Niedziela, 28.6.20

Niedziela, 28.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-28

Rozwiązanie zadania:  metoda wektorów jest bardzo silnym narzędziem w geometrii. Metodę tę krótko przedyskutuję.

Wektorem nazywamy kilka liczb, w zależności od wymiaru przestrzeni. Na płaszczyźnie jest to para liczb rzeczywistych (ax, ay), w przestrzeni trójka liczb rzeczywistych (ax, ay, az).

Wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste w ten sposób, że mnożymy każdą składową wektora.

Wektory można dodawać, dodając każdą składową. Np.

(ax, ay)+(bx, by)=(ax+bx, ay+by). Analogicznie można je odejmować.

Wektory można mnożyć przez siebie. Np. dwa wektory a=(ax,ay) i  b=(bx, by),  

a*b=(ax, ay)*(bx, by)=ax*bx+ay*by. Iloczyn skalrany wektorów prostopadłych jest równy zero. Np. a=(1,0) i b=(0,1) ich iloczyn a*b=1*0+0*1=0

Rozważę wektory na płaszczyźnie. Przez O oznaczę środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC. Wówczas każdy wierzchołek można oznaczyć wektorami a, b, c, których początki leżą w punkcie O, końce odpowiednio w punktach A, B, C. Zauważ, że dla trójkąta równobocznego zachodzi

a+b+c=(0,0). Oznaczę przez d wektor o początku w punkcie o O i końcu P. Punkt M jako środek odcinka AC ma koniec, rerprezentowany przez wektor

(a+c)/2.

Wektor PM=(a+c)/2-d. Wektor OQ=(a+c)/2+PM=a+c-d.

Wektor PB=b-d. Pomnożę skalarnie dwa wektory

OQ*PB=(a+c-d)*(b-d)=-(a+c)*d+(a+c)*b-d*b+d*d=-(a+b+c)*d-b*b+d*d. Ale d*d=1, b*b=1, a+b+c=0, więc OQ*PB=0. Wniosek: wektory te są prostopadłe.

Zauważ, że PB jest wysokością w trójkącie PQB, zaś OQ łączy środek O z wierzchołkiem Q. Ponadto OQ+d+b=a+c-d+d+b=0. Oznacza to, że O jest środkiem ciężkości trójkąta PQB oraz prosta prostopadła do podstawy przechodzi przez środek ciężkości. Stąd wniosek, że trójkąt PQB jest trójkątem równoramiennym PQ=QB. 

Zadanie: wyznacz wszystkie takie trójki (a, b, c) dodatnich liczb całkowitych, że każda z liczb a+b, b+c, c+a oraz a+b+c jest pierwsza.

Psalm 89 https://www.youtube.com/watch?v=l3ey7QwYE6k&feature=emb_logo  Pięknej i odważnej niedzieli, Tata

Wtorek, 23.6.20

Wtorek, 23.6.20

Kochana Irenko, jako dobre ćwiczenie w niemieckim proponuję Ci przeczytać kilka razy artykuł https://www.hna.de/netzwelt/multimedia/goettingen-zweite-erde-planet-lebensbedingungen-forscher-zr-13802884.html?fbclid=IwAR3egwLWTJ6z9oariZcCy2eMHiZ96pxTVETOLZyJLkqxhHbAXgyCAFZDkC0

Satelitę Kepler wysłano w 2009 roku do obserwacji jasności ok. 100 000 gwiazd naszej galaktyki. Jeśli na linii gwiazda-Ziemia przechodzi planeta okrążająca tę gwiazdę, jasność gwiazdy wzrasta. Zaraz, zaraz powiesz, jeśli Księżyc przysłania Słońce, to jest zaćmienie i jasność Słońca drastycznie maleje. To prawda, ale jeśli zaćmienie oglądalibyśmy z olbrzymiej odległości, to Księżyc działa jak soczewka i obserwujemy efekt odwrotny, Słońce jest jaśniejsze. Satelita ten odkrył kilka tysięcy planet, w większości podobnych do Jowisza https://pl.wikipedia.org/wiki/Kosmiczny_Teleskop_Keplera Bardzo lubiłaś opowieści o odkryciach Keplerzyny, jak nazywałaś teleskop. Satelita zbierał dane do 2018 roku. To właśnie z analizy archiwalnych danych Keplera odkryto planetę, o której napisali w powyższym artykule. Pewne kolory światła gwiazdy przechodzące przez atmosferę planety są pochłaniane. Stąd wiadomo, z czego zbudowana jest atmosfera drugiej Ziemi.

Rozwiązanie zadania:  taki wielościan istnieje, choć nie jest prosto podać przykład. Przykładem może być sześcian, w którym każde naroże, prócz dwóch będących końcami najdłuższej przekątnej, zostało nieznacznie ścięte, a w miejscu ścięcia powstał trójkąt. Wówczas każdy kwadrat zostaje zamieniony na 7-kąt i każda krawędź należy do siedmiokąta.

Zadanie (trudne): Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Punkt P leży na krótszym łuku AB okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt M jest środkiem odcinka AC. Punkt Q jest symetryczny do punktu P względem punktu M. Wykaż, że BQ = PQ.

„Jednego serca” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=Fq7Zo3guNJs&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=7  Pięknego i odważnego dnia, Tata

Niedziela, 21.6.20

Niedziela, 21.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-21

Rozwiązanie zadania:  objętość 32 klocków wynosi 32x2x3x3=64x9 i jest taka sama, jak prostopadłościanu o wymiarach  8x8x9=64x9.

Rozpatrzę możliwości zbudowania boku o długości 8 i 9 z odcinków  o rozmiarach  2 i 3 (boków małych prostopadłościanów):

8=3+3+2=2+2+2+2,

9=3+3+3=2+2+2+3.

Z powyższego wynika, że w jednym rzędzie muszą być  3 lub 4 klocki.

Powstaje pytanie,

- czy 32 klocki można ustawić w rzędy po 3 lub  4 klocki?

Liczby 32 nie można zapisać w postaci iloczynu złożonego z 3, gdyż 32 nie  dzieli się przez 3. Także nie można zapisać jako iloczynu tylko 4, gdyż 4*4*4=64.

Rozumowanie powyższe  pokazuje, że nie można z 32 klocków ułożyć prostopadłościanu o bokach 8x8x9.

Zadanie (trudne): Czy istnieje taki wielościan wypukły, w którym każda krawędź jest bokiem pewnej ściany siedmiokątnej tego wielościanu? Odpowiedź uzasadnij.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=QWu9vXhfMYk&feature=emb_logo Pogodnej niedzieli, Tata

Piątek, 19.6.20

Piątek, 19.6.20

Kochana Irenko, jak wygląda centrum naszej Galaktyki https://www.youtube.com/watch?v=4CUT20iRGQI

Rozwiązanie zadania:  jeśli m+n*n dzieli się  przez m+n, to przez m+n dzielą się także kombinacje tych dwóch wyrażeń, np. ich rożnica (m+n*n)-(m+n)=n*(n-1) też dzieli się przez m+n. Rozważę wyrażenie dzielące się przez m+n:

(m+n)*n*(n-1)+(m+n*n)=m*n*(n-1)+n*n*n-n*n+m+n*n=

=[m*n*(n-1)]+[m+n*n*n].

Ponieważ całe wyrażenie (m+n)*n*(n-1)+(m+n*n), jako kombinacja m+n*n i m+n,  dzieli się przez m+n, wyrażenie n*(n-1) dzieli się przez m+n, więc m+n*n*n także dzieli się przez m+n, co było do okazania.

Zadanie (trudne): Czy z 32 prostopadłościennych klocków o wymiarach 2×3×3 można ułożyć prostopadłościan o wymiarach 8×8×9? Odpowiedź uzasadnij.

„Stoję w oknie” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=En8BRs7NI9I&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=6  Pięknego i odważnego dnia, Tata

Wtorek, 16.6.20

Wtorek, 16.6.20

Kochana Irenko, czym jest czaso-przestrzeń? Dowiesz się z kolejnego odcinka astronarium https://www.youtube.com/watch?v=DmcIjwb5ues

Rozwiązanie zadania:  jeśli a, b, c, są dodatnimi liczbami, nie większymi od 2, to dla każdej z nich zachodzi

1/a>=1/2 (dlaczego?), lub dla dwóch liczb

1/a+1/b>=1, a po sprowadzeniu do wspólnego mianownika (a+b)/(a*b)>=1 lub a+b>=a*b (dlaczego?).

Podobnie 1/a+1/b+1/c>=3/2. Po sprowadzeniu ostatniej nierówności do wspólnego mianownika

(a*b+b*c+c*a)/(a*b*c)>=3/2 lub

(a*b+b*c+c*a) >=3/2*(a*b*c).

Za każdy iloczyn np. a*b podstawimy jego sumę a+b czyli

2*(a+b+c)>=a*b+b*c+c*a>=3/2*a*b*c.  Ostatnia nierówność ma postać

a+b+c>=3/4*a*b*c

Wiadomo też, że 8>=a*b*c lub

2>=1/4*a*b*c. Dodając stronami dwie ostatnie nierówności mamy

a+b+c+2>=a*b*c, co było do okazania.

Zadanie (trudne): Dane są takie dodatnie liczby całkowite m i n, że liczba m+n*n jest podzielna przez m+n. Wykaż, że liczba m+n*n*n jest podzielna przez m+n.

„Czas jak rzeka” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=9HdR6d2KO4o&list=PLRm7CMrlXHQ8WtpRHGIkLVm-eha4grREd&index=5 Pięknego dnia, Tata

Niedziela, 14.6.20

Niedziela, 14.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-14

Rozwiązanie zadania:  równanie (a+b+c)(a+b−c)=c*c można przepisać w postaci

(a+b)^2-c*c=c*c lub

(a+b)^2=2*c*c. Wyciagając pierwiastek z obu stron równania, dostajemy dwa rozwiazania

a+b=sqrt(2)*c lub

a+b=-sqrt(2)*c.

Ponieważ prawa strona jest mnożona przez sqrt(2), liczbę niewymierną, to żadne z równań nie może być spełnione w zbiorze liczb wymiernych dla a+b i c różnych od zera. Jedynym rozwiązaniem jest a+b=c=0, co było do okazania.

Zadanie (trudne): dodatnie liczby a, b, c są nie większe od 2. Udowodnij, że a+b+c+2>=­ abc.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=rLY2ZRUGHhw&feature=emb_logo. Bardzo mocno Cię kocham i dużo, dużo odwagi na niedzielę Ci życzę, Tata

Poniedziałek, 8.6.20

Poniedziałek, 8.6.20

Kochana Irenko, o  przyszłości Chrześcijaństwa polecam Ci bardzo ciekawy wykład (po 11 minucie) zmarłego niedawno prof. Wolniewicza https://www.youtube.com/watch?v=LYIKmvPwQgY.

Rozwiązanie zadania: w trapezie ABCD, o podstawach AB i CD umieszczę dwa punkty E i F w środkach boków AD i BC, odpowiednio. Ponieważ przekątne przecinają się pod katem prostym w punkcie P, to dla trójkąta EFP zachodzi nierówność

EP+PF>EF. Zauważ, że w trójkąctach prostokątnych ADP i BCP zachodzi:

EP=AB/2 i PF=CD/2, zaś AB+CD=1/2*AF.

Podstawiając

AB+CD>AB+CD, co należało okazać. 

Zadanie: Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie (a+b+c)(a+b−c)=c*c. Wykaż, że a+b=c=0.

„Głosy Syren” i Alma Deutscher  https://www.youtube.com/watch?v=W0xMpLXQNvM Bardzo mocno Cię kocham i dużo, dużo odwagi Ci życzę, Tata

Niedziela, 7.6.20

Niedziela, 7.6.20

Kochana Irenko, dzisiaj usłyszysz https://liturgia.wiara.pl/kalendarz/67b53.Czytania-mszalne/2020-06-07

Rozwiązanie zadania: jeśli a+b dzieli się przez d, to (a+b)*(a+b) dzieli się przez d*d. Stąd wynika, że

(a+b)*(a+b)-4*a*b=(a-b)*(a-b) też dzieli się przez d*d. Stąd wynika, że a-b i a+b dzielą się przez d, co dowodzi, że a i b, każde z osobna dzieli się przez d.

Zadanie: wykaż, że jeżeli przekątne pewnego trapezu są prostopadłe, to suma długości podstaw tego trapezu jest nie większa od sumy długości ramion tego trapezu.

Psalm https://www.youtube.com/watch?v=Ef9y98GLJ8M&feature=emb_logo . Bardyo mocno Cię kocham i odwagi życzę, Tata

Piątek, 5.6.20

Piątek, 5.6.20

Kochana Irenko, z artykułu Karla Zimmera dowiedziałaś się, że wiroidy mogą zawierać ok 400 zasad RNA. Spakowanie mają rozmiar kilku nm. Mogą stanowić pozostałość sprzed co najmniej 3 miliardów lat, kiedy to elektrony uczyły się bawić w wielkie, stadne zabawy dające początek życiu. 

Rozwiązanie zadania: iloczyn dwóch liczb typu sqrt(2)+1 lub sqrt(2)−1 jest równy

(sqrt(2)+1)^2=3+2*sqrt(2),

(sqrt(2)-1)^2=3-2*sqrt(2) lub

(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)=1.

Zauważ, że iloczynów pierwszego typu musi być tyle samo co drugiego typu, gdyż w sumie S

S=x1*x2 +x2*x3 +x3*x4 +...+x98*x99 +x99*x1=199  nie występuje sqrt(2), czyli muszą się wyzerować. Wyrażeń do zsumowania jest 99. Muszą zachodzić dwa równania na ilość N wyrażeń typu 1 i 2, oraz L ilość wyrażeń typu trzeciego

2*N+L=99,

2*N*3+L=199.

Po odjęciu stronami wynika, że

4*N=100, stąd N=25. Oznacza to, że w sumie S wyrażeń pierwszego i drugiego typu jest po 25, zaś 3 typu jest 49.

Czy istnieje ciąg  x1,x2,…,x99, którego iloczyny sąsiednich wyrazów oraz iloczyn pierwszego z ostatnim, spełniałyby powyższy warunek?

Oznaczę przez + wyraz ciągu typu sqrt(2)+1 i założę, że jest tych wyrazów Np, przez – wyraz ciągu typu sqrt(2)-1 i podobnie założę, że jest ich Nm. Zachodzi Np+Nm=99 i jedna z tych liczb jest parzysta, druga nieparzysta.

Z drugiej strony jeśli istnieje 25 iloczynów pierwszego typu, to w każdym iloczynie występują po dwie liczby z ciągu typu + i po jednej w iloczynie trzeciego typu, czyli razem Np=(2*25+49)/2=99/2. Dzielimy przez 2, gdyż każdy wyraz ciągu występuje w dwóch iloczynach. Ale liczba Np nie jest liczbą całkowitą. Dowodzi to, że doszliśmy do sprzeczności i ciąg, o który pytają w zadaniu, nie istnieje.

Zadanie (trudne): dane są dodatnie liczby całkowite a, b, d. Wiadomo, że liczba a+b jest podzielna przez d, a liczba a·b jest podzielna przez d*d. Udowodnij, że każda z liczb a i b jest podzielna przez d.

„Dziwny jest ten świat” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=wTjLZwpmufw&list=RDmkI_gpdrpfw&index=21 Życzę Ci pięknego dnia, Tata

Środa, 3.6.20

Środa, 3.6.20

Kochana Irenko, w 1914 roku Karl Zimmer napisał prosty i bardzo ciekawy artykuł o wiroidach atakujących między innymi ziemniaki https://www.nytimes.com/2014/09/25/science/a-tiny-emissary-from-the-ancient-past.html. Jak duży był wiroid w porównaniu z wirusem? Czy wiroidy mogą być cząsteczkami-reliktami  z czasów powstawania życia na Ziemi?

Rozwiązanie zadania: suma kątów wewnętrznych w wierzchołku wielościanu wypukłego jest mniejsza od 360 stopni (nie może być równa 360 stopni – dlaczego?). Jeśli każdy kąt wewnętrzny jego ściany jest większy lub równy od 90 stopni, to w każdym wierzchołku wielościanu zbiegają się dokładnie 3 krawędzie (2 nie mogą – dlaczego?). Oznaczę przez N ilość wierzchołków wielościanu. Wtedy ilość krawędzi wynosi 3*N/2=100 lub 3*N=200. Widzisz, że nie istnieje takie N, gdyż 200 nie dzieli się przez  3, co dowodzi, że nie istnieje wielościan, o który pytają w zadaniu i kończy dowód.

 Zadanie (trudne): . czy istnieją liczby x1,x2,...,x99, z których każda jest równa sqrt(2)+1 lub sqrt(2)−1 i które spełniają równość x1*x2 +x2*x3 +x3*x4 +...+x98*x99 +x99*x1 = 199? Sqrt(2) to pierwiastek kwadratowy z jedynki, sqrt(2)*sqrt(2)=2. Uzasadnij odpowiedź.

„Pod papugami” i Czesław Niemen https://www.youtube.com/watch?v=ePwwMgrPMW8&list=RDmkI_gpdrpfw&index=14 Życzę Ci pięknego dnia, Tata