Wtorek, 27.08.19
Kochana Irenko, jak ułożone są chromosomy w jądrze komórki?
Nić DNA razem z histonami (albo szpulkami - specjalnymi białkami na które
nawinięte jest DNA) tworzy chromatynę,
która z kolei tworzy wyższe formy organizacji. Dowiedziałaś się, że jedną z tych
form są pętle. Po co się tworzą? Po to,
by można było odczytać DNA i na podstawie odczytanej informacji utworzyć białko,
np. insulinę. Gdzie znajdują się pętle, albo aktywne chromosomy? W środku jądra!! Na obrzeżach znajdują się te nieaktywne.
Rozwiązanie zadania: każde
równanie dwóch zmiennych opisuje na płaszczyźnie krzywą. Np. y=2*x opisuje
prostą, y*y+x*x=4 opisuje okrąg o promieniu 2 (wartości bezwzględne x i y są
zawsze mniejsze od 2) i o środku w początku układu współrzędnych, x*x/(a*a)+y*y/(b*b)=1
opisuje elipsę o osiach a i b (sprawdź).
Zbadajmy symetrie równania z wczorajszego zadania x*x + y*y= xy + 2. Badanie symetrii jest proste, jednak mocno wykracza poza ramy
nauczania szkolnego (nawet licealnego). Jeśli zamienisz zmienne xày, yàx, to powyższe równanie nie ulega zmianie (sprawdź). Podobnie
zamieniając xà-x i yà-y; przekształcenia te
nie zmieniają równania (sprawdź). Co to oznacza?
Wprowadźmy nowe zmienne X i Y: x=(X+Y)/sqrt(2), y=(X-Y)/sqrt(2). Dodając i odejmując stronami dostaniemy
odwrotne przekształcenie:
X=(x+y)/sqrt(2), Y=(x-y)/sqrt(2). Zauważ, że zamiana xày, yàx powoduje, że
XàX, ale Yà-Y. Ponadto
zmiana xà-x, yà-y prowadzi do
Xà-X, ale Yà-Y (sprawdź). Złożenie
tych dwóch przekształceń prowadzi Xà-X, ale YàY. Wiemy, że przy tych przekształceniach równanie x*x + y*y= xy + 2 się nie zmienia. Oznacza to:
a] krzywa x*x + y*y= xy + 2 jest symetryczna przy odbiciu zwierciadlanym względem
prostej X=0 tzn. y=-x,
b] krzywa ta jest symetryczna przy odbiciu zwierciadlanym
względem prostej Y=0, tzn. y=x,
c] krzywa jest symetryczna przy odbiciu względem początku
układu współrzędnych,
d] równanie przepisane w zmiennych X i Y musi mieć TYLKO
parzyste potęgi X i Y.
Przepisując
równanie w zmiennych X i Y dostajemy:
X*X+Y*Y=(X*X-Y*Y)/2+2. Ale to równanie można zapisać
X*X/2+3/2*Y*Y=2. Rzeczywiście, w równaniu tym X i Y występują
w parzystych potęgach, tak jak sugerowała nam teoria symetrii. Jest to równanie
elipsy
X*X/4+Y*Y/(4/3)=1. Zauważ, że największą wartość, jaką może
przyjąć wynosi X=2. Osie mają długości 2 i 2/sqrt(3). Przeskalujmy zmienne X i Y wprowadzając X1=X/2
i Y1=*sqrt(3)*Y/2. W zmiennych tych równanie ostatnie ma postać
X1*X1+Y1*Y1=1. Jest to równanie okręgu o promieniu 1. Zatem
elipsa powstaje z okręgu po przeskalowaniu X1 2
razy, a w kierunku Y1 po przeskalowaniu 2/sqrt(3) razy.
Zatem elipsa ta mieści się w okręgu o promieniu 2. Ponieważ
żadna para liczb całkowitych, mniejszych lub równych 2, nie spełnia
naszego równania, nie spełnia go zatem
żadna para liczb całkowitych.
Zadanie wakacyjne: Czy istnieją liczby naturalne m,
n, k różne od zera spełniające równanie
(18^m)*(24^n)
= 12^k, gdzie a^b oznacza a podniesione do potęgi b. Np. 2^3=2*2*2? Odpowiedź
uzasadnij.
