Kochana Irenko, na koniec roku polecam Ci wcześniejszy odcinek
astronarium, o Wielkim Wybuchu https://www.youtube.com/watch?v=2-qapHoQSOg,
współczesnej teorii powstania Wszechświata.
Rozwiązanie: ponieważ liczba 30=2*3*5, więc liczba m^5-m, jeśli dzieli się przez 30, to powinna dzielić się przez 2, 3 i 5. Wyrażenie
m^5-m można rozłożyć na iloczyn (sprawdź)
m^5-m=m*(m^4-1)=m*(m^2-1)*(m^2+1)=m*(m-1)*(m+1)*(m^2+1).
Zauważ, że liczby (m-1), m i m+1 to trzy kolejne liczby
naturalne (np. 7*8*9) i zawsze jedna z nich dzieli się przez 2 lub przez 3.
Wystarczy pokazać, że wyrażenie dzieli się przez 5. W tym
celu wybiorę pięć kolejnych, dowolnych liczb naturalnych k*5, k*5+1, k*5+2, k*5+3, k*5+4, (k+1)*5.
Zauważ, że gdy m=k*5, m=k*5+1, m=k*5+4 lub
m=(k+1)*5, to pośród kolejnych
trzech liczb m-1, m i m+1 jedna z nich dzieli się przez 5 (sprawdź).
Gdy m=k*5+2 lub m=k*5+3 tak już tak nie jest (sprawdź). Ale
w iloczynie występuje człon m*m+1. Sprawdźmy, czy m*m+1 dzieli się dla tych dwóch
przypadków przez 5. Wyrażenie (k*5+2)^2+1=25*k*k+20*k+4+1 dzieli się przez
5. Wystarczy jeszcze pokazać, że
(k*5+3)^2+1=25*k+30*k+9+1 też dzieli się przez 5, co widać zważywszy, że 9+1=10.
Wykazałem, że zawsze jedna z 4 liczb, na które rozkłada się m^5-1, dzieli się
przez 5.
Zadania z konkursu: Jeżeli długość i szerokość
prostokąta ABCD zwiększymy o 10
cm, to jego pole zwiększy się o 600 cm2. Oblicz, o ile zmniejszy się pole
prostokąta ABCD jeżeli jego
długość i szerokość zmniejszymy o 5 cm.
Na zakończenie roku 2018 polecam Ci kolędęhttps://www.youtube.com/watch?v=_-OXruY5Gx8&list=RDinoWL5fhZWA&index=23.
Dużo, dużo zdrowia i odwagi w nadchodzącym roku, Tata
