej cyfr także dzieli się przez 9. Suma cyfr liczby a, czyli A przyjmuje wartość maksymalną, gdy wszystkie cyfry są równe 9. Ale 2010*9=18090 i jest to liczba 5-cyfrowa. Podobnie rozumując, suma jej 5 cyfr, czyli wartość B, nie przekracza wartości 5*9=45. Największą sumę cyfr liczby B, z zakresu od 1 do 45 ma  liczba 39 i suma ta wynosi 12 (sprawdź). Na podstawie tego, co napisałem na początku, liczba  C też dzieli się przez 9. Jedyną liczbą mniejszą od 12, większą od zera i podzielną przez 9  jest liczba 9. Wniosek: C=9.

 Zadanie: czy prostokąt o wymiarach 90×91 można podzielić na prostokąty o wymiarach   9×10 ?

Polecam Ci 28 Sonatę https://www.youtube.com/watch?v=n74kKqwWViU (Op. 101) L. van Beethovena.    Dużo, dużo zdrowia, Tata

Poniedziałek, 4.12.17

Poniedziałek, 4.12.17

Kochana Irenko, czy światło może być przyciągane przez gwiazdę? Dowiesz się o tym z programu https://www.youtube.com/watch?v=fE_2DQKuFRA&index=9&list=PLLsqK861VNKAQcsNuomBTPOvRZozKsfzm.

Rozwiązanie: jeśli do pewnego wierzchołka rozważanego wielościanu schodziłyby się 4 krawędzie, to wielościan musiałby mieć, co najmniej, 8 krawędzi (sprawdź). Jeżeli wszystkich krawędzi jest 7, to oznacza, że w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie 3 krawędzie (2 krawędzie nie mogą, dlaczego?). Oznaczę ilość wierzchołków tego wielościanu przez W. Wówczas zachodzi 3*W=2*K=2*7=14 i liczba ta jest równa podwojonej liczbie krawędzi K=7. Ale 14 nie dzieli się przez 3. Wniosek: wielościan o 7 krawędziach nie istnieje.

Zadanie (trudne): niech a będzie liczbą naturalną mającą 2010 cyfr i podzielną przez 9. Sumę cyfr tej liczby oznaczmy przez A, sumę cyfr liczby A oznaczmy przez B, sumę cyfr liczby B oznaczmy przez C. Wyznacz liczbę C.

Polecam Ci wariacje fortepianowe https://www.youtube.com/watch?v=MgquSJSivqk (Op. 10) Franza Schuberta. Dużo, dużo zdrowia, Tata

Niedziela, 3.12.17

Niedziela, 3.12.17

Kochana Irenko, dzisiaj czytane są http://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2017-12-03. Przeczytaj uważnie fragment z Księgi proroka Izajasza, kończący się słowami „My jesteśmy gliną, a Ty naszym Twórcą. Wszyscy jesteśmy dziełem rąk Twoich”. Czyich rąk jesteśmy dziełem?

Rozwiązanie: utwórzmy z białych wierzchołków wszystkie możliwe 3-kąty, 4-kąty, …, oraz 2017-kąt. Dołączmy teraz do każdego białego n-kąta punkt czerwony. Dostaniemy, łącznie  taką samą liczbę wielokątów: 4-kąty, 5-kąty, …., oraz 2018-kąt. Widać, że z czerwonym wierzchołkiem nie policzyliśmy 3-kątów. Zatem liczba wszystkich wielokątów z punktem czerwonym w wierzchołku jest większa o liczbę wszystkich trójkątów z wierzchołkiem czerwonym od ilości wszystkich wielokątów nie zawierających punktu czerwonego. 

Zadanie (trudne): udowodnij, ze nie istnieje wielościan mający dokładnie 7 krawędzi.

Polecam Ci na niedzielę pełną wersję Ave Maria https://www.youtube.com/watch?v=EF79f59FQOM (Op. 52) Franza Schuberta.  "Ellens dritter Gesang" ("Ellens Gesang III", D. 839, Op. 52, No. 6, 1825), in English: "Ellen's Third Song", was composed by Franz Schubert in 1825 as part of his Opus 52, a setting of seven songs from Walter Scott's popular epic poem The Lady of the Lake, loosely translated into German.  Na niedzielę  dużo, dużo zdrowia Ci życzę, Tata